微分几何练习题库及答案

1微积分几何复习题 本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1已知 ，则这两个向量的夹角的余弦 =(,1)(,01)abcos362已知 ，求这两个向量的向量积 (-1,-1,-1)0, ab3过点 且与向量 垂直的平面方程为 X-Z=0)1(P(10,)a4求两平面 与 的交线的对称式方程为:zyx12:2zyx 213zyx5计算 23lim()t tijk8ij6设 ， ，求 0 )snf 2()tteg0lim()ttfg7已知 ，其中 ， ，则(,uvvur 2vsndtr(2cos,2cos)ttvut8已知 ， ，则t2td(,)tricoi,in,aaaaa9已知 ， ，求42()d1,3)tr64(2,1)，其中 ，4622()()ttaba)5,9(,)a(1,0)b10已知 （ 为常向量） ，求trtrc11已知 ， （ 为常向量） ，求 ()a()21ta12已知 ， ， ，则 2(log)tttfjksin(cos)tttj04d()ttfg4cos62第二章13曲线 在任意点的切向量为3(),)tter 2(,3)te14曲线 在 点的切向量为coshin,)atta0t(0,)a15曲线 在 点的切向量为(),tbr b16设有曲线 ，当 时的切线方程为2:,ttCxeyz1t21zeyx217设有曲线 ，当 时的切线方程为ttt ezyex,sin,co01zyx第三章18设 为曲面的参数表示，如果 ，则称参数曲面是正则的；如果 是 一一的 (,)uvruvr :()Gr，则称参数曲面是简单的19如果 曲线族和 曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 (坐标网;易;3 分钟)20平面 的第一基本形式为 ，面积元为(,),0)uvr 2duvduv21悬链面 的第一类基本量是 , , (cosh,csin,)uv 2coshE0F2coshGu22曲面 上坐标曲线 ， 的交角的余弦值是 zaxy0x0y0220(1)()axy23正螺面 的第一基本形式是 (,)cos,in,)uvuvbr 2ddubv24双曲抛物面 的第一基本形式是 (,2auv222 22(4)d4)d4)abvabv25正螺面 的平均曲率为 0 （正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3 分钟）(,cos,in,uvur26方向 是渐近方向的充要条件是 或(d):v(d)n22d0LuMvN27两个方向 和 共轭的充要条件是 或u():uv(,)0Ir(d0LuMvN28函数 是主曲率的充要条件是 0ELFMGN29方向 是主方向的充要条件是(d):uvdd0uvLMvu30根据罗德里格定理，如果方向 是主方向，则 ，其中 是沿 方向的法曲率():)nrn(d)31旋转极小曲面是平面 或悬链面第四章32高斯方程是 ， ，魏因加尔吞方程为 ，kijijijLrn,12,kjiiijLgnr,1233 用 表示为 ijgij 212()det()ijijgg334测地曲率的几何意义是曲面 上的曲线 在 点的测地曲率的绝对值等于 在 点的切平面 上的正投影S()CP()CP曲线 的曲率()C35 之间的关系是 ,gn22gn36如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 37测地线的方程为2,dd,12kijkjiuukss38高斯-波涅公式为 1()kgiiGKA39如果 是由测地线组成，则高斯-波涅公式为 1d()2kiiGK二、单选题第一章40已知 ， ，则这两个向量的内积 为（ C ） （内积；易；2 分钟）(1,0)a(1,2)babA 2 B C 0 D 141求过点 且与向量 平行的直线 的方程是（ A ） （直线方程；易；2 分钟）(,)P(,)aA B 1yzx321zyxC D zz42已知 ，则混合积为（ D ） （混合积；较易；2 分钟）(1,)(,01)(,)abcA 2 B C 1 D 43.已知 ，则 为（ A ） （导数；易；2 分钟）(),)tter()r (，) (-，) (，) (，-)44已知 ， 为常数，则 为（ C ） （导数；易；2 分钟）()ttr()tr aateaea上述 为常向量45.