2016国考行测数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解

2016 国考数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。觉的题型有：数字推理、数学运算等。了解公务员成绩计算方法，可以让你做到心中有数，高效备考。公务员行测题库帮助您刷题刷出高分来！我想看看国考课程。容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算。中公教育专家在此进行详细解读。一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。1.容斥原理 1两个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现既是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示。公式：AB=A+B-AB总数=两个圆内的-重合部分的【示例一】一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数A，语文得满分人数B，数学、语文都是满分人数AB，至少有一门得满分人数AB。AB=15+12-4=23，共有 23 人至少有一门得满分。2.容斥原理 2三个集合的容斥原理如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么，将 A、B、C 三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。如图所示，灰色部分 AB-ABC、BC-ABC、CA-ABC 都被重复计算了 1次，黑色部分 ABC 被重复计算了 2 次，因此总数 ABC=A+B+C-（AB-ABC）-（BC-ABC）-（CA-ABC）-2ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC。即得到：公式：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【示例二】某班有学生 45 人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有 25 人，参加排球队的有 22 人，参加游泳队的有 24 人，足球、排球都参加的有 12 人，足球、游泳都参加的有 9 人，排球、游泳都参加的有 8 人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队A，参加排球队B，参加游泳队C，足球、排球都参加的AB，足球、游泳都参加的CA，排球、游泳都参加的BC，三项都参加的ABC。三项都参加的有 ABC=ABC-A-B-C+AB+BC+CA=45-25-22-24+12+9+8=3 人。3.用文氏图解题文氏图又称韦恩图，能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述 3 个集合的情况。【例题】某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？A.34 B.35 C.36 D.37中公解析：画出文氏图。低温柔度、可溶物含量、接缝剪切性能不合格的一共有8+10+9=27 种。在上述计算中，两项不合格的产品（图中灰色的部分）被重复计算了 1 次，三项不合格的产品（黑色的部分）被重复计算了 2 次。应用容斥原理，不合格的产品共有27-17-21=18 种，合格的有 52-18=34 种。二、抽屉原理能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题。在行测考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少，才能保证”字样。点击查看行测考点大全！中公教育给人改变未来的力量！进入行测学习频道抽屉原理 1将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。（至少有 2 件物品在同一个抽屉）抽屉原理 2将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m+1。（至少有 m+1 件物品在同一个抽屉）下面我们通过几个简单的例子来帮助理解这两个抽屉原理。【示例一】将 5 件物品放到 3 个抽屉里，要想保证任一个抽屉的物品最少，只能每个抽屉放一件，有 5 件物品，放了 3 件，还剩 5-31=2 件，这两件只能分别放入两个抽屉中，这样物品最多的抽屉中也只有 2 件物品。即当物品数比抽屉数多时，不管怎么放，总有一个抽屉至少有 2 件物品。【示例二】将 10 件物品放到 3 个抽屉里呢？将 22 件物品放到 5 个抽屉里呢？同样，按照前面的思路，要想保证任一个抽屉的物品数都最少，那么只能先平均放。 103=31，则先每个抽屉放 3 件，还剩余 1033=1 件，随便放入一个抽屉中，则这个抽屉中的物品数为 3+1=4 件。225=42，则先每个抽屉放 4 件，还剩余 2245=2 件，分别放入两个抽屉中，则这两个抽屉中的物品数为 4+1=5 件。即如果物体数大于抽屉数的 m 倍，那么至少有一个抽屉中的物品数不少于 m+1。1.利用抽屉原理解题一般来说，求抽屉数、抽屉中的最多有几件物品时采用抽屉原理，其解题流程如下：（1）找出题干中物品对应的量；（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；（3）利用抽屉原理 1、抽屉原理 2 解题。【例题 1】把 154 本书分给某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得4 本或 4 本以上的书，那么这个班最多有多少名学生？A.77 B.54 C.51 D.50中公解析：此题答案为 C。154 本书 154 件物品，同学 抽屉。找出物品对应量、抽屉至少有一位同学会分得 4 本或 4 本以上的书 至少有一个抽屉中有不少于 4 本书。根据抽屉原理 2，则有 m+1=4，即 m=3。1543=511，即 n=51，那么这个班最多有 51 名学生。利用抽屉原理 22.考虑最差（最不利）情况抽屉问题所求多为极端情况，即从最差的情况考虑。对于“一共有 n 个抽屉，要有（取）多少件物品，才能保证至少有一个抽屉中有 m 个物体”，即求物品总数时，考虑最差情况这一方法的使用非常有效。具体思路如下：最差情况是尽量不能满足至少有一个抽屉中有 m 个物品，因此只能将物品均匀放入 n个抽屉中。当物品总数=n（m-1）时，每个抽屉中均有 m-1 个物品，此时再多 1 个，即可保证有 1 个抽屉中有 m 个物品。因此物品总数为 n（m-1）+1。【例题 2】从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有 6 张牌的花色相同？A.21 B.22 C.23 D.24中公解析：此题答案为 C。一副完整的扑克牌包括大王、小王；红桃、方块、黑桃、梅花各 13 张。至少抽出多少张牌求取物品的件数，考虑最差情况。要求 6 张牌的花色相同，最差情况即红桃、方块、黑桃、