1_6354486_30.特殊的裂项技巧.特别的精神享受

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 特殊的裂项技巧 裂项求和 的 基本思想 裂项 求和法 的关键是把数列的通项分 裂 为具有递推关系的两项差 ,这也是 裂项 求和法 的基 本 思 想 和法 需 要 你的创造性 ,裂项 求和法 能给你带来特别的精神享受 . 母题结构 :用 裂项 求和法 ,求 数列 前 n 项和 解 题 程序 :对 通项 使得 an=f(n+1)-f(n)或 an=f(n)-f(n+1);若 an=f(n+1)-f(n),则 Sn=f(n+1)- f(1);若 an=f(n)-f(n+1),则 Sn=f(1)-f(n+1). 子题类型 :(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题 )设 正数组成的数列 ,其前 n,并且对所有自然数n,都有 13( )写出数列 前三项 ; ( )求数列 通项公式 (写出推证过程 ); ( )令 1na(n N+),求数列 前 解析 :( )由 131=34 213 031; ( )由 13=243)-(213 (n+3)= (n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1) (n+2)(n+1)(n+2);令 xn=n(n+1)(n+2) ,=(n+1)(n+2)(n+3) =(n+1)(n+2) n+1)(n+2) (n+3)-n(n+1)(n+2) xn=( +(8+n(n+1)(n+2)2+n(n+1)(n+2) +)2)(1( 2 ( )由 1n(n+1)(n+2)=81n(n+1)(n+2)(n+3)-(n(n+1)(n+2) 前 n=81n(n+1)(n+2)(n+3). 点评 :常见的整式裂项 :n(n+1)=31n(n+1)(n+2)-(n(n+1),n(n+1)(n+2)=41n(n+1)(n+2)(n+3)-(n(n+1)(n +2)等 ,由此可得 :12+22+ +1n(n+1)(2n+1);13+23+ +2 )1( . 项 子题类型 :(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题 )已知 f(x)在 ()上有意义 ,f(21)=满足 x、 y ()时 ,有 f(x)+f(y)=f(1). ( )数列 足 1,=212 设 an=f(求 通项公式 ; ( )设 bn=n+1,求 1+f(11b )+f(21b )+ +f(20021b )+f(2041 )的值 . 解析 :( )a1=f(f(21)=-1,=f()=f(212 =2f(22( )令 x=y=0 f(0)=0;令 y=f(x)+f(0;f(=f( 1)2)(1( 1 =f()2)(1(11 2111f(11n)+f(n)= f(11n)1n) 1+f(11b )+f(21b )+ +f(20021b )+f(2041 )=1+f(21 )1 )+f(31 )1 )+ +f(2031 )- f(2041)+f(2041)=0. 点评 :利用函数方程进行裂项 的关键有二 :判断并利用 函数 的奇偶性 ;灵 活 赋值 ,使得所求函值 f(f(g(n+1)- f(g(n). 子题类型 :(2011年安徽高考试题 )在数 1和 100之间插入 使得这 n+2个数构成递增的等比数列 ,将这 n+2个数的乘积记作 令 an=n 1. ( )求数列 通项公式 ; ( )设 bm=t,求数列 前 n 项和 解析 :( )设 c1, ,构成等比数列 ,其中 ,=100,则 -i=100(i=1,2, ,n+2),Tn= Tn= ,式得 :(=()() (100n+2 0n+2 an=n+2;( k+1) kk kk k+1)1k+1)1 bk=k+2)k+3)= 1k+3)- k+2)Sn=b1+ +11+11+ +1n+3)n+2) 1n+3)n. 点评 :常见的 三角裂项 :k+1)k+1)1;)1nn=n+1)n+ 1)等 . 1.(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题 )设边长为 1 的正 边 有 n 等分点 ,沿点 B 到点 C 的方向 ,依次为2, , 1211,求证 :Sn=112. 2.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题 数列 足 :1,=)1)(1( xk=a1+ +ak,1a +21a + +k=1,2,3, ,求 nk 3.(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题 )对 任意的正整数 n,证明恒等式 : nk 4 1=112 nk 4.(2010 年 全国 高考试题 )已知数列 前 n 项和 n2+n) 3n. ( )求 通项 为 求 ( )证明 :211a+222a+ +2n. 5.(2014 年 山 东高考试题 )已知等差数列 公差为 2,前 2,且 2, ( )求数列 通项公式 ; ( )令 -1)求数列 前 n 项和 6.(2005年第一届北方数学奥林匹克邀请赛试题 )定义在 f(x)满足 : f(0)=0; 对任意 x、 y (- , (1,+ ),都有 f(f(f(1);当 x ()时 ,都有 f(x)f(191)+f(291)+ +f(11712 f(21). 设 a,b,则 (B +a+nk(a+k=0,1,2, n) 1(a+a+b)=+nk )ab+nk b2=+21(+nk )+nk =21nkn+k2+k(k=0,1, , 1n1(n(221(n=112. 由 =)1)(1( )1(1 1n+1 )1( 1 11n 11 k(k+1)(k+2) 1k2(k+2) nk 61n(n+1)(31n+4). 由124 kk k=)1)(1( 22 k=21(112 211)1( 1 ( 1 nk 4 1=211- 112 112 1n(n+1)=112 nk ( )由 n2+n) 3n n(n+2) 3( )当 n=1时 ,211a=631;当 n 2时 ,由 11a+222a+ +211S+2 122+ +2 1=(2111+(2212 + +2)1( 11n 1n 2n 3n3n. ( ) )由 -1)12)(12( 4 nn n=(-1)21n+121n);当 n 为偶数时 ,1+31)-(31+51)+(51+ 71)- +(321n+121n)-(121n+121n)=1n=122 当 n 为奇 数时 ,1+31)-(31+51)+(51+71)- -(321n+121n)+(121n+121n)=1+121n=12