20_6354415_42.球的截面模型

A 国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 球的截面模型 球的截面 问题 的 基本结论 平面与球相交可得球的截面模型 ,球的截面问题是球的基本问题 ,与圆类比可建立球的截面问题的两个母题模型如下 . 母题结构 : 项目 圆 球 模型 直线与圆相交 ,截得弦 . 直线过圆心时 ,直线截圆所得的弦最大 ,是圆的直径 ; 等腰三角形的底边上的高是其外接圆的半径 ; 圆 的半径时 ,底边在其外接圆的直径上 . 平面与球相交 ,截得圆 . 平面过球心时平面截球所得的圆最大 ,称为球的大圆 . 棱锥的高等于其外接球的半径 ; 球的半径时 ,底面在其外接球的大圆上 . 模型 直线不过圆心时 ,有垂径定理 : 过圆心且垂直于弦的直线过弦的中点 ; 如果圆的半径为 R,弦长为 2r,圆心到弦的距离为 d,则 d2+2. 平面不过球心时 ,有基本定理 : 和球心的直线垂直于截面 ;过球心且垂直于截面的直线过截面圆的圆心 ; 如果球的半径为 R,截面圆的半径 为 r,球心到截面的距离为 d,则 d2+2. 解 题 程序 :与圆类比 建立的球的截面问题的两个母题模型中的基 本 结论均显然成立 . 问题 子题类型 :(2007 年宁夏、海南高考试题 )己知三棱锥 各顶点都在一个 半径为 R 的球面上 ,球心 B 上 ,面 C= 2 R,则球的体积 与三棱锥体积 之比是 ( ) (A) (B)2 (C)3 (D)4 解析 :如图 ,三棱锥 高 h=,在 底面 , 2 R 2 R S 12 31S h=31V 球 :4 1 D). 点评 :模型的问题就是关于截面过球心 ,即球的大圆问题 问题 ,除掌握模型中的有关结论外 ,还应理解 :底面 多边形的外 接圆半径是球的半径 . 问题 子题类型 :(2011 年 大纲 高考试题 )已知平面截一球面 得圆 M,过圆心 M 且与 成 600二面角的平面截该球面得圆 半径为 4, ,圆 N 的 面积为 ( ) (A)7 (B)9 (C)11 (D)13 解析 :如图 ,由圆 M 的面积为 4 圆 M 的 半径 3 ;在 , 00 3 圆 N 的 半径r= 13 圆 N 的面积 =13 D). 点评 :模型的问题 ,即截面不过球心的情况 ,要重点关注三个量 :一是球的半径 ,二是截面圆的半径 ,三是球心到截面(既球心与截面圆的圆心 )的距离 r2+2,由其二 ,求其三 . 引伸 子题类型 :(2004 福建高考试题 )如图 ,A、 B、 C 是表面积为 48的球面上三点 , 00,O 为球心 ,则 直线 截面 成角的余弦值为 ( ) (A)63(B)33(C)633(D)36解析 :由球的表面积 =48 球的 半径 3 ;在 ,由 , 00 2 3 2r=060 外接圆半径 r=2 直线 截面 成角的余弦值 =3. 故选 (B). 点评 :模型的引伸可以通过隐含公式 r2+2中的 r 与 d 进行 ,如球面上三点的问题是模型的引伸 ,解决此类问题的关键是 ,求球面上三点构成的三角形外接圆半径 r,然后利用模型解决问题 . 1.(2007年陕西高考试题 )己知正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上 ,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上 ,则该正三棱锥的体积为 ( ) (A)433(B)33(C)43(D)1232.(2006 年四川高考试题 )如图 ,正四棱锥 四个顶点 A、 B、 C、 D 在球 O 的同一个大圆上 , 点 P 在球面上 的表面积是 ( ) (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 3.(2007 年全国高考试题 )正四棱锥 底面边长与各侧棱长都为 2 ,点 P、 A、 B、 C、 D 都 在同一个球面上 ,则该球的体积为 . 4.(2006 年辽宁高 考试题 )己知正六棱锥 所有顶点都在半径为 2 的球 O 上 ,且底面正六 边形 球 O 的一个大圆上 ,则此正六棱锥的侧面积为 . 5.(2005 年全国高考试题 )一个与球心的距离为 1 的平面截球所得圆的面积为 ,则球的表面积为 ( ) (A)8 2 (B)8 (C)4 2 (D)4 6.(2008 湖北高考试题 )用与球心距离为 1 的平面去截球 ,所得的截面面积为 ,则球的体积为 ( ) (A)38(B)328 (C)8 2 (D)3327.(2012年 课标 高考试题 )(文 )平面截球 ,球心 ,则此球的体积为 ( ) (A) 6 (B)4 3 (C)4 6 (D)6 3 8.(2004 年江苏高考试题 )一平面截一球得到直径是 6圆面 ,球心到这个平面的距离是 4该球的体积是 ( ) (A)310 (B)3208 (C)3500 (D)313416 .(2004 年全国 高考试题 )用平面截半径为 R 的球 ,如果球心到平面的距离为2R,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 . 10.(2006 年全国 的高考试题 )过球的一条半径的中点 ,作垂直于该半径的平面 ,则所得截面的面积与球的表面积之比为( ) (A)163(B)169(C)83(D)32911.(2008 年四川高考试题 )设 M 是球 O 半径 中点 ,分别过 M、 O 作垂直于 平 面 ,截球面得两个圆 ,则这两个圆的面积之比为 ( ) (A)41(B)21(C)32(D)4312.(2013年 课标 高考试题 )(文 )已知 B=1:2,面 , 截球 则 球 . 13.(2009 年全国 I 高考试题 )己知 球 O 的半径 ,过 中点 M 且垂直于 平面截球面得到圆 M,若圆 M 的面积为3 ,则球 O 的表面积等于 . 14.(2006 年湖南高考试题 )过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面 ,若 该截面所成的角是 600,则该截面的面积是 ( ) (A) (B)2 (C)3 (D)2 3 A B C P D E F A B 2006年全国 高考试题 )己知圆 的球 且圆 1与球 的比 为 =2:9,则 则圆心 的距离与球半径的比 = . 