第5讲 差分方程模型

第五讲 差分方程模型一 差分方程模型二 差分方程解法三 差分方程的平衡点及稳定性四 建模案例五 用 Matlab求解差分方程问题对一数列 an， 把数列中的 an和前面的 ai(0=k.)的差分方程，称为 an的 k阶常系数线性齐次差分方程。Xk+b1xk-1+ bk=0为上述差分方程的特征方程，其根称为特征根。解分为三种情况：（ 1） 单根若差分方程（ 1）的特征方程 Xk+b1xk-1+ bk=0有 k个相异的特征根 x1,x2, xk，则an=c1x1n+c2x2n+ ckxkn是一个通解，其中 ci为常数，由初始条件 a0=u0,a1=u1,a k-1=uk-1可确定一个满足初始条件的特解。二 差分方程解法（ 2） 重根若差分方程（ 1）的特征方程 Xk+b1xk-1+ bk=0的相异特征根 x1,x2, xt ， 重数依次为m1,m2, mt, m1+m2+ mt=k， 则差分方程的通解为 （ 3） 共轭复根若差分方程（ 1）的特征方程 Xk+b1xk-1+ bk=0有一对共轭复根 , 和相异的k-2个实根 x3, xk， 则差分方程的通解为，其中常系数线性非齐次差分方程的解法形如 an+b1an-1+b2an-2+ bkan-k=f(n)（ 1） (其中 bi为常数， bk 0,n=k,f(n) 0 )的差分方程，称为an的 k阶常系数线性非齐次差分方程。非齐次差分方程的通解等于对应的齐次差分方程的通解加上非齐次差分方程的一个特解。 2.返回三、差分方程的平衡点及稳定性1 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程xk+1+axk=b,k=0,1,2,（ 1）的平衡点由 x+ax=b解得，为 ，当 时，若 xkx*，则 x*是稳定的。方程（ 1）的平衡点的稳定性问题可以通过变量代换转换为齐次方程xk+1+axk=0,k=0,1,2 (2)的平衡点 x*=0的稳定性问题。而对于方程（ 2），其解可以表示为xk=(-a)kx0, k=1,2, (3)所以当且仅当 |a|1时，方程（ 7）的平衡点是不稳定的。返回四、建模案例 -最优捕鱼策略问题简介生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持续收获的前提下追求最大经济效益。考虑 4个年龄组： 1龄鱼， 2龄鱼， 3龄鱼， 4龄鱼的某鱼类。该鱼类在每年后 4个月产卵繁殖。因而捕捞只能在前 8个月进行。每年投入的捕捞能力不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。且只能捕捞 3、 4龄鱼，两个捕捞强度系数比为 0.42： 1。即为固定努力量捕捞。 鱼群数据为：(1) 各年龄组鱼的自然死亡率为 0.8（ 1/年），其平均重量分别为 5.07， 11.55， 17.86， 22.99（ g） ;(2) 1龄鱼和 2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条 4龄鱼产卵量为 1.109105（个）， 3龄鱼为其一半；(3) 卵孵化的成活率为 1.221011/（ 1.221011+n）(n为产卵总量 )；问题描述如下：如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；合同要求某渔业公司在 5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，承包时各年龄组鱼群数量为 122， 29.7， 10.1， 3.29（ 109条）。在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。 (1) 引入变量X=(X1,X2,X3,X4)T 为鱼群数向量；- 单位时间的自然死亡率；c-年存活率， c=1-0.8=0.2;k-单位时间 4龄鱼的捕捞强度系数；- 孵化卵成活率， = 1.2210 11/（1.2210 11+n）；m-4龄鱼的平均产卵量， m为 1.109 105（个）， 3龄鱼为其一半。 (2)模型的建立以 1年为一个离散化的时间单位。记年初鱼群为 X(t)=(X1(t), X2(t), X3(t), X4(t)T, 下一年的鱼群数为 X(t+1)=(X1(t+1), X2(t+1), X3(t+1), X4(t+1)T。 显然， Xi(t+1)是 Xi-1(t+1)到年底存活下来的鱼群数（ i=1,2,3,i=4时 X4(t+1)中还包括 X4(t)中的存活数。 X0(t)是指上一年由卵孵化而得到的 1龄鱼），据此可建立如下差分方程：X2(t+1)=c X1(t);X3(t+1)= c X2(t);X4(t+1)=(c-k3)X3(t)+(c-k4)X4(t); 因为 3、 4龄鱼的捕捞强度系数比为 0.42： 1，所以有 k3=0.42k4=0.42k,写成矩阵形式有：X(t+1)=PX(t);其中当 4龄鱼的捕捞强度系数 kc/0.42时，不论上一年鱼群数目如何，下一年鱼群将出现负数。说明模型存在问题，原因是离散化程度不够精细。假设单位时间为一个月，定义月死亡率为 ， 月存活率为（ 1- ）， 月捕捞系数为 k,则年存活率为（ 1- ） 12=c=0.2,从而 =0.1255 。考虑一年中各月鱼群数目的分布，则有：一个月的实际存活率：（ 1-k ）；两个月的实际存活率：（ 1-k ） 2；三个月的实际存活率：（ 1-k ） 3；。八个月的实际存活率：（ 1-k ） 8；九个月的实际存活率：（ 1-k ） 8（ 1- ）；。一年后实际存活率：（ 1-k ） 8（ 1- ） 4。同理可得第 i月的捕捞率 : （ 1-k ） i-1k,i=1,2,8.从而有：一年后 3龄鱼实际存活数：（ 1-k 3） 8（ 1- ） 4X3;一年后 4龄鱼实际存活数：（ 1-k 4） 8（ 1- ） 4X4;该年 3龄鱼总捕捞量： ，该年 4龄鱼总捕捞量： ，该年 3龄鱼产卵总量： ；该年 4龄鱼产卵总量： ； 因此矩阵应修正为：关于鱼群的差分方程为： X(t+1)=PX(t) （ 1）为实现持续捕获，（ 1）式必须存在稳定解：X(t)=PX(t)。由差分方程稳定性理论知其充要条件为：对 P的所有特征根 i,均有 | i| y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3)利用 plot 绘图观察数量变化趋势 可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色： + o * . X s d 表示不同的线型 plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:)用 gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。 人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化 5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化Xk+1=aXk +5 ,a=1+r如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令Xk+1=aXk +b ,a=1+r function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end k=(0:20) ; %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 round( k , y 1 ) 对 k,