高数复习总结

高数复习总结第一章 函数极限连续.求极限的基本方法 使用洛必达法则 使用等价无穷小替换，使用两个重要极限形式（包括化 exp()形式）设函数 ,则有()0x 提取公因式，实行倒代换（令 ）1xt【例】求极限 ，其中 ,lim2nnab0ab【解】 1li1/,/ alim2201 =ali12021limIn =ae AnxabcxcbnxcxxccInc2li0 =ae Axab()0sin()lm1x1()()0liexx 对因式进行变形化为有利因式【例】求极限 lim(1)n【解】 10li()li1n()ln一nnnx 利用夹逼准则【例】求极限 2limnnnx【解】1当 时，01.23nnx因为 ， 所以当 时， .lim1n01x2lim1nnnx2当 时，x。23nnx又 ，li3nx所以，当当 时， .122lim1nnnx3. 当 时，x.2223nnx又 ，所以当 时，2lim3n x22lim1nnnx综上所述 22 ,0li112 ,nnn xx 利用积分定义求极限【例】求极限 12lim(cos1cs(1cos)n nnn【解】10120li(cscs(cs)liocs() cos() 2nni nixdxd 分子分母同乘一个因式化分母不为零【例】.求极限需注意的地方（1）洛必达法则的使用条件 只有 或 的未定式才能用此法则。0 、 在 邻域内可导，且()fxg0x()0gx 存在（或为）0()limx 当 时，极限式中含有 , 时，不能用此法则sinxco当 时，极限式中含有 ， 时，不能用此法则1s（2）对于求因变量改变极限值也会改变的极限时，应对变量进行讨论【例】求极限121limexx【解】1121lieli2 xxx1121limeli2 0xxx所以该极限不存在【例】求极限 eli1nxx【解】0elim11nxx x【注】 . 几个常用等价无穷小替换第二章 不定积分.求不定积分的基本方法 第一类换元法（凑微分法） ()d()dxffx重要公式（1） 22dsectancoxxC 221dcsotsinxxCliem0xx当 时， , , , 0xsinxarcsinxtanxtanrcx, I1)一e121cos1()（2） 1dcsIncsotsinxxCeeao（3） 22xIxa【例】 求不定积分 21n【解】 22 1IIdIn.14xxxC 第二类换元法（代换）（1）倒代换：一般令 或1tx2t设 m,n 分别为被积函数的分子，分母关于 的最高次数，当 时，用倒x1nm代换可望成功.【例】求不定积分 32d1x【解】 1333222221233222d 1 d1(+)44()d ()(1)144 .xtx txdtt tCxC一【例】求不定积分 21dxx1 22 222211d(d)() d111 arcsin+arcsin. xtx tttttxtcCx一（2）三角代换：主要利用公式 ， 实行代换22sio22tsecx被积函数中含有 、 、 ，可以利用三角代换.2axxa【例】求不定积分 2d(1)【解】 222tan22dsec(1)(1t)o1 sidsin24 arctn.1xtttCx 一【例】求不定积分 2d+x【解】令 ，则sinxtcost2 2211sindd(sin)d11icosarci.in tttt xCCt （3） 指数代换：被积函数中含有 、 时可用指数代换.xe令 ，xat1dInta，et 函数变换（1） 整式分解：将被积函数拆分为若干个可积整式【例】求不定积分 8d(1)x【解】7788888dd1()d(1)() Inx(1)1 In().xxxCCx（2） 三角变换：利用三角公式进行变换化为可积函数。主要三角变换公式： （1 的利用） 22sicoxsinicosx 22sincos1sinxxx21co21cinii()4sinsi()os()xxx1inc2coscos()s()xxx 【例】求不定积分 id1n【解】 2(sico)sinco1sin 2d dco2nsdc11 Inco.2osxxxxxC 分部积分法：利用分布积分公式： duvu关键：如何把被积函数分成两部分，如何选取 u 和 dv.选取的原则：(1)积分容易者选为 dv ； (2) 求导简单者选为 u . 在二者不可兼得的情况下，首先要保证的是前者. 几类被积函数的不定积分 有理函数的积分 有里函数的积分经拆分可化为若干整式然后再分项积分. 简单无理函数的积分无理函数的积分一般是通过选择变量替换，去掉根号，化为有理函数的积分来进行积分.常见的变换如下表类型 积分形式 所作代换1 12(,.)dknnnaxbaxbRcdc 为 ， . 的最小,Naxbtcd1n2k公倍数2 (,) tax3 dxabx sinab4 (,)R ecxt【例】求不定积分 3dx【解】 5326 32336611dd()d1 =(In+t)(1.xtdtttttCxxx 一【例】求不定积分 d1【解】 1dd1()()11 d.22xx x 2221dd(+sec).()1sec standta1 (ec)(tIsect+an).xxxxtC 一所以元积分 2 211In.4xxxxC 三角有理式的积分（1） “1”的妙用 【例】求不定积分 35dsincox【解】 2235355322335331i11sincossisinconconc i1i11 ssiosincosx xxxxxx223532533inisincoscso1iiini cossncsxxxxx533422inio1( )dciin11 Icsot2.cossxCxx一【例】求不定积分 dini222332 2111sin2iscosin(cos) 4sin8si8sin111 (),84sicosicosxxxxxx故 原积分 2 3inidd()csd4sincscs2xxxx21csot.84cosInxCx（2）分母的简化 分母只含有 时分母同乘以一1sinxcosinx个因式分子分母同乘以一个因式的做法在不定积分中是允许的，但在定积分运算中注一般不许可. 含有反三角函数的不定积分 绝大多数这类题可直接令反三角函数为新变量求解【例】 （2008 年数二）求积分210arcsindx【解】 令 ，则 ，且当 时， ；当 时，sinxtdot0t1x2t2200221 2200002200arc 1sind(cos)dc1in1 i sin 64tttttdt tA【例】 （2006 年数二）求不定积分 arcsindxe【解】 22arcsin