已知 ，求 为（ D ） （微分；较易；2 分钟）(,),)xyxrd(1,2)r d2d,0)xy第二章446圆柱螺线 的切线与 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2 分钟)(cos,in)trz 平行 垂直 有固定夹角 有固定夹角4347设有平面曲线 ， 为自然参数， 是曲线的基本向量下列叙述错误的是（C ） :()Csr, 为单位向量 48直线的曲率为（ B ） （曲率；易； 2 分钟） 49关于平面曲线的曲率 不正确的是（ D ） （伏雷内公式；较易；2 分钟）:()Csr ， 为 的旋转角()s ()()s |sr50对于平面曲线， “曲率恒等于”是“曲线是直线”的（ D ） （曲率；易；2 分钟) 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件51下列论述不正确的是（ D ） （基本向量；易；2 分钟） 均为单位向量 , /52对于空间曲线， “曲率为零”是“曲线是直线”的（ D） （曲率；易；2 分钟)A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 既不充分也不必要条件 D 充要条件53对于空间曲线 ， “挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ） （挠率；易；2 分钟)A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 既不充分也不必要条件 D 充要条件54 在点 的切线与 轴关系为（ D ） 2sin4),cos1(),sin( taztaytax z 垂直 平行 成 的角 成 的角3 4第三章55椭球面 的参数表示为（C ） （参数表示；易；2 分钟）221xyzabcA B (,)(os,sin,)(,)(cos,csin,)xyzab5C D (,)(cos,csin,)xyzab(,)(cos,sinco,si2)xyzab56以下为单叶双曲面 的参数表示的是（D ） （参数表示；易；2 分钟）221xyzA B (,)(coshin,cosh,in)xyzauvbuv(,)(cosh,csin,h)xyzuvvuC D cs osiabc57以下为双叶双曲面 的参数表示的是（A ） （参数表示；易；2 分钟）221xyzabcA B (,)(sinho,sin,cosh)xyzuvvu (,)(cosh,sin,cosh)xyzauvbvuC D cci ,)58以下为椭圆抛物面 的参数表示的是（B ） （参数表示；易；2 分钟）2xyzabA B 2(,)(cos,in,)uxyzuv 2(,)(cos,in,)uxyzauvbC D 2(,)(h,i,)abv(,)(,i,)59以下为双曲抛物面 的参数表示的是（C ） （参数表示；易；2 分钟）2xyzA B (,)(cosh,in,)xyzaub(,)(cosh,in,)xyzuC D )(2vv,abv60曲面 在点 的切平面方程为（B ） （切平面方程；易；2 分钟）23(,),)r (357)MA B 21350xyz18410xyzC D 768 661球面 的第一基本形式为（D ） （第一基本形式；中；2 分钟）(,)cos,csin,)uvRvuvRrA B 22din)22(dcosh)uvC D (shv62正圆柱面 的第一基本形式为（ C） （第一基本形式；中；2 分钟）,)(cos,in,)uRurA B C D 2dv2dv22dRv2duRv663在第一基本形式为 的曲面上，方程为 的曲线段的弧长为（B 22(d,)sinhduvuvI 12()uv） （弧长；中；2 分钟）A B 21coshv21siinhvC D 12 1264设 为 中的 2 维 正则曲面，则 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B） M3RCMA B C D 0E0F0G065以下正确的是（ D） （魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）A B d()nrWd()unrWC D uv66以下正确的是（ C） （魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）A B (d,)(d,)IrIr(d,)(),dIrIrC D WW67以下正确的是（A） （魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）A B (d,)(d,)IrIr(d,)(d),IrIrC D 68高斯曲率为常数的的曲面叫（C ） （高斯曲率；易；2 分钟）A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面第四章B 69 （第一基本形式；易； 2 分钟）,_ijigA 1 B 2 C 0 D -1B 70 （第一基本形式；易；2 分钟）jkljA B C D kjgklgkigijA 71 （克氏符号；较易；2 分钟）_ijA B 1()2jlijkliljiliguu1()2jlijkliljili guu7C D 1()2jlijkliljili