连续时间信号与系统的复频域分析

第 4 章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.1 学习要求1、熟练掌握拉普拉斯变换的定义、性质与应用；2、熟练掌握拉普拉斯反变换的计算方法(部分分式分解法)3、了解拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系；4、熟练掌握系统的拉普拉斯变换分析方法，微分方程的变换解；5、掌握系统函数的概念，系统的极零点的概念及其应用，系统稳定性概念。4.2 本章重点1、单边拉普拉斯变换的定义和性质；2、拉普拉斯反变换的计算方法；3、微分方程的变换解；4、系统的 s 域框图；5、系统稳定性概念。4.3 知识结构4.4 内容摘要4.4.1 拉普拉斯变换1、单边拉普拉斯变换的定义正变换 0()()stXsxed逆变换 12jstxt式中， 。0js2、拉普拉斯变换的收敛域把使信号 的拉氏变换存在的 值的范围称为 的收敛域（Region of Convergence） ，缩写为()xts()XsROC，可以用下面 极限表示：0)(limttex0上式表明，极限在 条件下为零，在 S 平面上 就是收敛域。 称为收敛坐标，通过 的0 00垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图 4.1.1 所示。 Oj0区区区图 4.1.1 平面中的收敛域s3、常见函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换如表 4.4.1 所示。表 4.1. 1 常用函数的拉氏变换序号 单边信号 ()xt拉氏变换1 12 （ 是正整数）()nt ns3 u4 ()te 1s5 0jtu 0j6 （ 是正整数）()nt 1!ns7 0si()tu028 0cos()tu20s9 0in()tet 20s10 0cos()tu2011 ()te21s12 （ 是正整数）()ntu 1!n4.4.2 拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的性质如表 4.4.2 所示。表 4.4.2 拉普拉斯变换性质（定理）序号 性质名称 时域 域s1 线性 12()()Kxtt12()()KX2 时移特性 0u0est3 s 域平移特性 ()etx()dt 0sXx4 时域微分特性 ()nxt1()0()nnr()dt1()xXs5 时域积分特性 ()ntx 1(0)()inisst dX6 s 域微分特性 ()ntx()(1)ns7 域积分特性st dsX8 尺度变换特性 ()xat1sXa9 初值定理 0lim()li()t sx10 终值定理 0ts11 时域卷积定理 12()x12()Xt12 域卷积定理s12t 12()js4.4.3 拉普拉斯逆变换含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成 的多项式，或变换成两个 的多项式s之比。它们都称为 的有理式，一般具有如下形式s 110()mnnbsbsBXsAaa式中，系数 、 都为实数， 和 是正整数。(0,12,)ian (0,12,)i m要把 展开部分分式，必须先求出 的根。为了便于分解，将 写作以下形式)Xs s()As12()()nAspp式中， 为 方程式的根，也称为 的极点。12,np 0Xs同理， 也可改写为()Bs12()()nmsbzsz式中， 为 方程式的根，也称为 的零点。12,nz 0Xs按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：1、极点为实数，无重根 112()()niiKBsBsXApps其中 ，所以，()iiispKs1()()(intixtLXseu2、包含共轭复数极点12*11()()KBsXsjjsjsjKjsj式中， 。令 ，则有*21K1je11()j jeKeXss3、有多重极点 1112()()()(kkkKEsspsspD其中， 111()()!ii spdKX单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数 在围线中所有极点的留数运算，即steX)(1()stLXs极 点 的 留 数1、 为有理真分式，且只有 个单值极点()BsXAnkp11()Re();()(knst stkkpkxtXpsFe2、 为 阶有理真分式，且有 阶重极点 及 阶单值极点()BsXAr1()nr111()()()(! krrst stpkpknrdxtspXesXe 4.4.4 拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数 为有始信号，即当 时 ，()xt 0t()xt然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算：（1）当 时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换；0（2）当 时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。而且以 代换，就可以由 求 sj()Xs，即 ；()Xjj(j)sX（3）当 时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的 代换关系。这时由0 sj求 ，除把 中的 以 代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。()Xs)j()Xsj4.4.5 线性系统的复频域分析1、一般信号 激励下的零状态响应()xt 1()()2j stzsytXHed系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1) 求系统输入 的单边拉普拉斯变换 ；()xt ()s(2) 求系统单位冲激响应的拉氏变换 ；(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换 ， ；()zsY()zsXHs(4) 求 的拉普拉斯逆变换 。