概率论与数理统计金治明李永乐版课后答案

1.第二章2. 设随机变量 的分布律为：X2(), 1,33xPc求 c 的值。解：由分布律的性质： ，得31()xX312817xxc所以有 278c3. 一口袋中装有 m 个白球， n m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了 个白球，求 的分布律。X解：由题设知，随机变量 的可能取值为： ，且事件0,12,m表示一共取了 k +1 次球，前 k 次取到的都是白球，第 k +1 次取()0,12,)k到的是黑球。所以有 1(), 0,2,.kmnCPX4. 设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 ，现 (01)p进行重复试验，求下列 的分布律。X（1） 将试验进行到出现一次成功为止，以 表示所需的试验次数（几何分布）X（2） 将试验进行到出现 k 次成功为止，以 表示获得 k 次成功时的试验次数（巴斯卡分布）解：（1）由题设知，随机变量 的可能取值为： ，且事件 表1,2 ()1,2)Xn示一共进行了 n 次试验，且前 n 1 次均是失败，而第 n 次成功。所以有1()(,.nPXp（2） 由题设知，随机变量 的可能取值为： ，且事件X,12,k表示一共进行了 n 次试验，且前 n 1 次中成功了 k 1 次，(),12,)Xnk而第 n 次也成功。所以有1()(), ,12,.knknPXCpk5. 求 k 使得二项分布 达到最大值。(;,)b解：假设有 0()max()lnPXkPXl则有： ()(1)kk1(1)(1)knknknCpp()()1kpnk()1所以当 为整数时， 或 时， 的值最大；(1)np(1)knp()knp()PXk当 不是整数时， （ 表示不超过 x 的最大整数）时， 的x()k值最大。6. 设某商店销售某商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初进货多少才能保证当月不脱销的概率为 0.999。解：假设在月初进货量为 x 时，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。则由题意有()0.9PXx即 05().!kxe由此得到 x = 16。7. 设随机变量 具有对称的密度函数 ，即 ，证明对任意的 ，X()fx()fx0a有（1） ；01()()()2aFafd（2） ；|P（3） 。(|)1()XFa证明：（1） (=1-F(a)()()()()()()xuaaaaFfdfdfudfuFa 02aFxxd0112()()()()aafFf（2）因为 | ()PXXPXFa所以由（1）知，有 (|)2(1a（3） 因为 |1|(|)aa所以由（2）知，有 (|)PXF8. 设 都是一元分布函数， ，证明 也是分布12(),Fx,01ab12()aFxb函数。证明：令 ，要证 是分布函数，只要证 满足以下性质既12()()abFx()x()可：（1） 非降函数；()Fx（2） ；1,()0（3） 是右连续函数。()x因为 都是一元分布函数，所以 满足上面的性质，又因为12,F12(),Fx，所以有,0ab是非12()()xbx降函数 12()()()1FaFab01212, ,()lim()li()()()()yxyxFyaxbFx 即 是分布函数F9. 设随机变量 的分布函数为 ，求常数 及密度函数。X()arctnxABx,AB解：由分布函数的性质有： lim()120xFAB由此得到： 。1,2AB所以密度函数是： 21(), ()fxFxx10. 设随机变量 的密度函数为X,0() (0)xef求 c，使得 。1()2PXc解：因为 ，所以有e1()ln2cPXe11. 确定下列函数中的常数 A，使之成为密度函数：（1） ；|()xfe（2） 4,0(1) fx（3） 2,()3 0,.Afxothers解：（1） 由 ，有()1fdx0 1()22 2xfAedA验证下列函数（2） 4011() 6()6fxdx （3） 2312961() 629fxdAxdA12. 某城市每天用电量不超过百万度，以 表示每天的耗电量（即用电量除以百万度） ，它X具有密度函数 2(1),01,().xxf others若该城市每天的供电量仅 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如果每天供电量 80万度呢？解：若该城市每天的供电量仅 80 万度，则供电量不够需要的概率是： 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若该城市每天供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率是： 1120.90.9(.)