考研资料(方程的性质-基础解系-通解)08.05.07

考研数学应试指南1解的性质、基础解系及方程组的通解知识点、题型、解题技巧综述1齐次线性方程组解的线性组合仍是该齐次线性方程组的解.2非齐次线性方程组两解之差是其导出组的解.3若 是 的解，则 当 时，r,21 bAxrcc21 021rc是 的解；当 时，是 的解.0Ax21rc bAx4当齐次线性方程组 有非零解时，存在基础解系.其基础解系是该齐次线性方程解0向量组的极大无关组，它包含 个解向量.)(n5确定 的基础解系要从三个方面考虑.（1）是解；（2）无关；（3）个数（x）.)(Arn6齐次线性方程组 的通解是其基础解系的线性组合.07非齐次线性方程组 的通解是其导出组的通解与其任意一个解的和.bx例题精解例 1 （05 数 1，29）已知三阶矩阵 的第一行为 其中： 不全为零，矩阵Acba,cba,（ 为常数） ，且 ，求线性方程组 的通解.kB6340B0Ax解：由 ，得 ，又 ，则 .0A3)(r,2)(1,)(Brr若 ，则 ，于是 ，由于 中第一行不全为零，则 ，故9k2)(Br1AA.可见此时 的基础解系所含解向量的个数为： .而矩阵 中第1)(rx )(3r一、三列线性无关，可作为其基础解系.故 的通解为： ，其中：0xkx6321为任意常数.21,k若 ，则 ，从而 .91)(Br2)(Ar(I) 若 ，则 的通解为： ，其中： 为任意常数.2)(A0x31kx1k(II) 若 ，则 的同解方程组为： ，不妨设 ，则1)(r 0321cxba0a考研数学应试指南2其通解为： ，其中： 为任意常数.1021ackbx 21,k例 2已知 是方程组TTT ,497,3,5,921 的解，则方程组的通解是 .34321214937dxcxba解：在系数矩阵 中有二阶非零子式 ，故 .32197cbaA019232)(Ar又因为 是齐次线性方程组 的TT,10,2,60121 0x线性无关的解向量,而有 ，即 .从而得系数矩阵的秩 .)(Arn)(r 2)(Ar于是，该方程组的通解为： .01561292k点评：求解本题的关键是先求出 ，再算出 就可以求解了.本题亦可)(Ar)(Arn利用解的概念先求出参数 然后再解方程组,但这样计算繁琐，不好.dcba,例 3设 是四元非齐次线性方程组 的四个解向量，且 ，4321,bAx86421， .若秩 ,则方程组 的通解为97543220321 2)(rbAx.解：因为 有解，且 ，那么 ，故其通解为： .bAx)(Ar)(Arn 21k下面应用解的性质分析出特解 及导出组的基础解系.考研数学应试指南3由于 ，则 .即 是 的一个解.bA21bA2121bAx令 .21又因为 ， 的组系数之和为 0，)(21)(321)(21 )(432所以都是 导出组 的解.bAx0x而 ， 对应分量不)(21 64)(321 )(21 642)(32成比例，是 线性无关的两个解向量，故是其基础解系.令 ， .则0Ax 16024的通解为： .b21k点评：本题考查线性方程组解的性质.例 4 （02 数 1，210）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵为 ，4321,A其中 均为四维列向量， 线性无关， 且 ，)4,3(i432,3211i求线性方程组 的通解.Ax解：因为 线性无关，且 ，则 线性相关且432, 432104321,.于是， ，即 的基础解系仅含一个解向量.)(,1rr)(Arnx注意到线性方程组的向量形式，由 可以043214321 推出， .即， 是齐次线性方程组02,4321考研数学应试指南4的一个非零的解向量，于是由定义该解向量也是 的0,043211xAx 0Ax基础解系.又因为 ，所以有 .即，向量 是非齐次线性方程组41i1,4321 1的一个解向量.Ax43211,x于是，根据非齐次线性方程组通解的结构知该方程组的通解为： .（其中：102k为任意实数.）k点评：本题是 02年数一、二的考试真题,满分为 6分.据教育部考试中心统计，数一的考生人均得 2.94分，数二的考生人均得 2.16分.本题综合考查了齐次线性方程组基础解系的概念、判定；线性方程组的向量形式；线性方程组通解的结构等多个知识点.本题也可以用构造同解方程组的方法求解.其解法如下：设 是方程组 的任一解，则由方程组TxX4321,Ax的向量形式可知，有 .43214321, x即， .将 代入此式并整43214321xx 321理得： .因为 线性无关，03x4,所以必有 .解此方程组即得 的通解为： .10432xA102k例 5已知 矩阵 ，其中 均为四维列向量，若非齐次线性方321,A321,考研数学应试指南5程组 的通解为： .令 ，试求方程组Ax12k321,B的通解.21By解：由 通解的结构可知， ，x213,)(21rA即 ， 即1,321 )(32101,321.)