信号与系统第五章

信号与系统第五章第五章 系统的状态变量分析第一节 引言第二节 LTI系统的信号流图第三节 状态方程和状态方程的建立第四节 状态方程的求解第五节 由状态方程导出 H(s)及系统稳定性讨论5.1引言 系统函数的零、极点的分布情况 决定了系统的时域、频域特性和稳定性等各类问题，无论是系统分析还是系统综合，都广泛应用到 。 局限性： 系统函数只能针对零状态响应描述系统的外部特性，不能反映系统的内部特性。 前面几章在进行系统分析时，只关心系统的输入和输出（即激励和响应）的关系，它们的关系可用 n阶微分方程的形式表示，也可用系统函数或频响特性表示，这种系统描述方法称为 输入输出法 。 当只需要了解 少数几个输出变量 时，采用 输入输出法比较合适。 当需要研究系统内部的一些变量，以使 系统的结构和参数达到优化 时，需要对系统的 内部状态 进行描述，应采用内部描述法 状态变量法 。 状态变量法 是用 n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。它主要具有以下几个 优点 ：(1)提供了系统的 内部特性 以便研究；(2)用 一阶微分或差分方程 组描述系统，便于计算机进行数值计算；(3)用 矢量和矩阵 来表示系统的数学模型，特别适用于多输入多输出的系统；(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等各类系统。5.2 LTI系统的信号流图系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。1.信号流图信号流图是用一些 点 和 有向线段 作图来描述系统各变量间的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就是用 一条有始有终的线段 表示；起始点标为 ，终点标为 ，这种点称为 结点（节点） 。 H(s)X(s) Y(s)H(s)X(s) Y(s)方框图流图P286 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起 求和 与 分配的作用； 连接两个结点的有向线段称为 支路 ； 箭头 表示信号传输的方向； 两结点之间的 系统函数 （ 转移函数 ）就标注在箭头附近，所以每条支路相当于 乘法器 。H(s)X(s) Y(s)一个结点可以有多个信号输入，而且可以向不同方向输出。如图所示，结点 有三个输入，一个输出，它起了 加法器 的作用，即将三个输入信号求和后再输出；结点 有两个输入，三个输出，它既有 求和 的作用，又有信号 分配 的作用。 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为 源点 （或 输入结点 ），如图中的 。 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为 汇点 （或 输出结点 ），如图中的 。 既有输入支路又有输出支路的结点称为 混合结点 ，如图中的 、 和 。P289 从 任一结点 出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点，到达另一结点的路径称为 通路 。 如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为 开通路 。如图中 和 如果通路的终点就是通路的起点，且与其余任何结点相交不多于一次，则称为 闭通路 或 回路 、 环路 。如图中和 等。 只有一个结点和一条支路的回路称为 自回路（或自环） 。如图中 。 相互无公共结点的回路称为 互不接触回路 。如图中 和 两个回路互不接触。 回路中所有各支路 “增益 ”即转移函数的乘积称为 回路增益。 从源点到汇点的开通路称为 前向通路 。如图中 和都是前向通路。 前向通路中所有各支路转移函数的乘积称为 前向通路增益。2.信号流图的性质和化简规则在运用信号流图时，应该遵循其基本性质，即：a. 支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，如图中与 之间就是通过转移函数 来联系起来的。 支路完成增益（转移）功能 ，相当于 “乘法器 ”。 信号只能沿支路箭头方向传输 。b. 当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号叠加，并把 总和信号 传输给所有与该结点相连的输出支路，如图中的结点 和 等。也就是说， 结点完成输入求和与分路输出功能 ，相当于 “加法器 ”。H(s)X(s) Y(s)P289c. 具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传输的支路，可将它变成输出结点来处理。 如图所示，和 实际上是同一个结点，但分成两个结点以后， 就成了只有输入支路的输出结点，而 是既有输入又有输出的混合结点。d. 对于给定的系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图的前两条性质 a和 b实质上表征了信号流图的 线性性质 。描述 LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换（或 Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是这类线性代数方程或方程组。 l例题 已知某一阶系统的微分方程为试画出该系统的信号流图。解：通常将表示 输入 信号 的结点放在流图的 最左端 ，将表示 输出 信号 的结点放在流图的 最右端 。将微分方程中 的最高阶导数项留在方程的左侧，其余项放在方程的右侧 ，则上式可写成 方程两边积分一次，即可得输出 。由此可见， 是先将 和 相加，再将此 和信号 积分即可，故可得如图所示的信号流图，图中算子符号 是表示积分 ，即 ，相应的， 是微分 算子符号，即 。 实际上，下图也是微分方程的信号流图。由此可见，同一个系统可有多种不同形式的信号流图，与系统的方框图一样，它们是不唯一的。 例 11-13若一阶系统的微分方程改为则按照上述原则，可将原微分方程调整为两边积分，可得可见 是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是 和 ，而后者又是积分器的输出信号，这个积分器的输入是 。画出信号流图如图所示。 P289可以验证下图所示的信号流图也完全满足该系统的微分方程式，所以它也是该系统微分方程的信号流图。 若将式 与 两边取拉氏变换，则 ， ， ，则其信号流图描述的是关于 的代数方程，只要将图中的 改为 ，所有变量 均改为 的函数即可。信号流图可按代数规则进行化简或变换。其基本规则是：a. 串联支路 ：两条增益分别以 a和 b的支路相串联，可合并为一条增益为 ab的支路，同时消去中间结点，如图所示。这是因为 ， ，故有b.并联支路 ：两条增益分别为 a和 b的支路相并联，可合并为一条增益为 的支路，如图所示。所以，有P291c. 混合结点的消除 ：两条分别从结点 和 出发的、增益分别为 a和 b的支路相交于混合结点 ，且 和 的支路增益为 c，则混合结点可按下图方式消掉。这是由于 d. 自环的消除 ：如图所示，一条 的通路，若 至的支路增益为 a， 至 的支路增益为 b， 至 的支路增益为 c，则可化简成 至 的支路增益为 ab，在 处有增益为bc的自环，如图所示。进一步可 消去自环 ， 至 的增益为 。这是 因为 ，而所以 ，则按照以上基本规则，可将一个复杂的信号流图加以简化，使之只剩下一个源点（对应系统的输入激励信号）和一个汇点（对应系统的输出响应信号），从而系统的 系统函数（转移函数）即可确定下来。 l例题 利用信号流图的代数运算规则，化简如图所示信号流图，并求系统函数。解 :(1)串联合并， 消去结点 （所谓简化就是将中间结点消掉），得图 (2)串联合并， 消去结点 ，得图(3)先 合并并联支路 ，再合并串联支路， 消去中间结点 ，得图(4)先消自环，再串联合并， 消去中间结点 ，得图由此可得 系统函数 为说明：a.实际上，上例信号流图所描述的方程是联立求解后，可得 ，结果完全同上。b.化简信号流图的具体 步骤可不同 ，但最终结果必相同。即不同结构的框图可实现同一功能。3.信号流图的 Mason（梅逊）公式 用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流图很方便地求得输入输出间的 系统函数 。梅逊公式 为式中： 称为信号流图的特征行列式； 是所有不同环路的增益之和； 是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；是所有三个互不接触环路