朱建国版固体物理习题答案

1固体物理学习题参考第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf 和 Rb 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问 Rf/Rb 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为 a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f= a2对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b= a3那么， = =fb23a61.2 晶面指数为（ 123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面，OA、OB 和 OC 分别与基失a1，a 2 和 a3 重合，除 O 点外，OA，OB 和 OC 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（234） ，情况又如何？答：根据题意，由于 OA、OB 和 OC 分别与基失 a1，a 2 和 a3 重合，那么1.3 二维布拉维点阵只有 5 种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用 4 个指数（hkil）来表示，如图所示，前 3 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 120的共平面轴 a1，a 2，a 3 上的截距 a1/h，a 2/k，a 3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴 c 上的截距 c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil）表示：（001） （100） （010）(13)0()()答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为 d，晶面法线方向的单位矢量为 n。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面 ABC 在 a1、a 2、a 3 轴上的截距分别为 a1/h，a 2/k，a 3/i，因此正方a=bab=90六方a=bab=120矩形abab=90带心矩形a=bab=90平行四边形abab902 (1)123ooanhdki?由于 a3=（a 1+ a2）3()oonn?把（1）式的关系代入，即得 ()idhk根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）（0001） ， ， ， ， （100）(13)2)(10)(321) ， （010） ， (10)031.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： （2）体心立方： （3）面心立方： （4）六方密堆积： （5）金刚石：682626。31答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：1248ifecNN边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 3*rFZ假设硬球的半径都为 r，占据的最大面积与总体积之比为 ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为 2r，那么：= = 34/(2)r6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为 4r，则其边长为 ，那么：43r= = 3(4/)r83（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为 4r，则其边长为 r，那么：2= = 34(/)2r26（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000） （1/3 ，2/3 ，1/2） ，在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r，因此= =32()rac6（5）对于金刚石结构Z=8 那么 = .38r334*8()rFZa161.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以 nm 为单位）a=3i ，b=3j，c=1.5（i+j+k） ，此处 i，j，k 为笛卡儿坐标系中 x，y，z 方向的单位失量 .问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k ）=1/2 （3i+3j+3k）=1/2 （a+b+c）式中c=3c。显然，a、b、c构成一个边长为 3*10-10m 的立方晶胞，基矢 c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)c(ab)?3k(ij)原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)12ij?1.7 六方晶胞的基失为： ， ，3aij32abijck求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积 =a（b*c ）= 23ac那么，倒格子的基矢为 ， 1()b2ija2()cab23ija， 32()abkc其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失 a，b，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为4221()()hkldklabc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴 a1，a 2，a 3 上的截距分别为 ， ， 。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是1ah2k3l123ddnxyz这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距。由|n|=1 得到2213()()1hklaa故 2213()()ld1.9 用波长为 0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角 如下序号 1 2 3 4 5/（） 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定： 222|1cos()sin()hklIFfnhklfhkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110） 、（200） 、 （211） 、 （220）和（310）的散射。由布喇格公式2sin(1)hkld得 10101.5402.95()i2si6om同法得 10202.34()sind10213.7()im510203.69()sindm103104.()i应用立方晶系面间距公式 22hkladl可得晶格常数 hkla把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得 a 的数值*10 -10m 为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得 103.275()am1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为 a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 1i213aiaj用正交关系式 02,ijijijba?求出倒易点阵初基矢量 b1，b2。设11xyij22xyij由 ba?01ba?2得到下面四个方程式（1）1()2xyij（2）13()02xyaijbij?（3）2()xyij（4）213()xyaijbij?6由（1）式可得： 12xba由（2）式可得： 13y由（3）式可得： 20xb由（4）式可得： 243ya于是得出倒易点阵基矢1bija2bj7第三章 习题答案3.1 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量 m8.3510 27 kg，恢复力常数 15Nm 1解：一维单原子链的解为 )(qnatinAeX据周期边界条件 ，此处 N=5,代入上式即得1N1)5(qaie所以 2 （ 为整数）由于格波波矢取值范围： 。 则 aq25故 可取2，1，0，1，2 这五个值相应波矢： , ,0, ,a54254由于 ，代入 ，m 及 q 值sinqm则得到五个频率依次为（以 rad/sec 为单位）8.061013，4.9910 13，0，4.9910 13，8.0610 133.2 求证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为式中 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为212)(mm4N解：对一维单原子链， dqqdN2)(所以 （1）q2由色散关系 求得2sin4am（2）2/1)sin(coqadq 2/1)4(m而 ， 则由（1）式可得2NL2/122/ )(4 mma由于 ，则总的振动模数为8dNdNmwwm 2/1200 )(令 ，则积分限为 0 到 ， 故sinmNd20120cos3.3 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 239mN解：由书上（369）式可得 （1）32vg由（371）可得 nmD3/126由此可得 ，代入（1）式得v3239mN3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量 m8.3510 27 kg，另一种原子的质量 M4m，力常数 15Nm 1 ，试求（1） 光学波的最高频率和最低频率 和 ；axin（2） 声学波的最高频率 ；Amax（3） 相应的声子能量（以 eV 为单位） ；（4） 在 300K 可以激发频率为 ， 和 的声子的数目；axminAax（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解：（1） M54Hzrad1313max 07.sec/07.621313in 95./9.5HzradMA 1313max 048.sec/0.2（2） eV2ax104.min95.3eA2ax107.9（3） 1/kTwen， ， 2.0max276.0min 873.0maxAn（4） 光速 ，vcc218.5ax3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为 m，而最近邻原子间的力常数交替地等于 和 10 ， 且最近邻的距离为 ，试画出色散关系曲线，并给出 和 处的 。2/a0qa/q解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图， 10 10m2ax2n-1 x2n x2n+1 x2n+2原子的运动方程应是 nnn xxxm2112120即 nx201221 nnx求格波解， 令，tqaninAex22 tqaninBe2112代入运动方程，可导出线性方程组为： 011022/2/ /BmAemiqaiqa iqai令 ，从 A，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得200)1)(1(1 2/2/2