3_8065031_4.概率分布与典型分布

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 371 中国 高考数学母题 (第 119 号 ) 概率分布与典型分布 概率分布是概率分析的重点內容 ,曾是高考解答题的中心问 题 ,由于课标高考的题型设置的变化 ,概率分布经常 出现在课标高考的 客观题 中 . 母题结构 :( )(概率分布 ):分布列 :如果离散型随机变量所有可能的 取值为 :x1,x2, ,取值 P( =pi(i=1,2,3, , n),则称 右表为随机变量的分布列 ; 数学期望 :称 +记为 方差 :称 ( )22 +(2记为 性质 :E(b)=b,D(b)=E( + )= D( + )=-(2; ( )(二项分布 ):定义 :若离散型随机变量 ( =0,1,2, ,n)的概率分布为 P( =k)=-p)称服从二项分布 ,记作 B(n,p);公式 :数学期望 差 ( )(正态分布 ):定义 :如果随机变量的分布密度函数 f(x)=222 )(21 xe,x (- ,+ ), 其中实数 , ( 0)是参数 ,则称随机变量服从参数为、的正态分布 ,用 N( , 2)表示 ;性质 :f(x)0;分布密度曲线 分布密度曲线 x=对称 ;分布密度曲线 C与 ;统计意义 : , 2,越大总体分布 越分散 ,越小总体分布越集中 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年 浙江 高考试题 )某毕业生参加人才招聘会 ,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历 ,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为32,得到乙 、丙 公司面试的概率 均 为 p,且三个公司是否让其面试是相互独立的 为该毕业生得到面试得公司个数 (X=0)=121,则随机变量 X 的数学期望 E(X)= . 解析 :由题意知 X 为该毕 业生得到面试的公司个数 X 的可能取值是 0,1,2,3;由 P(X=0)=(1- 32)(1=121 p=21 P(X=1)=32(1+(11(1(111=31,P(X=3)=32(21)2=61 P(X=2)=1- (121+31+61)=125 X 的分布列为 E(X)=0121+131+2125+361=35. 点评 :求 随机变量的 数学期望和方差 的 关键是 求的分布列 ,其 基本程序是 : 分析随机变量的所有可能的取值 ; 用已知事件表示事件“ =k” ; 根据已知事件的概率和概率计算公式 ,求出所有的 P( =k),注意使用分布列的性质 : “ 分布列 中所有 概率的和 为 1” ,减少计算量 . 同 类 试题 : 1.(2004 年辽宁 高考试题 )已知 随机变量 的概率分布如下 , 则 P( =10)=( )(A)932(B)1032(C)931(D)10312.(2005 年 全国 高考试题 )设 l 为平面上过点 (0,1)的直线 ,l 的斜率等可能地取 ,- 3 ,25, 3 ,2 2 ,用表示坐标原点到 l 的距离 ,则随机变量的数学期望 . 子题类型 :(2010年高考 课标 试题 )某种种子每粒发芽的概率都为 播种了 1000粒 ,对于没有发芽的种子 ,每 372 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 粒需再补种 2 粒 ,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 ( ) (A)100 (B)200 (C)300 (D)400 解析 :(法一 )设没有发芽的种子数为 ,则 B(1000, 000 00;又由 X=2 200; (法二 )由 每粒需再补种 的期望 均为 1000 粒需再补种 的期望 均为 =1000 00 100=B). 点评 :利用二项分布的数学期望公式 ,求实际问题中的数学期望关键是 :判断实例中的概率是否符合二项分布的模型 ,同时根据题意确定 p与 然后利用数学期望公式 ,求数学期望 . 同 类 试题 : 3.(2016年 四川 高考试题 )同时抛掷两枚质地均匀的硬币 ,当至少有一枚硬 币正面向上时 ,就说这次试验成功 ,则在 2次试验中成功次数 . 4.(2015 年 广 东 高考试题 )已知随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),若 E(X)=30,D(X)=20,则 p= . 子题类型 :(2015 年 山东 高考试题 )已知某批零件的长度误 差 (单位 :毫米 )服从正态分布 N(0,32),从中随机抽取一件 ,其长度误差落在区间 (3,6)内的概率为 ( ) (A) (B) (C) (D)(附 :若随机变量 服从正态分布 N( , 2),则 P( - c+1)=P( q),且不同课程是否 取得优秀成 绩相互独立 其分布列为 (右表 ),则 a= ,b= . 8.(2011 年上海 高考试题 )马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分 布律如下表 : 请小牛同学计算 的数学期望 ”处完全无法 看清 ,且两个“？”处字迹模糊 , 但能断定这两个“？”处的数值相同 小牛给出了正确答案 . 9.(2007 年 福建 高考试题 )两封信随机投入 A、 B、 C 三个空邮箱 ,则 A 邮箱的信件数的数学期望 . 10.(2013 年 湖 北 高考试题 )如图 ,将一个各面都涂了油漆的正方体 ,切割为 125 个同样大小的小正方体 , 经过搅拌后 ,从中抽取一个小正方体 ,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( ) (A)125126(B)56(C)125168(D)5711.