2015年寒假五奥第五讲 计数问题之几何计数

第五讲 计数问题之几何计数教学课题：几何计数教学课时：两课时教学目标：1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数教学重难点：1、渗透分类计数和用容斥原理的计数思想2、巧妙运用图形的对称性以及相似性来简化计数过程.教具准备：本周通知：教学过程：1情景引入师：大家都知道武汉的 4 号地铁通车了，可是如果地铁像火车一样售票，任意两个站之间都要设计一种票，同学们你们知道一共要设计多少种票吗？我们来选取几个站点设计一下试试看，从青鱼嘴站开往梅苑小区站。青鱼嘴站 楚河汉街站 洪山广场站 中南路站 梅苑小区站 师：你们会吗？生：我会。师：真棒！你来说说，你是怎么做的？生：4+3+2+1=10 种师：非常正确，这就是我们根据 线段的基本段数进行分类得到的！ 实际上， 这道题我们还可以用排列组合的方法做出来，你们会吗 ？生：从 5 个站里面选 2 个出来设计一种票，所以是 =10 种25C师：同学们，真棒！几何计数是小学奥数中比 较有特色的一部分内容，很有趣味，但是 难度跨度也很大，掌握起来并不容易。本讲需要同学 们充分利用前面已学的加法乘法原理，以及排列组合的知识来解决几何图形中的计数问题。二、新知探究模块一、数三角形（分类思想）例 2、数一数，图中有多少个三角形？分析：根据三角形边长的大小进行分类，要注意倒着的三角形。解答：边长为 1:1+3+5+7+9+11 =36 个边长为 2:1+2+3+4+5+1+2+3=21 个边长为 3:1+2+3+4+1 =11 个边长为 4:1+2+3 =6 个边长为 5：1+2 =3 个第五讲 计数问题之几何计数2边长为 6： 1 个总共： 36+21+11+6+3+1=78 个练：1、数一数图中共有多少个三角形？方法一：按照基本图形块数进行分类：一块的：4 个两块的：7 个三块的：2 个四块的：4 个六块的：2 个八块的：1 个总共：4+7+2+4+2+1=20 个方法二：分为两层，2 =20 个25C2.图中的正五边形中能数出多少个三角形来？解答：根据块数：一块：10 个两块：10 个三块：10 个五块：5 个总共：10+10+10+5=35 个总结：一般的，按照基本图形大小分类数图形是几何计数最基本的一种方法模块二、数长方形（四边形）例 1、求图中一共有多少条线 段？求图中一共有多少个矩形？分析：长方形的线段来源于两部分：长和宽的；矩形个数可以利用乘法原理先确定长再选取宽。解答：线段：4 +5 =70 条25C4矩形： =60 个第五讲 计数问题之几何计数3总结：一般的，对于任意长方形（平行四边形） ，若其横边上共有 n 条线段，纵边上共有 m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形） mn 个例 3、右图是一个长为 9，宽为 4 的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：（1）从中可以数出多少个矩形？（ 2）从中可以数出多少个正方形？（3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？正方形有多少个？分析：包含黑点的矩形个数，先找最小的矩形，再考虑将其一条对角线延伸，如下图对角线上两个端点只要分 别在两个红色区域内均 满足。解答：（1）矩形： =450 个2510C（2）根据正方形的边长分类：49+38+27+16=80 个（3）包含黑点的矩形：818=144 个包含黑点的正方形：根据边长分类：1+4+4+4=13 个例 4、如图，其中同时包括两个的长方形有 24 个。分析：先找最小的符合要求的长方形，然后再延伸对角线。如下图所示，共 46=24 个。例 5、图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？第五讲 计数问题之几何计数4分析：可以看成是 和 两个基本图形组成，重合了 部分。解答：矩形： + - =135 个246C273243C正方形：21+11+3=35 个例 6、图中的木板上钉着 12 枚 钉子，排成三行四列的 长方 阵。那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？分析：三角形有三个顶点，即从 12 个点中选取 3 个，再排除 3 点共线的情况，3 点共线有横竖斜 3 种情形。解答： - - -4=200 个12C43总结：对于一些复杂几何计数问题，我们可以利用容斥原理的思想（包含与排除）来帮助我们解决例 7、如下图，8 枚圆形棋子放在 44 的棋盘中，用不同的方法连接各棋子的圆心，可以得到三种位置且大小不同的正方形。如果棋盘上每个格都放一枚圆形棋子（如 图），用不同的方法 连接各枚棋子的圆心，那么出现与左下图那样的位置不同（不论大小是不是相等）的正方形一共有_20_个。分析：根据正方形边长进行分类考虑。解答：（1） 这样的有 9 个第五讲 计数问题之几何计数5（2） 有 4 个（3） 有 4 个（4） 有 2 个（5） 有 1 个总共 9+4+4+2+1=20 个总结：根据边长的大小进行分类，也可以解决四边形计数问题师：同学们，你今天有什么收获？生：我会数三角形生：长方形、正方形师：真不错！老师还是要强调一下：一定要完全掌握加乘原理以及排列组合基本知识，同学们在解决计数问题时要渗透分类以及利用容斥原理等思想。3、板书设计：几何计数1、数三角形（分类思想） 例题按照基本图形大小进行分类2、数四边形1、加乘原理2、容斥原理3、根据边长分类四、课后练习练习巩固1、在下图中，不包含的长方形有_个。第五讲 计数问题之几何计数6 -916=297 个27C2、图中含有“ ”的长方形总共有_个。24=8 个3、下图中共有_个正方形。（16+9+4+1）5-（4+1 ）4=130 个4、如图，线段 AB、BC、CD、DE 的长度都是 3 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？=10 条，3（4+6+6+4 ）=60 厘米25C5、小明把巧克力棒摆成了如图 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？（1）103=30 根；（2）16+7+3+1=27 个（3）27-5=22 个6、如图，在一个 44 的方格表中，共有多少个正方形？第五讲 计数问题之几何计数716+9+4+1=30 个7、如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？4+ 5=70 条25C4 =60 个8、如图 1