3_8064964_15.代数变换.解析几何解题的关键

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 629 中国 高考数学母题 (第 181 号 ) 代数变换 解析几何的本质是用代数方法研究几何问题 ,尤其 是 代数变换 在解 析几何中具有关键作用 ,因此 ,掌握并利用代数 变换是解决 解 析几何 问题 的通法 ;构造斜率型二次齐次方程 ,使 代数 变换 的运用达到极致 ,可妙解一类解几试题 . 母题结构 :若 点 M( 曲线 G 上 ,不过点 M 的 直线 l:y=kx+m 与 曲线 G 相交于 A、 ,则 关于 斜率 和与积的问题 :把 直线 AB:y=kx+m 转化为关于 (方程 :k(m+由此得 :1= 00 00 )()(; 把曲线 G 的方程转化为关于 (方程 ,并且二次项不变 ,一次项乘以 00 00 )()(,常数项乘以 00 00 )()(2,即得关于 (二 次 齐次方程 ; 在 二 次 齐次方程 中除 (,得关于00 的 一元 二 次 方程 ,然后利用韦达定理求 k1+母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2015 年 陕西 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)经过点 A(0,且离心率为22. ( )求椭圆 E 的方程 ; ( )经过点 (1,1),且斜率为 交于不同两点 P,Q(均异于点 A),证明 :直线 斜 率之和为 2. 解析 :( )由 b=1,e=22122 椭圆 E:22x+; ( )设 P(x1,Q(x2,由 直线 PQ:y=k(1(k 2) y+1=1=2 )1( k 椭圆 E: (y+1)2- 4(y+1)=0 (y+1)2-4(y+1)2 )1( k 2k()2+ 11+221 =2. 点评 :已知点 M(椭圆 G:222(ab0)上 ,不过点 l:y=kx+m 与椭圆 、 记 k1+( )(2 002 0202,)( )( 002 002 . 同 类 试题 : 1.(2013年 江 西 高考试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)经过点 P(1,23),离心率 e=21, 直线 l 的方程为 x=4.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )的任一弦 (不经过点 P),设直线 ,记 B,k1,k2,是否存在常数 ,使得 k1+k 3？若存在 ,求 的值 ;若不存在 ;说明理由 . 2.(2012 年 重庆 高考试题 )如图 ,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上 ,上顶点为 A,左右焦点分别 为 2,线段 1, 的直角三角形 . ( )求该椭圆的离心率 和标准方程 ;( )过 l 交椭圆于 P,Q 两点 ,使 直线 l 的方程 . 子题类型 :(2011年全 国高中数学联赛 湖北 初赛 试题 )已知椭圆 C:42x+22y=1,过点 P(32,不过点 Q( 2 ,1)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点 .( )求 ( )记 面积为 S,证明 :),由 a+c=3, a=2,c=1 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 椭圆 C 的右顶点 M(2,0),设 A(x1,B(x2,直线 AB:m(;由42x+32y=1 3(+42(0 3(+42(m(0 4(2+12n212m+3)=0 312m;由 以 直径的圆过点 M 14 312m=m=直线 127( 过定点 (72,0). 点评 :以线段 定点 1;由此 可 “照搬硬套” 母题 的解题程序 解决该类问 题 ;以线段 定 点 的问 题 ,除 类 似 本题 的 逆 向 问 题 外 ,还有利用 以线段 定点 解决相关 问 题 . 同 类 试题 : 5.(2004 年 湖北 高考试题 )直线 l:y= 与双曲线 C:2 的右支交于不同的两点 A、 B.( )求实数 k 的取值范围 ; ( )是否存在实数 k,使得以线段 直径的圆经过双曲线 ？若存在 ,求出 k 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 6 (2010 年大纲卷 高考试题 )己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:2222=1(a)相交于 B、 D 两点 ,且 中点为 M(1,3).