(0321从而 .2,)( 32121321321 rrrB又因为 ，所以 是线性方程组 的解.213210,021By再分析寻找导出组 的 个线性无关的解向量.By)(rn注意到 及（1） ， （2）可得以下结论：321,2321,即 是齐次线性方程组010, 2121)(21321 得由 1的解.0,432321yBy同理， 即 也是齐次线性方程组0201, 31)2(21321 得由 12考研数学应试指南6的解.0,4321321yBy又因为以上 的两解对应分量不成比例，故线性无关，从而是其基础解系.0于是，该方程组的通解为： .TTTkk1,0,3210,12点评：要求方程组 的解必须要知道 ，从而得知导出组基础解系2By)(Br所含解向量的个数；要求出 的任意一个解；还必须求出 的基21 0By础解系.此题的综合性很强，请考生注意体会，真正搞懂才行.例 6 （94 数 310）设方程组 ， （1）证明：若 两两3424133121axax 4321,a不相等，则此线性方程组无解；（2）设 ，且已知0,21 kk是该方程组的两个解，其中 写出此方程组的通解.1,TT1,解：（1）设原方程组系数矩阵为 ，增广矩阵为 ，则 ，AB24321aA，显然，342314321aB.12132312 aa当 两两不相等时， ，从而 .而 ，因此 ，4321,a0B4r3)(Ar)(Br则原方程组无解.（2）当 时，原方程组化为0,4231 kaka 321321kxkx考研数学应试指南7即 .此方程组的增广矩阵为： .由于321kxkx 321k，因此系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩均为 2，从而相应齐次方程组的0基础解系含有 1 个解向量，由已知 是原方程组的两个解，则21,，从而 即基础解系的唯一的解向量，因此通解为：021.1kx例 7设 是三阶实对称矩阵,特征值 1,0,-2,矩阵 的属于特征值 1与-2 的特征向量分别AA是 和 ,求方程组 的通解.T2Ta0Ax解:因为 A是实对称矩阵,必可对角化,有 ,由此可知 .2012)(Ar从而方程组 的基础解系含一个解向量.0x又困为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交,则有: .10)(1a再设 的特征向量为 ,由正交性得: ,解之得一个解为:Tx321, 231x是属于 的特征向量,于是满足 ,即为方程组T1,00 0A的解向量,而 线性无关,故可作为方程组 的基础解系.AxT1x那么,方程组 的通解为: .xk点评:本题考查了下列知识点:实对称矩阵必可对角化;实对称矩阵的不同的特征值所对应的特征向量是正交的;秩与齐次线性方程组解的关系;齐次线性方程组基础解系的求法;特征值与特征向量的概念.考研数学应试指南8例 8已知 是方程组 的解，则方程组3125,06731127523432141xdxcba的通解为 .解：因为 ，且为导出组 的解向量，则 .210Ax4)(Ar显然， 中有三阶子式 ，故 .从而 的基础解系仅A250313)(0x含一个解向量，由解的结构可知： 是 的基础解系，于是原方程组的通021Ax解为： .21k点评：没有必要去求方程组中的待定参数，本题考查方程组解的性质与结构.例 9设 是线性方程组 的解， 是其导出组的基础解系，令bAxt,.21， ， .证明：（1） 线性无关；1122ttt,.1（2）方程组 的任一解都可以表示为 ,其中x tkk.0.10tkk解：第一问用定义证明；第二问利用齐次线性方程组解的结构进行分析即可.（1）设 将 代入整理得：,0210 t ),.21(tii.用 A左乘此式可得： )21 tt 由于 是线性方程组 的解，故 ，于是在.010At bx0b中，必有 .再将此式代回到t )(010t可得：)(.由于 是其导出组的基础解系，故必线性无关，21t t,.21于是立即有 ，将此结果代回到 可得 .综合以上有：01t )(0，故由定义可知： 线性无关.20t t,1考研数学应试指南9（2）由线性方程组 的结构可知，其任一个解向量 ，bAx tkk21即 )()()(2121 ttt kkk 令 ，故.)( 212 tt tk10且 成立.10tkk tkk.0点评：第二问的证明也可以这样考虑： 为 的解，故存在Ax使得 成立，从而有以下式子成立，t,.21 t21即： 。这 tt kkk 2121)( tk.10里的 ，满足 本题说明，若齐次线性方tk0 .1.0t程组 有 个线性无关的解，且其任一个解可由 个线性无关的解向量线Axt 性表示，只是表示系数要求满足其和为 1的条件.例 10 （04 数 1，29）设有齐次线性方程组 试问：022211nnxanxa 何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.a解： ， ananA 02211当 时， .同解方程组为： .0ar1)( 021nxx不难求得基础解 3系为：.TnTT 1,0, 121 此时通解为： .11nccx当 时， .0a 103200)( naA考研数学应试指南10由于有非零解，则 .同解方程组为： .令 ，得基础解2)1(na03211nx 1x系： .T,32,1例 11设 ,TBA,80,21,求解方程 .xBAx42解：