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2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1设函数 在 处连续，则 （ ） 0)(2arcsin1txexfxa2位于曲线 （ ）下方， 轴上方的无界图形的面积为（ xyx） 3 满足初始条件 的特解是（ 0221)0(,)(y） 4 =（ 12limcos1cscosn nnn） 5矩阵 的非零特征值是（ ） 20二、单项选择题(本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分)函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应的)(uf)(2xfyx11.0x函数增量 的线性主部为，则 )(f（）； （）；（）； （）函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是)(xf(A) ； (B) ；dt02 xdtf02)(C) ； (D) xtf)( tf)设 是二阶常系数微分方程 满足初始条件)fy xeqyp3的0()特解，则极限 )(1lnim20xyx(A)不存在； （）等于； (C)等于； (D) 等于设函数 在 上有界且可导，则)(xfR(A)当 时，必有 ； 0limx 0)(limxfx（）当 存在时，必有 ；)(f(C) 当 时，必有 ； li0x )(li0fx(D) 当 存在时，必有 )(f5设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由321,132,2线性表示，则对于任意常数 必有321,k（） 线性无关；(B) 线性相关；21,k 21321,k（） 线性无关；321,(D) 线性相关21k三、 （本题满分 6 分）已知曲线的极坐标方程为 ，求该曲线对应于 处的cos1r 6切线与法线的直角坐标方程四、 （本题满分分）设函数 ，102)(2)1(3xxxfyxe求函数 的表达式xdtfF1)()(五、 （本题满分分）已知函数 在 上可导， ， ，且满足)(xfR0)(xf 1)(limxfx，求 xhefxh1)(lim0f六、 （本题满分分）求微分方程 的一个解 ，使得由曲线0)2(dxy)(xy与直线 以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体的体积最)(xy2,1x小七、 （本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次曲线与线段所围成当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为：，闸门矩形部分的高 应为多少？h八、 （本题满分分）设 ， （ ，） 30nx)3(1nnx证明：数列 的极限存在，并求此极限九、 （本题满分分）设 ，证明不等式 0ab abba1ln2十、 （本题满分 8 分）设函数 在 的某邻域具有二阶连续导数，且 )(xf证明：存在惟一的一组实数 ，使得当 时， 0)()0(ff c,0h)(322hofhcfbha十一、 （本题满分分）已知，为三阶方阵，且满足 EBA41证明：矩阵 可逆；EA若 ，求矩阵201B十二、 （
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