()zsYzsyt（2）系统常系数微分方程的拉氏变换解拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为 域的代数方程，s便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。具体步骤如下：（1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换；（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换；（3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。4.4.6 系统函数与系统特性1、系统函数的定义系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数，即： ()zsYHX2、由系统函数确定系统的单位冲激响应由于 ，当系统的激励为 时，零状态响应为 ，故()()zsYHXs()t()ht()Lhtss即系统的冲激响应 与系统函数 构成了一对拉普拉斯变换对， 和 分别从时域和复频域()t ()tHs两个角度表征了同一系统的特性。3、系统的 域方框图表示s根据拉普拉斯变换的性质，可以方便的得到时域中各运算符号在 域中的模型。s（1）加法器，如图 4.4.1 所示。（2）标量乘法器，有两种表示形式，如图 4.4.2 所示。1()Xs2()s12()YXsa()X()YsX图 4.4. 1 加法器的 域模型 图 4.4. 2 标量乘法器的 域模型s（3）积分器为了模拟微分方程表述的系统还需要积分器。在理论上积分器和微分器都可以用模拟动态连续系统，但是由于积分器抗干扰的性能比微分器好（特别是对脉冲式的工业干扰） ，所以在实现上往往使用积分器。因为 (1)0_ 0()()t xyxdXs所以积分器的 域模型如图 4.4. 3（a）所示。当输入信号 为因果信号时，因为 ，所以积s ()t (1)0x分器如图 4. 3（b）所示。两者物理系统相同，但含义各有区别。(1)0xs(1)0xYXs1s()YXs()X（a）起始状态为非零时的积分器 域模型 （b）起始状态为零时的积分器 域模型图 4.4.3 积分器的 域模型s4、 系统函数零点、极点分布与系统时域特性的关系利用系统的零、极点，可以把 的分子、分母改写成如下的线性因子的乘积()Hs12()() mszszNKDpp式中，式中， 为系统函数的零点； 是系统函数的极点； 为一常数。把12,mz 12,n mnbKa系统函数的零点、极点都表示在 复平面上，则称为系统函数的零、极点分布图。其中零点用“”表示，s极点用“”表示。极点分布与时域函数的对应关系如表 4.4.3 和 4.4.4 所示，表 4.4.3 列出一阶极点的情况，表 4.4.4()Hs列出二阶极点的情况。表 4.4.3 极点分布与原函数波形对应（1）表 4.4.4 极点分布与原函数波形对应（2）5、系统函数零点、极点分布与系统频响特性的关系假设系统函数 的表示式为 ，令 ，也即，在 平面中令 只沿虚轴()Hs1()()mjjniiszsKpsjss移动，得到 。分母中任一因子1()()mjjniizHjKp相当于由极点 引向虚轴上某点 的一个矢量；()ijpi j分子中任一因子 相当于由零点 引向虚轴上某点()jzjz的一个矢量。图 4.4.4 所示的是由零点 和极点 与j 11p连接构成的两个矢量，图中 、 分别表示矢量的模， 、 分别表示矢量的辐角。jNiMji当 沿虚轴移动时，各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。其中等于 乘以所有零点矢量的模除以所有极点矢量的模，而 等于所有零点相位及极点相位的()HjK()代数和。这种方法也称为 平面几何分析。s6、正弦稳态响应在系统理论中，正弦稳态响应是稳态响应中的一种重要概念。它是指系统在正弦信号 时刻激励0t系统产生的稳态响应。设系统函数为 ，激励源为 ，则系统的正弦稳态响应为()Hs0()sin()xtKt0ji()syHt其中， 和 由系统函数在 处的取值所决定。0()j0j4.4.7 系统的稳定性1、系统稳定性的概念一个连续系统，如果对任意的有界输入产生的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（BIBO ）意义下的稳定系统，简称稳定系统。2、稳定系统的时域判决条件（充要条件）()htdM对于因果系统，上式可改写为 0()t3、对于因果系统，其稳定性的 域判决条件s稳定系统：如果 全部极点落于 平面左半平面（不包括虚轴） ，则可以满足 ()H，系统是稳定的。lim()0th不稳定系统：如果 的极点落于 平面右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则在足够()ss长时间以后， 仍继续增长，系统是不稳定的。()ht0p1M1N1z111j图 4.4.4 和 矢量()jp1()j临界稳定系统：如果 的极点落于 平面虚轴上，且只有一阶，则在足够长时间后， 趋于()Hss ()ht一个非零的数值或形成一个等值振荡。这处于上述两种类型的临界情况。4.5 典型例题例 1、根据图 4.5.1 所示系统信号流图，可以写出其转移函数 =（ ） 。()YsHX X（ s） Y（ s） a b c 1/s 1 图 4.5.1(a) (b) (c) (d) csab/1sbcbcs1acs1答案：（b）例 2、某一连续线性时不变系统对任一输入信号 的零状态响应为 ， ，则该系统函()xt 0()xtt数 =_ _。()Hs答案： 0ste分析：根据复频域分析法00()()ststYsFeH例 3、一线性时不变因果系统的系统函数为 ，系统稳定的条件是（ ）(a) 的极点在 s 平面的单位圆