( )求 C 的离 心率 ; ( )设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|17,证明 :过 A、 B、 D 三点的圆与 x 轴相切 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 631 7.(2000年 北京安徽春招 试题 )如图 ,设点 为抛物线 px(p0)上原点以外 的两个动点 A M 点 M 的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 . 8.(2011 年 江 苏 高考试题 )如图 ,在平面直角坐 标系 ,M、 N 分别是椭圆 42x+22y=1 的顶点 ,过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点 ,其中 P 在第一象限 ,过 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为 C,连接 延长交椭圆于点 B,设直线 斜率为 k.( )当直线 分线段 ,求 k 的值 ; ( )当 k=2 时 ,求点 P 到直线 距离 d; ( )对任意 k0,求证 :9.(2005 年江西高考试题 )如图 ,M 是抛物线 y2=x 上的一点 ,动弦 别交 x 轴于 A、 且 B.( )若 M 为定点 ,证明 :直线 斜率为定值 ; ( )若 M 为动点 ,且 00,求 重心 G 的轨迹方程 . 10.(2004 年北京高考试题 )如图 ,过抛物线 px(p0)上一定点 P(x0,),作两条直线分别 交抛物线于 A(x1,B(x2,( )求该抛物线上纵坐标为2 的距离 ; ( )当 B 的斜率存在且倾斜角互补时 ,求021值 ,并证明直线 斜率是非零常数 . ( )椭圆 C:42x+32y=1;( )设 直线 AB:y=k( 1=32k(;由椭圆 C:32 3(+4(3)2+6(12(0 4(1232123(3+4k)=0 k1+ M(4,3k) k3= =2. ( )椭圆 C:202x+42y=1;( )由 2,0),0),直线 l:y=k(x+2) y=k(4k 4=由 椭圆 C:20 (+5(16=0 (+5-2=0 (52+3k2;由 21 k=21 直线 l:y=21(x+2). ( )设 椭圆 C:222(ab0),由 c=1,3 , 椭圆 C:42x+32y=1; ( )设直线 EF:y=kx+m k(m+1=23)1()23(由 椭圆 C:32 3(+4(+6( 12(0 3(+4(+6(3)1()23(12(3)1()23(0 (4m+4k+6)(12322330;由 644 )21(6 km k=0 k=21. ( )设直线 AB: =31( )+m,由362x+42y=1 (2+9(2+62 (+3( )=0 m( )2 +9m( )2+6 2 ( )+3( )( ) )=0 (9m+18 2 )(232+( )=0 内切圆的圆心在定直线 x=3 2 上 ; 632 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )由 00 3 , 3 |7 )133(23 ,|7 )133(23 S 1|PB|93117. ( )由直线 l 过定点 (0,1),双曲线 C 的渐近线斜率 = 2 ,且当 l 与 C 只有一个交点时 ,k= 2 k ( 2 ); ( )由 F(c,0),c=26,直线 l:y= y=k( 1=1 )(ck 曲线 C:2 2(c(2=0 2(c(1 )(ck 1 )(ck =0 2-()2(2+4pc()2(0;由 12222)1(2 )1(2 ck 1 (2=0 5 6 k=566 ( 2 ),舍去 ). ( )由22 e=2212;( )设 B(x1,D(x2,则 |2|a(x1+ 直线 l:y=x+2 代入 ;33)=0 |5a+8=17 a=1 A(1,0);由 直线 l:y=x+2 1= 3 )1( 3 3(+6( (+2( (11=0 1 以 (+(=9 与 设 A(x1,B(x2,直线 AB:x=ty+b(b 0) 1=代入 :pxb(+4pt 1122由 122- b=4p 直线 AB:x=(4p,0),由 点 N 为直径的圆 (去掉坐标原点 ),方 程 是 x(x 0). ( )k=2;( )当 d=322;( )设 P(m,n),则 直线 my=n( 1=mn )(2)( ;由 2(mx )2-(mx ;设 A(x1,B(x2, mx 11mx 22=( )设 M(t2,t),E(x1,F(x2,直线 EF:m(n(1;由 y2=x (-(2t(0 (-(x- 2t(m(n(=0 (2)(2tx )2-(2tx 2 2由 B n =2 )设 E(a2,a),F(b2,b),G(x,y