苏州市2018届高三调研测试

高三数学第 1 页，共 4 页苏州市 2018 届高三调研测试数学试题 20181参考公式：球的表面积公式 S=4r2，其中 r 为球的半径一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1 已知 i 为虚数单位，复数 的模为 3i2z2 已知集合 ， ，且 ，则正整数 1,2aA1,4BABa3 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点坐标为 28yx4 苏 州 轨 道 交 通 1 号 线 每 5 分 钟 一 班 ， 其 中 ， 列 车 在 车 站 停 留 0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 5 已知 ， ，则正实数 42alogaxx6 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法右边的流程图是秦九韶算法的一个实例若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为 7 已知变量 x，y 满足 则 的最大值为 03,xy 23zxy8 已知等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 的值为 nanS63982158a3a注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题） 、解答题（第 15 题 第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔v1，in1vvx+iii1输出 vNY开始结束输入 n,xi0（第 6 题图）高三数学第 2 页，共 4 页9 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为 （容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ）10如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9m 和 15m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角，则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 m 45CAD BD11在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 的圆 和直线 x y 1 相切，且圆心在直线 y 2x (2,1)AC上，则圆 C 的标准方程为 12已知正实数 a，b，c 满足 ， ，则 的取值范围是 1abc13如图，ABC 为等腰三角形， ， ，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交120BAC4BCAB，AC 与点 E，F，点 P 是劣弧 上的一点，则 的取值范围是 EFP14已知直线 ya 分别与直线 ，曲线 交于点 A，B，则线段 AB 长度的最小值为 2yx2exy 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知函数 2()3cosin)3sinfxxxDCBA（第 10 题图）PFECBA（第 13 题图）（第 9 题图）高三数学第 3 页，共 4 页（1）求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量 x 的取值集合；()fx()fx（2）若 ，求函数 的单调增区间,216 （本小题满分 14 分）如图，在正方体 中，已知 E，F，G ，H 分别是 A1D1，B 1C1，D 1D，C 1C 的中点1ABCD（1）求证：EF平面 ABHG；（2）求证：平面 ABHG平面 CFED17. （本小题满分 14 分）如图，B,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为100km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50 处从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 角km（ ，其中锐角 的正切值为 ）航行到海岸公路 P 处登陆，再换乘汽车到城市 C已知船2 12速为 25km/h，车速为 75km/h. （1）试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数解析式；（2）试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的离心率为 ，椭圆上动点 到一个焦点2:1(0)xyCab2P的距离的最小值为 3(21)（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知过点 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定(0,)M点，并说明理由A1 B1C1D1A BCDE FG HBCP东北A高三数学第 4 页，共 4 页19. （本小题满分 16 分）已知各项是正数的数列 的前 n 项和为 anS（1）若 （n N*，n2） ，且 213nS12a 求数列 的通项公式；a 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；12nn （2）数列 是公比为 q（q0， q 1）的等比数列，且a n的前 n 项积为 若存在正整数10nTk，对任意 n N*，使得 为定值，求首项 的值(1)knT120. （本小题满分 16 分）已知函数32,0()e.xfa（1）当 时，求函数 的单调区间；2a()f（2）若方程 在区间(0,+)上有实数解，求实数 a 的取值范围；()e3xfx（3）若存在实数 ，且 ，使得 ，求证： ,02mn|1n ()fmfn1e OyxBAM高三数学第 5 页，共 4 页2018 届高三调研测试数学（附加题） 2018121 【选做题】本题包括 、 、 、 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，ABCD则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修 4 1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）A如图， ， 与圆 O 分别切于点 B，C，点 P 为圆 O 上异于点 B，C 的任意一点， 