guu1()2jlijkliljili guuA 72曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于 _A B C D 301B 73当参数曲线构成正交网时，参数曲线 u-曲线的测地曲率为 （刘维尔定理、测地曲率；中；4 分钟）_A B 1ln2Euln2EvGC D lGv1luA 74如果测地线同时为渐进线，则它必为 （测地曲率、法曲率、曲率；中；2 分钟）_A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75在伪球面 上，任何测地三角形的内角之和 （高斯- 波涅定理；中；4 分钟）(1)K_A 等于 B 小于 C 大于 D 不能确定三、多选题第一章76.若 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ） （导数；易；4 分钟）(),(),12,3iiiitxtyztr 11 11111(),()(),(),()txtyztxtyztxtyzt r 12323,r ()()ttr1123123()(),()(),()tttttt rr 12323,r77 为常向量， 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ） （积分的性质；中；4 分钟）mn()t ()dbbaattrr()d()dbbaattmrr (,)()(db ba attnn(,)()(bbaattnn (,)d()(b ba attmrr第二章878下列曲线中为正则曲线的有（ACDE） 。 （曲线的概念；易；4 分钟） ， ，3(),xr),(x23(),)xr),(x ， ， ，2)0cos(),xr)2,1(x79下列曲线中是正则曲线的有（ABCDE） 。 （曲线的概念；易；4 分钟） ， (cos,in)tr ),(t ， 30 ， 2(cs,i)ttr ),(t ， o1sn,i)t ， 2(si,itatr ),(t80下列式子正确的是（ABCE） （伏雷内公式；中；4 分钟） k 第三章81曲面 在点 的（AD ） （切平面、法线；中； 4 分钟）3zxy(1,29)MA 切平面方程为 80zB 切平面方程为 34xyC 法线方程为 1921zD 法线方程为 3E 法线方程为 4xyz82正螺面 的（AC ） （切平面、法线；中；4 分钟）(cos,in,)uvarA 切平面方程为 cos0xyvzuaB 切平面方程为 siC 切平面方程为 ncsxauyzv9D 法线方程为 cossininxuvyvzaauE 法线方程为 ca83下列二次形式中， （ ABD）不能作为曲面的第一基本形式 （第一基本形式；易；4 分钟）A 22(d,)4duvuvIB C 22(,)6vvID d4duuE 22(,)5vvI84一般螺面 的第一类基本量是（ BCD） （第一基本量；易；4 分钟）(cos,in,()fuavrA B 21)fu21()EfC D (Fa 2GE 2G85下列曲面中， （ BCD ）是旋转常高斯曲率曲面 （常高斯曲率曲面；易；4 分钟）A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章ABC 86对于曲面上的正交坐标网，测地曲率 （设曲线的切方向与 的夹角为 ） _gurA cossin22vuEGdsEB 1ln1livC cosiuvggdD insuvE csiuvggd87曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是 ABCD（测地线的概念；中；4 分钟）A 满足方程 的曲线2,d0kijkjiuss10B 满足 的曲线0gC 除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线 D 满足 的曲线E 满足 的曲线0n四、叙述题第三章88曲面。解设 是初等区域， ，如果存在一个连续一一映射 使得 ，则称 是一张曲GS3R3:GrR()Sr面，而 叫 的参数表示()xrS89坐标曲线。 【解】曲面 ， 的像叫 曲线， 的像叫 曲线， 曲线和:(,)uvGr0(,)uvr0(,)uvru曲线都叫坐标曲线v90第一基本形式。 【解】称二次型 （其中 ， ， ）22(d,)dEFI uEuvFrvGr为曲面的第一基本形式而 、 、 叫曲面的第一类基本量EF91内蕴量。 【解】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量92第二基本形式。 【解】称二次型 （其中 ，22(,)uvLMuvNI uLrn， ）为曲面的第二基本形式而 ， ， 为曲面的第二类基本量uvMrnvNr93 【解】若在 点有 ，则称 点为曲面的椭圆点P20LMP