1_6354542_1.向量视角下的三角形面积公式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 向量视角下的三角形面积公式 由三角形面积 公式 的 向量式 生成高考试题 用三角形两边所在向量可简 洁 表示其面积 ,尤其是在向量视角下 ,三角形与四边形面积可以得到出乎意料的“统一” ,因此 ,向量视角下的三角形面积公式倍受高考命题者青睐 ,为统一 此类 高考 试题 ,我们 归纳 母题如下 : 母题结构 :( )在 ,若 a,b,则 面积 S 1 222 )(| ; ( )(i)在 ,若 (x1,(x2,则 面积 S 1| ( 四边形 ,若对角线向量 (x1,(x2,则 四边形 面 积 S=21| 母题 解 析 :( )由 面积 S 1|1|a|b|1 2 |(|=21 2222 )co s|(| =21 222 )(| ; ( )(i)由 a=(x1,b=(x2, |a|2|b|2-(=(=( S 1| ( 对角线 则 四 边形 =21|21 222 )(| =21| 子题类型 :(2009 年福建高考试题 )设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 ,且满足 a 与 b 不共线 ,a c,|a|=|c|,则 |值一定等于 ( ) (A)以 a,b 为两边的三角形的面积 (B)以 b,c 为两边的三角形的面积 (C)以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 (D)以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 分析 :设 a,b,c, ,则 |,由 此可解 . 解析 :由 |b|c|b|a|以 a,故选 (C). 点评 :对 以自由向量表示的三角形面积公式 :S 1 222 )(| ,有三种命题方向 :探索向 量式 的面积意义 ; 已知向量 a,b,求以 已知向量 a,求某量的范围 . 子题类型 :(2013 年 福建 高考试题 )在四边形 ,(1,2),()则该四边形的面积为 ( ) (A) 5 (B)2 5 (C)5 (D)10 分析 :本题由二种解法 :一是发现 四边形 并由对角线垂直的四边形面积公式求解 ;二是无需 发现隐蔽条件 ,直接由 四边形面积公式求解 . 解析 :(法一 )由 (1,2),() 0 S 四边形 1|=C). (法二 )由 四边形的面积 =21|1 2(=C). 点评 :对于 面积 S 1| 四边形 面积 S=21|可以设计 : 给点或向量坐标 ,求三角形或 四边形 的面积 ; 求线性约束条件下的三角形或 四边形 面积 ; 已知满足 面积 关系的点 ,求点的坐标 . 子题类型 : (2014年全国高中数学联赛 吉林 初 赛 试题 )给定平面上四点 O,A,B,C,满足 , 3,则 积的最大值为 . 分析 :由 , 3 确定的 ,又由 ,作图 ,可求 积的最大值 . 解析 :由 3 1 |=|= 7 ; 考虑以原点 O 为圆心 ,半径 为 4的 圆 O,如图 ,作 H,则 最大值 =; 又因 222 )(| 213 积的最大值 =21 7 (7213+4)=233+2 7 . 点评 :利用 S 1 222 )(| ,可构造自由向量式的面积最值问题 ;利用 S 1|构造 解析 向量式的面积最值问题 . 1.(2010 年 辽宁 高考试题 )平面上 O,A,B 三点不共线 ,设 a,b,则 面积等于 ( ) (A) 222 )(| (B) 222 )(| (C)21 222 )(| (D)21 222 )(| 2.(2004年全 国高中数学联赛湖南 初赛试题 )已知 a,b,试用 a,即 S . 3.(2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题 )设 |a|=|b|=1,a与 则以 a+_. 4.(2011 年全 国高中数学联赛江苏 初赛试题 )已知向量 a、 b 满足 |a|=|b|=2,=3,则以向量 2a+b 与 3示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 . 5.(2011 年浙江 高考试题 )若平面向量 , 满足 | |=1,| | 1,且以向量 , 为邻边的平行四边形的面积为21,则 与 的夹角的范围是 . 6.(2012 年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )已知 等腰直角三角形 , A=2,a+b, a=( R),若 以 O 为直角顶点的等腰直角三角形 ,则 面积等于 _. 7.(2012 年全国高中数学联赛 浙江 初 赛 试题 )已知 a=(,a+b, 以 O 为直 角顶点的等腰直角三角形 ,则 面积等于 ( ) (A)1 (B)21(C)2 (D)238.(2006 年浙江高考试题 )在平面直角坐标系中 ,不等式组20202表示的平面区域的面积为 ( ) (A)4 2 (B)4 (C)2 2 (D)2 9.(2014 年 安徽 高考试题 )不等式组02304202示的平面区域的面积为 . 10.(2009 年第 20 届“希望杯”全国数学邀请赛高一 试题 )已知 三点 :A(3,0),B(1,2),C(4,3),则 面积 等于 ;又设点 P 在 ,使 面积 之比为 2:1:1,则点 P 的坐标为 . 11.(2005 年江西高考试题 ) ,O 为坐标原点 ,A(1,B(1), (0,2,则当 面积最大时 ,=( ) (A)6(B)4(C)3(D)212.(2012 年全 国高中数学联赛 试题 (B)在 ,若 7,|=6,则 积的最大值为 . 故选 (C). S 1 222 )(| . 由 a+b|2|3-(a+b)(32=12 S=2 3 . 由 |2a+b|2=28,|3=28,(2a+b)(322 S=10 3 . 由 | | |21 | |21 | |= | | 11 1 6,65. 由 A=2 0 |a|=|b|=1,由 |=| |a+b|=| |=|= 2 S . 同上题 A). 由不等式组所表示的平面区域为 (0,2),B(2,0),C(2,4) 面积 =B). 由直线 AB:x+ 与直线 AC:x+2 的交点 A(0,2),直线 AB:x+ 与 直线 BC:x+3 的交点 B(2,0),直线 AC:x+2 与直线 BC:x+3 的交点 C(8,且区域在直线 在直线 下方 ,为 (2, (8, S 1|2(8(=4. 由 (),(1,3) 4;设 P(x,y),13(点 B:x+的上方 ),3x- y9(点 C:3的上方 ),则 (y),由 21|2(2y|=|x+x+ x+y=5;由 面积 =21|3(y|=21(9y)=1 3 x=3,y=2 P