16.(1989年全国高考试题 )己知球的两个平行截面的面 积分别为 5和 8 ,它们位于球心的同一侧 ,且相距为 1,则这个球的半径是 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)5 17.(2008 年四川高考试题 )设 M、 N 是球 O 半径 的两点 ,且 N=别过 N、 M、 P 的平面 ,截球面得三个圆 ,则这三个圆的面积之比为 ( ) (A)3:5:6 (B)3:6:8 (C)5:7:9 (D)5:8:9 18.(2009 年全国 高考试题 )己知 球 O 的半径 ,M 是 中点 ,过 M 且与 450角的平面截球 O 的表面得到圆 的面积等于47 ,则球 O 的表面积等于 . 19.(1991 年第 二 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )木球浮在第一种液体中时 ,球心与液面的距离为 2,液面与球面相交形成一个圆 ,当这只木球浮在第二种液体中时 ,球心与液面的距离为 3,液面与球面相交形 成另一个圆 . 20.(2008 年全国 高考试题 )已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 ,则两圆的圆心距等于 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 21.(2013 年 大纲 高考试题 )已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆 ,其 公共弦长等于球 O 的半径 ,3,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 600,则球 O 的表面积等于 . 22.(2007 年陕西高考试题 )三个顶点在半径为 13 的球面上 ,两直角边长分别为 6 和 8,则球心到平面 距离为 ( ) (A)5 (B)6 (C)10 (D)12 23.(2009 年湖南高考试 题 )在半径为 13 的球面上有 A、 B、 C 三点 ,0,则 :(1)球心到平面 距离为 ;(2)过 A、 B 两点的大圆面与平面 成二面角 (锐角 )的正切值为 . 24.(2013 年 课标 高考试题 )已知正四棱锥 体积为223,底面边长为 3 ,则以 O 为球心 ,半径的球的表面积为 . 25.(2004 年全国 高考试题 )(文 )己知球的表面积为 20 ,球面上有 A、 B、 C 三点 ,如果 C= 3 ,则球心到平面距离为 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 26.(2004 年全国 高考试题 )(理 )己知球的表面积为 20 ,球面上有 A、 B、 C 三点 ,如果 C=2, 3 ,则球心到平 面 距离为 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 27.(2004 年辽宁高考试题 )设 A、 B、 C、 D 是球面上的四点 ,且在同一平面上 ,C=A=3,球心到该平面的距离是球半径的一半 ,则球的体积是 ( ) (A)8 6 (B)64 6 (C)24 2 (D)72 2 28.(2013 年 课标 高考试题 )(理 )如图 ,有一个水平放置的透明无盖的 正方体容器 ,容器高 8一个 球放在容器口 ,再向容器内注水 ,当球面恰好接触水面时测得水深为 6果不计容器的厚度 ,则球的 体积为 ( ) (A)3500(B)3866(C)31372(D)3204829.(2011 年 课标 高考试题 )已知矩形 的球 且 , 3 ,则棱锥 0 . 30.(2012 年 课标 高考试题 )(理 )已知三棱锥 所有顶点都在球 O 的球面上 , 边长为 1 的正三角形 , ,此棱锥 的体积为 ( ) (A)62(B)63(C)32(D)2231.(1994 年第 五 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )三棱锥 锥顶在半径为 6 的球 O 的球心 ,其余各顶点在球 O 的表面上 ,三棱锥的高为 3,则此三棱锥体积 V 的最大值是 . 32.(2008 年第 十 九 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )如图 ,已知球 O 的表面积是 12 ,A, B,C 是球面上的三点 , 00,则直线 平面 成角的 余 弦值是 ( ) (A)63(B)33(C)633(D)3633.(2010 年 大纲 高考试题 )已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圈 ,圆 M 与圆 N 的公共弦 ,若N=3,则两圆圆心的距离 . 由 底面 正三角形的面积 =433,高 =1 体积 =C) :由 216 R=2 表面积 =16 D). 由 边长为 2 r=1 h=1 R=1 体积 =34 :由 边长 =半径 =2,高 =2 棱长 =2 2 倾高 = 7 面积 =6 7 . 由 r=1,d=1 R= 2 S=8 B). 由 截面半径 r=1 R= 2 V=328 B). 由 r=1,d= 2 R= 3 V=4 3 . 由 r=3,d=4 R=5 V=3500C). 由 d=2R r=23R 比值 =163. 同上题 A). 同上题 D). 由 r=1,d=3R,由 1+(3R)2=9 S=29 :设圆 M 的半径为 r,则 表面积 =16 . 由 r=A). 设圆 r,由 =2:9 r:R= 2 :3 又 2 =1:3. 由 5 , 2 =(h+1)2+5=R=B). 设半径分别为 R,则 2-(32R)2=95R2,2-(31R)2=98比 =2=5:8:D). 由 7,d=42R (42R)2+47=R= 2 S 球 =4 :由 =R2,= (5 . 设两圆的圆心分别为 心为 O,公共弦为 中点为 E,则 对角线 E= 3 C). 设 两圆的公共弦 ,E 为 中点 ,则 00,又 正三角形 3R R=2 S=16 . 由 斜边长为 10 r=5 d=D). 由 r=5 d=12;设 中点为 D, 外接圆圆 心为 心 为 O