3.1.1方程的根与函数的零点 公开课教案

311 方程的根与函数的零点 公开教案教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、理解函数的零点与方程的联系。3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。2、难点：函数零点存在的条。教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与 x 轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。一元二次方程方程的根二次函数图像与 X 轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3=x2-2x-3（-1，0） ， （3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根=x2-2x+3无交点（图 1-1）函数=x2-2x-3 的图像（图 1-2）函数=x2-2x+1 的图像（图 1-3）函数=x2-2x+3 的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与 x 轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。反之，二次函数图像与 x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与 x 轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。2、函数的零点（1）概念对于函数=f,把使 f=0 成立的实数 x 叫做函数=f 的零点。（2）意义方程 f=0 有实数根函数=f 的图像与 x 轴有交点函数=f 有零点（3）求函数的零点代数法：求方程 f=0 的实数根几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数=f 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。3、函数零点的存在性（1）二次函数的零点=b2-4aax2+bx+=0 的实数根=ax2+bx+的零点数0有两个不等的实数根 x1、x2两个零点 x1、x2=0有两个相等的实数根 x1=x2一个零点 x1（或 x2）0没有实数根没有零点（图 2-1）方程 ax2+bx+=0 的判别式0 时，函数=ax2+bx+的图像（图 2-2）方程 ax2+bx+=0 的判别式=0 时，函数=ax2+bx+的图像（图 2-3）方程 ax2+bx+=0 的判别式0 时，函数=ax2+bx+的图像（2）探究发现问题 1：二次函数=x2-2x-3 在区间-2，1上有零点。试计算 f 与 f 的乘积有什么特点？解：f=2-2*-3=4+4-3=f=12-2*1-3=1-2-3=-4f*f=-4*=-200问题 2：在区间2,4呢？解：f=2-2*2-3=-3f=42-2*4-3=f*f=*=-10归纳：f*f0，函数=x2-2x-3 在-2，1内有零点 x=-1；f*f0，函数=x2-2x-3 在2，4内有零点 x=3，它们分别是方程=x2-2x-3 的两个根。结论：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。图像在上的图像是连续不断的函数在区间内至少有一个零点4、习题演练利用函数图像判断下列二次函数有几个零点=x23x，=2x+3解：令 f=x23x,做出函数 f 的图像，如下（图 4-1）它与 x 轴有两个交点，所以方程x23x0 有两个不相等的实数根，则函数=x23x有