2009年gct数学考试真题及答案解析

2009 年 GCT 数学试题参考解答（25 题，每题 4 分，满分 100 分）1、 ( C )。2)139753(0821A、41 B、49 C、1681 D、2401解：原式= ，选222(08)(081)(49)168499（C） 。 2、图 1 直角坐标系 xOy 中的曲线是二次函数 y=f(x)=( B )。A、 -x2-6x-5B、 x2-4x-5C、 -x2+6x-5 D、 x2+4x-5解：令 ，选（B） 。12450 ,5yxx3、若将正偶数 2，4，6，8，10，12，14，16，依次排成一行：246810121416则从左向右数的第 101 个数码是（ A ） 。A、1 B、2 C、3 D、4解：个位数有 4 个，十位数有 90 个，百位数100，102，104，则从左向右数的第 101 个数码是 1，选（A） 。4、如图 2，长方形 ABCD 中， AB a， BC b（ b a） 。若将长方形 ABCD 绕 A 点顺时针旋转 90，则线段 CD 扫过的面积（阴影部分）等于（ A ） 。A、 B、 （b 2-a2） 42a4C、 D、 （b-a） 22b解： ,选（A） 。2 22111()44Aababa5、若两个正数的等差中项为 15，等比中项为 12，则这两数之差的绝对值等于（ D ） 。A、7 B、9 C、10 D、18解： 22121 12530, 4, 304, 4,6,xxxx，选（D） 。4686、函数 y=f (x)是定义在（-,+ ）上的周期为 3 的周期函数，图 3 表示的是该函数在区间-2，1上的图像，则的值等于（ C ） 。)4(209)1(ffA、-2B、0 C、2， D、4解： ，(1),(209)(1),(3)01,(4)2ffffff故原式= ，选（C） 。7、等腰ABC 中， ABAC= ，底边 BC3,则顶角A 的取3值范围是（ D ） 。A、 （0， ） B、 （ ） C、 （ ） D、 （43,432,）,32解：，22 129 6,3BCABACcoscsAo选（D） 。8、甲、乙两车分别从 A，B 两地同时相向开出，甲车的速度是 50 千米/时，乙车的速度是 40 千米/ 时，当甲车驶到 A，B 两地路程的 ，再前行 50 千米时与乙车相遇，A，B 两地的路程31是（ A ）千米。A、225 B、 C、215 D、解：设经 小时相遇，t，1905490, 2.5, 90253ttttkm选（A ） 。9、若复数 z21- z2-2i 2+5i2，则 1z1+z21=( C ),1iA、 B、4 C、5 D、23解： ，选（C） 。1212, 5, 34, 5zizizii10、图 4 是我国古代的“杨辉三角形” ，按其数字构成规律，图中第八行所有中应填数字的和等于（ B ） 。A、96B、128 ， C、256， D、312解： ，选（B ） 。0127777(1)218cc11、在边长为 10 的正方形 ABCD 中，若按图 5 所示嵌入 6 个边长一样的小正方形，使得 P，Q ，M ，N 四个顶点落在大正方形的边上，则这六个小正方形的面积之和是（ A ） 。A、32 2516B、30 C、32 4D、30 5解：设 ，又设 ，则有：10, , 25xBQxPaxBPy22 210236361816, 4, 35552yyyaa，选（A ） 。12、在直角坐标系中，若直线 y=kx 与函数 y=的图像恰有 3 个不同的交点，则 k 的取值范围)3(824x是（ C ）A、 （-，0） B、 （0, ） C、 （ ，2） 323D、 （2,+）解：作图， ，得交点 ，y=kx 过点 ，2,8yx(,2)(0,)，与 有交点，则 ，选（C） 。120,33kk24,y2k13、一个四面体木块的体积是 64 立方厘米，若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4个“角” （小四面体） ，则剩余部分的体积是（ D ）.A、44 立方厘米 B、40 立方厘米 C、36 立方厘米 D、32 立方厘米解： ， ，1643VSh大 四 面 体 底 116483428VShV小 四 面 体 底 大 四 面 体，余下体积是 64-32=32，选（D） 。482小 四 面 体14、甲盒中有 200 个螺杆，其中 A 型的有 160 个；乙盒中有240 个螺母，其中 A 型的有 180 个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成 A 型螺栓的概率为（ C ） 。A、 B、 C、 D、20116532019解：由同时取 A 型螺杆与螺栓，则所求概率为 ，16083245p选（C） 。15、设双曲线 1（a0,b0）的左、右焦点分别是2byxF1,F2,若 P 是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段 PF2为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ B ） 。A、外离 B、外切 C、相交 D 内切解：由图解法可得二个圆的位置关系是外切，选（B） 。16、若 f（x）=max1x-21， ，则函数 f (x)的最小值等于（ xC ） 。A、0 B、 C、1 D、22解:代特殊值， ，选（C） 。3(0), (), ()1, ()2ffff17、 （ B ）1()limsnxA、- B、-1 C、0 D、1解： ，选（B） 。11()lilisxxcos18、设函数 g(x)在 x0 点某邻域内有定义，若 1 成0()limsnxg立，则（ D ） 。A、g (x)在 x0 点连续，但不可导B、g (x)在 x=0 点可导C、 g (x)存在，但 g(x)在 x=0 点不连续0limxD、x0 时，g (x)是 x 的高阶无穷小量解： ，则 x0 时，0000()()()()lili1lim1 lisnxxxxggg (x)是 x 的高阶无穷小量，选（D） 。19、设函数 g(x)在0, 上连续，若在（ 0, ）内 g(x)0,则对22任意的 x（0, ）有（ A ） 。A、 B、 2)(xdtg2)(sinxdt1)(xdtg2)(sinxdtC、 D、 112解：特值法，取 ，当 时，(),()10, ()gsii0x，故 ，选（A） 。xsin2)(xdt2)(sinxdt20、若可导函数 满足 ,且 f(0)=-1,则在点 x=0 的三()f2()ffx阶导数 =( D )。(0)fA、-6 B、-4 C、4 D、6解： ，2()()()2() (0)2fxffxfxf ，选（D ） 。 021、若连续函数 f(x)满足 - +1n2，则 （ xduf0)(x10)(dxfA ） 。A、- B、0 C、 D、 02121解：令 ，则：, , , xuttxutdtu，0000()()()()2xx xfdfdftfxln二边对 求导， ，令 ，0 01x xftffftd 1x则 ，选（A） 。10()2fxd22、不恒为零的函数 f(x)= 的零点个数是 ( B).xcbxa32132A、没有零点 B、至少有 1 个零点 C、恰有 2 个零点 D、恰有 3 个零点解：将行列式的第二、三行减第一行，其值不变，是 的一次x多项式，则至少有 1 个零点，选（B） 。23、已知 A 为 3 阶矩阵， （ 是 A 的转置矩阵，E 是TAET单位矩阵） ，若 a11 -1，b（1 0 0） 7，则方程组 AXb 的解X（ D ） 。A、 （-1 1 0） T B、 （-1 0 1） T C、 （-1 -1 0） T D、 （-1 0 0 ） T解：由 ，则 ，取 ，TAE1TA1 1, 0 AXAb选（D） 。24、设向量 a1=(1 2 0)7，a2=(2 3 1)7， a3=(0 1 -1)7，若 可由a1，a2，a3 线性表示，则 k（ C ） 。A、-2 B、-1 C、1 D、2解： 必线性相关，13,a，13206510 5kk选（C） 。25、若矩阵 B ，A 是 B 的相似矩阵，则矩阵01A+E（