(2006年 四川 高考 试题 )设离散型随机变量 可能的值为 1,2,3, =k)=ak+b(k=1,2,3,4) 的数学期望 3,则 a+b= . 12.(2013 年全国高中数学联赛 河 北 初赛 试题 )某科技创新大赛设有一、二、三等奖 (参与活动的都有奖 ),且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项、 2 为公比的等比数列 ,相应的奖金依次是以 700 元为首项、 为公差的等差数列 ,则参加此次大赛获得奖金的期望是 元 . 13.(2014 年 浙江 高考试题 )随机变量的取值为 0,1,2,若 P( =0)=51,E( )=1,则 D( )= . 14.(2013 年 上海 高考试题 )设非零常数 d 是等差数列 x1,x2, ,随机变量 等可能地取值 x1,x2, , 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 373 方差 . 15.(2009 年北京高考试题 )某学生在上学路上要经过 4 个路口 ,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的 ,遇到红灯的概率都是31,遇到红灯停留的时间都是 . 16.(2009 年江西高考试题 )某公司拟资助三位大学生自主创业 ,现聘请两位专家 ,独立地对每位大学生的创业方案进行评审 持”或“不支持”持” ,则给予 10 万元的创业资助 ;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的创业资助 ;若未获得 “支持” ,则不予资助 则 数学期望 . 17.(2005 年全国 高考试题 )9 粒种子分种在 3 个坑内 ,每坑 3 粒 ,每粒种子发芽的概率是 粒种子发芽 ,则这个坑不需要补种 ;若一个坑内的种子都没有发芽 ,则这个坑需要补种 每补种 1 个坑需 10 元 ,用表示补种费用 ,则 的数学期望 = . 18.(2010 年湖南高考试题 )如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 (单位 :吨 )的频率分布直方图 从这个城市随机抽取 3 位居民 (看作有放回的抽样 ),则月均用水量在 3至 4吨的居民数 . 19.(2008 年 安徽 高考试题 )设两个正态分布 N( 1, 12)( 10)和 N( 2, 22)( 2 0)的密度函数图像如图所示 ) (A) 1 2 (C) 1 2, 1 2, 1 2 20.(2015 年 湖北 高考试题 )设 X N( 1, 12),Y N( 2, 22),这两个正态分布密度曲 线 如图所示 论中正确的是 ( ) (A)P(Y 2)P(Y 1) (B)P(X 2)P(Y t) (D)对任意正数 t,P(X t)P(Y t) 21.(2007 年湖南高考试题 )设随机变量服从标准正态分布 N(0,1),己知 ( P(| |0)0,1)内取值的概率为 在 (0,2)内取值的概率为 由 P( =10)=m=1-(32+232+ +932)=1-1C). 设直线 l:y= 原点到直线 l 的距离 d=112k;当 k=0 时 ,d=1;当 k=25时 ,d=32;当 k= 3 时 ,d=21;当k= 2 2 时 ,d=31 71(1+232+221+231)=74. 由题知 ,在一次试验中 ,试验成功 (即至少有一枚硬币正面向上 )的概率为 P=1-(21)2=43;2次独立试验成功次数 B(2,43),则 43=23. 由 E(X)=0,D(X)=20 p=31. 由 正态分布 的性质 :P( c+1)=P( (c+1)+(2 2 c=B). 由 P( 1)=P(0 1)=点的个数 =10000 C). 由 P( =0)=(1111256;P( =3)=542524 p=53,q=52 a=P( =1)=54(11(1p (1(11-p)q=12537 b=1-(1256+12537+12524)=12558. 374 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 设 P(=1 )=P(=3 )=a,P(=2 )=b,则 2a+b=1,E=a+2b+3a=2 (2a+b)=2. 一封信随机投入 A、 B、 则 A 邮箱的信件数的数学期望 =31 两封信随机投入 A、 B、 C 三个空邮箱 , 则 A 邮箱的信件数的数学期望 231=32. 125个小正方体中 : 8个顶点处的 8个小正方体涂有 3面 ; 每一条棱上除了两个顶点处的小正方体 ,还剩下 3个 ,一共有 3 12=36个小正方体涂有 2面 ; 每个表面去掉四条棱上的 16个小正方形 ,还剩下 9个小正方形 ,因此一共有 96=54 个小正方体涂有一面 ; 有 125-(8+36+54)=27 个内部的小正方体的 6 个面都没有涂油漆 E(X)=B). 由 P( =1)+P( =2)+P( =3)+P( =4)=1 10a+4b=1;又由 3 30a+10b=3 a=101,b=0 a+b=101. 由 P( =700)=a,P( =7002a,P( =7004a,a+2a+4a=1 7a=1 700a+(700 2a+(700 4a=500. 设 P( =1)=a,P( =2)=b,则 a+b=54;由 E( )=1 a+2b=1 a=53,b=51 E( 2)=051+153+451=57 D( ) =E( 2)-(2=52. 由 191(x1+x2+ +191(+(+ +02+ +(8d)2+(9d)2=30设这名学生在上学路上因遇到红灯的次数为 ,则 =2 ,且 B(4,31) 431 238. 设 某人获得“支持” 的个数为 ,则 B(2,21) 221=1;由 某人获得资助的数学期望 =55 3 人获得资助的数学期望 =15. 设 需要补种 的个数为 ,由 一个坑 需要补种的概率 p=(=81