18_6354378_51.构造二次方程.解决解析几何试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 构造 二次 方程 解决解析几何试题 的 一个技 法 解析几何的基本思 想 是利用代数的方法研究几 何 问题 ,因此 ,方程理论是解析几何的基本工具 ,其中 ,构造 二 次 方程解题是 一种重要的思想方法 . 母题结构 :( )己知 c=0,c=0,则 x1+ab,( )己知 (x1,(x2,0)满足 ,则11221122 母题 解 析 :( )与 ( )的本质是韦达定理 ,正确性显然 ;在解析几何中应用 的关键是如何 构造 二 次 方程 . 构造一元二次方程 子题类型 :(2011 年全国大纲卷 高考试题 )设两圆 和两坐标轴相切 ,且都过点 (4,1),则两圆心的距离|( ) (A)4 (B)4 2 (C)8 (D)8 2 解析 :设 圆 +(=2:(+(=b2(a b),由 4,1) (4+(1= (4+(1- b)2=a,程 (4+(1= 7=0的两个根 a+b=10,7 | 22 )()( =C). 点评 :由同一点在相同条件下的两条曲线上 ,或由“地位相同”的不同两点在一条曲线上 ,均可构造一元二次方程 . 同位”直线 ,构造一元二次方程 子题类型 :(2014 年 广 东 高考试题 )已知椭圆 C:222(ab0)的一个焦点为 ( 5 ,0),离心率为35. ( )求椭圆 ( )若动 点 P(x0,椭圆外一点 ,且点 的两条切线相互垂直 ,求点 解析 :( )令 c= 22 ,c= 5 ,e=5 a=3,c= 5 b=2 椭圆 C:92x+42y=1; ( )设 两切线 为 l1,当 由 3, 2;当 x 轴且不平行于 设 l1,k1, l1:k1(代入 椭圆 :(9)8(;由直线 圆 =0 ( 程 ( 的 根 ,同理可得 程 (的 根 42020由 19420201 3,且当 3, 2 时 ,也满足 点 P 的轨迹方程 是 x2+3. 点评 :对 “同等地位”的两 条直线 ,首先围绕其中一条直线“单方面” 展开分析与运算 ,直至得到关于某量的一元二次方程 ,同理可得另一条直线对应量也是该一元二次方程的根 ,通过根与系数的关系 ,使问题获得干净利落的 解 决 . 程 ,构造 二元 二次齐次方程 子题类型 :(2000 年 北京安徽春招 试题 )如图 ,设点 为抛物线 px(p0)上原点 以外的两个动点 A M 点 M 的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 . 解析 :设 A(x1,B(x2,直线 AB:x=ty+b(b 0) 1=代入 :px b(2+4pt1122由 122b=4p 直线 AB:x=(4p, 0),由 点 M 的轨迹是以 直径的圆 (去掉坐标原点 ),方 程 是 x(x 0). 点评 :对于直线 、 且 或积已知的问题 ,可设 直线 l:y=kx+m或 x=ty+m(m 0) 1= 1=然后利用二次项不变 ,一次项乘常数项乘 (2或 (2的法则 ,构造关于 x,进而转化为关于用韦达定理 解决 相关问题 . 1.(2007 年全 国高中数学联赛江西 初赛试题 )若实数 x,y 满足 :310 52 x+310 62 y=1,310 53 x+310 63 y=1,则 x+y= . 2.(2008 年全 国高中数学联赛浙江 初赛 试题 )已知 , R,直线 x+ y=1 与 x+ y=1 的交点在直线 y= ,则 . 3.(2008年全国高中数学联赛山东 初赛试题 )F(1,0)为一定点 ,P(0,b)是 点 M(a,0)满足 =满足 20,求 :( )点 N 的轨迹曲线 C 的方程 ; ( )曲线 4.(2006 年全国 高考试题 )己知抛物线 y 的焦点为 F,A、 B 是抛物线上的动点 ,且 0)、 B 两点分别作抛物线的切线 ,设其交点为 M.( )证明 : 为定值 ; ( )设 面积为 S,写出 S=f( )的表达式 ,并求 S 的最大值 . 5.(1993 年 上海 高考试题 )抛物线 y=(0,直线 、 B 两点 ,O 为坐 标原点 A 与 斜率之和为 1,求直线 l 的方程 . 6.(1991 年全国高考试题 )己知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上 ,直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 Q,|210,求椭圆的方程 . 由 已知得 210,310是方程35t x+36t y=1,即 x+t+ =0 的两个根 210+310=x+x+y=210+310+53+63. 设两直线的交点为 (则 方程t x+t x=1,即 t+x0(=0 的两个根 -(,即 0. ( )设 N(x,y),由 =0,20 ,x+a=0,y=2b x;( )设 交点 T(x0,切线 :k( 代入 x 得 : =0 =0;由 1 1 交点轨迹 是直线 x=( )设点 A(2a,B(2b,M(x0,则 MA:ax=y+B:bx=t+, ab=由 F,A,B 三点共线得 :1 1 =0;( )略 . 设 A(x1,B(x2,直线 l:y=1=入 2y 得 :2y( 2(1122k;由直线 B 的斜率之和为 111221 k=1 直线 l:y=设椭圆的方程 :(a0,b0,a b),P(x1,Q(x2,则 |210 (x1+5