()().3f13. 某城市每天用电量不超过百万度，以 表示每天的耗电量（即用电量除以百万度） ，它X具有密度函数 21(),1,()0.xxf others若该城市每天的供电量仅 80 万度，求供电量不够需要的概率是多少？如果每天供电量 80万度呢？解：若该城市每天的供电量仅 80 万度，则供电量不够需要的概率是： 1120.80.8(.)()()0.7PXfxdxd若该城市每天供电量为 90 万度，则供电量不够需要的概率是： 1120.90.9(.)()().3f14. 设随机变量 服从正态分布 ，X(8,)N（1） 求 ；(01.7.6)P（2） 求常数 a，使 ；(09（3） 求常数 a，使 。|).1Xa解： 因为 ，所以 ，则有(108, )N:8(0, )3N:（1） .117.68108(0.7.6)( )(2.33.2)3 3.2)(.)092(0.959XXPXPP108108()()()33XaaPa又因为 ，所以有.25.91.285 1.85（3） (|)()()(2)(0)001 332188 ()()()PXaPaXaPXa又因为 ，所以(2.35)0.90.25 7.453aa15. 设随机变量 服从 上的均匀分布，求 的密度函数X(, 1)lnYX解： 易知 的取值范围是 ，对任意的 ，有lnY(0, )0y22()2ln(ln)()12yyYFyPXyPPe所以 的密度函数为2lnX21,0,().yYefyF16. 设随机变量 服从 上的均匀分布，求 的密度函数。X2(, )NaX解：先求 的分布函数eFx0,0,()(ln),.XxPex当 时，有0x 2()ln1(l)taxed所以 的密度函数是：Xe2(ln)1,0,()20, .xaefxF17. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分记）服从指数分布，其密度为： 51,0,().xef某顾客若等待时间超过 10 分，他就离开，一个 月他去银行 5 次，以 表示一个月内他未Y等待服务而离开的次数。写出 的分布律，并求 。Y(1)PY解：设顾客的等待时间为 ，则有： X251010()()xpPfxde所以 ，即2(5, )Ybe:2255()(), ,234,5kkYCe5101()0.167PYe1.第三章2. 在袋中装有 个球，其中有 个红球， 个白球，且 ，现从中任取 个球n1n212nr（ ） ，设取出的红球数为 ，取出的白球数为 ，求 的分布律12mi,rXY(,)X与边缘分布律。解： 的分布律为：(,)XY1212,(0,1,)klrklnnCPkl rlrkl 边缘分布律为： 1,(,)krnXr2,(01,)lrlnCPYr3. 设离散型随机变量 的联合分布律为：(,)X(1),!nmnpYe，求边缘分布律。0,1; 0,1(, 0)mn 解： 关于 的边缘分布律为：()XY00(1),!nmnnmpPXYe0! (1) 0,2!()!n nmeep 即 服从参数为 的 Poisson 分布。X关于 的边缘分布律为：(,)Y 0(1)(1),!(1) ! ! ,2!nmnnmnmkkpppPXYepee ，即 服从参数为 的 Poisson 分布。Yp4. 设随机向量 的密度函数为：(,)XY1,0,2,(,)2.xyfxyothers求 中至少有一个小于 的概率。,XY解：设 为事件“ 中至少有一个小于 ”。则有A,Y121,203(),)8xyPXYdx所以 中至少有一个小于 的概率为：,XY125()8PA5. 设随机向量 的密度函数为：(, ),0,(1)(,) (2)0,.ncxyyfxynothers求常数 c 及求边缘密度函数。解：由 10 01(,) ()(1) ()2nncfxyddxycxdcn 得 2cn关于 的边缘密度函数为：(,)XY 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnX dyxxxfxfyd 关于 的边缘密度函数为：(, )Y 10(1)2,0,(2),0,()(,) , nnY dxyyfyfxyd 6. 设随机向量 在由曲线： 所围成的区域 内服从均匀分布，写出(, )XY2,yxG的联合密度函数与边缘密度函数。(, )解：因为区域 ： 的面积是 ，所以 的联合密度函数为：G201,xyx16(, )XY2,0,(,).xyfothers关于 的边缘密度函数为：(, )XY2 6(1),01,6,0,(,) .x xxdyfxfy othersothers关于 的边缘密度函数为：(, )XY6,01,6(),01,()(,) .yY dxyyfyfx othersothers7. 设随机向量 的联合密度函数为：(, )X,01,(,).xyyfothers求：在 的条件下， 的