于点B PDABD， 于点 E， 于点 F. PCP求证： .2F选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）B已知 ， ，求 1M174M选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）C在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题若学生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分第22、23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试时间 30 分钟考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔DPFEOCBA高三数学第 6 页，共 4 页数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐1,3xy标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积2cos=in选修 4 5：不等式选讲（本小题满分 10 分）D已知 a，b，cR ， ，若 对一切实数 a，b，c 恒成立，求221abc2|1|()xabc实数 x 的取值范围【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB，且AB BP 2，AD=AE=1，AEAB，且 AEBP （1）求平面 PCD 与平面 ABPE 所成的二面角的余弦值；（2）线段 PD 上是否存在一点 N，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定25点 N 的位置；若不存在，请说明理由23 （本小题满分 10 分）在正整数集上定义函数 ，满足 ，且 ()yfn()1)2(1)fnfn()2f（1）求证： ；9(3)210f（2）是否存在实数 a，b，使 ，对任意正整数 n 恒成立，并证明你的结论()13)2nfabPNED CBAzyx高三数学第 7 页，共 4 页苏州市 2018 届高三调研测试数学试卷参考答案一、填空题（共 70 分）1 22 3 4 5 648 7 8 93(2,0)1294301018 11 12 13 141xy4(,31,ln2二、解答题（共 90 分）15. 解（1） 2()3cosin)sifxx23cosi nx2 分1i 4 分sin2cos()23x当 ，即 时， 取得最小值 023xkkZ()fx此时， 取得最小值时自变量 x 的取值集合为 ()f ,3kZ7 分（注：结果不写集合形式扣 1 分）（2）因为 ，()2cos()23fx令 ， 8 分(kkZ 解得 ， 10 分)36x 又 ，令 ， ，令 ， ，,2x1k,26x0k,32x所以函数在 的单调增区间是 和 14 分, ,（注：如果写成两区间的并集，扣 1 分，其中写对一个区间给 2 分）16. 证明：（1）因为 E，F 是 A1D1，B 1C1 的中点，所以 ，1EFAB在正方体 中，A 1B1AB，1ABC（注：缺少 A1B1AB 扣 1 分）所以 3 分又 平面 ABHG，AB 平面 ABHG，EF（注：缺少 AB 平面 ABHG 不扣分）所以 EF平面 ABHG 6 分（2）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CD 平面 BB1C1C，又 平面 ，所以 8 分BH1H设 ，BCH ，所以 ，CFP1F1BF因为HBC+PHC=90 ，所以 +PHC=90所以 ，即 11 分90B由，又 ，DC，CF 平面 CFED，DA1 B1 C1D1A B CDE FG HP高三数学第 8 页，共 4 页所以 平面 CFEDBH又 平面 ABHG，所以平面 ABHG平面 CFED 14 分（注：缺少 平面 ABHG，此三分段不给分）17. 解（1）由题意，轮船航行的方位角为 ，所以 ， ，90BAP50B则 ， 50cos(9)sinAP5sin()cos50tan(9)coinBP 4 分co1CB（注：AP，BP 写对一个给 2 分）由 A 到 P 所用的时间为 ，15sinAt由 P 到 C 所用的时间为 ， 6 分20co42cos73int 所以由 A 经 P 到 C 所用时间与 的函数关系为 8 分124cos6s()sin3iitf 函数 的定义域为 ，其中锐角 的正切值为 . (,212（2）由（1） ， ， ，6co4()3sinf(,，令 ，解得 ， 10 分21()9if()0f1cos3设 0 ，使,01cos3(,)0 0(,)2)f0 (减函数 极小值 增函数12 分所以，当 时函数 f()取得最小值，此时 BP= 17.68 ，0 05cos2inkm答：在 BC 上选择距离 B 为 17.68 处为登陆点，所用时间最少 14 分km（注：结果保留根号，不扣分）18. 解（1）由题意 ，故 ， 1 分2cac又椭圆上动点 到一个焦点的距离的最小值为 ，所以 ，P3(21)32ac2 分解得 ， ，所以 ， 4 分3c2229bac所以椭圆 C 的标准方程为 .6 分18xy（2）当直线 l 的斜率为 0 时，令 ，则 ，x此时以 AB 为直径的圆的方程为 7 分2()6高三数学第 9 页，共 4 页当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为 ， 8 分29xy联立 解得 ，即两圆过点 2(1)6,9xy0,3xy(0,3)T猜想以 AB 为直径的圆恒过定点 9 分()T对一般情况证明如下：设过点 的直线 l 的方程为 与椭圆 C 交于 ,(0,1)M1ykx12(,)()AxyB则 整理得 ，28,ykx2()460所以 12 分11224xk（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给 3 分）因为 121212(,3)(,)3()9TAByxyy2()xkx 12124()6kxkx，22660k所以 所以存在 以 AB 为直 径的圆恒过定点 T，且定点 T 的坐标为 16 分(,3)19. 解（1）当 时，由 n21,3nnaS则 211,3naS-得 ，即 ， 2 分211()nna13na2n当 时，由知 ，即 ，22121210解得 或 （舍） ，5a2所以 ，即数列 为等差数列，且首项 ，213na13a所以数列 的通项公式为 .5 分n31（注：不验证 扣 1 分）21由知， ，所以 ，3na2()3nnS由题意可得 对一切 恒成立，21nn *N记 ，则 ， ，23nc2113()()nnc2所以 ， ， 8 分214nn当 时