第二章 控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型2.1 引 言2.2 线性系统 的 数学模型2.3 线性系统的传递函数2.4 控制系统的结构图2.5 信号流图与梅森公式1.数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。2.1 引言2.建模方法： 3.常用数学模型微分方程（或差分方程）传递函数（或结构图）频率特性 状态空间表达式（或状态模型） （现代控制理论课程 ） 解析法（理论推倒法） 实验法（实验辨识法） 4.由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解 观察线性微分方程 性能指标传递函数时间响应 频率响应拉氏变换 拉氏反变换估算 估算计算傅氏变换S=j频率特性2. 2线性系统的数学模型 能用线性微分方程描述其输入输出关系的系统为线性系统。 大多数控制系统在一定的限制条件下，用线性微分方程来描述。 线性系统的研究具有重要的实用价值。 本节要点： 用微分方程的方法建立系统数学模型，其实质是根据系统内部机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。 1）确定系统的输入、输出变量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程；3）联立方程，消去中间变量，写出系统输入、输出变量的微分方程； 4）将系统方程变换成标准形式。v微分方程的列写步骤： 2.2.1 电路系统例 2.1列写 R-L-C电路的微分方程。（ 忽略输出端负载效应） R LCi(t)ur(t)uc(t)解:消去中间变量 i(t)， 系统的微分方程为，线性定常二阶微分方程令 ，方程整理成标准形式例 2.3弹簧 质量 阻尼器系统 ， 求质量 m在外力 F作用下位移y(t)的运动方程。y(t)FkfmFf为阻尼器的阻尼力 , Fk为 弹簧 的 弹性力， Fm为 质量 的 质量力，可表示为代入式（ 2-1） 整理得线性定常二阶微分方程解 : 输入量 ，输出量为位移 y(t) ， 由牛顿定律得力平衡方式（ 2-1）2.2.2 机械系统基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律。2.2.3 其他系统v机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理建立数学模型。解： 为输入量，电机转速 为输出电磁力矩 -安培定律电枢反电势 -楞次定律电枢回路： -基尔霍夫力矩平衡： -牛顿定律（空载）消去中间变量 i, M , E ， 得：反电势系数电动机转矩系数 转动惯量例 2.4电枢控制 直流电动机系统，求数学模型。R LiSM 若电感 L很小，可以忽略，简化为一阶微分方程，若电阻 R和惯量 J都很小，又简化为 转速 和电枢电压 成正比。电动机作为测速发电机使用线性二阶微分方程电磁时间常数 机电时间常数静态增益 ,令得操纵手柄W 1r c 负载W 2urucu放大器 电机减速器测速电机uutua m+_+_rrccmSMTGJ L fLW 1 W 2Euutu uaRa LaifZ1Z2放大器位置随动系统原理图位置随动系统结构图绘制3)1)2)4)5)6)7) 8)操纵手柄W 1rc负载W 2urucu放大器 电机减速器测速电机uutua m电动机输出转角线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个 线性常系数微分方程 表述，具有以下特点： 物理、化学过程不同的系统，但数学模型的推导过程和建立的数学模型却很相似。 微分方程的阶次与系统中储能元件的个数和要求的精度有关，方程中的系数是与系统的结构和参数有关 ,具有一定的物理意义。 上述系统是按线性系统理论建立的微分方程 ,为线性系统或非本质非线性系统。 本质非线性在第八章中介绍。 说明2.2.4 线性系统微分方程的通用形式输出信号、输入信号的最高求导次数线性定常系统微分方程的一般形式系统输入量系统输出量系统若为常系数，上式描述的系统为定常系统若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统， ， ， ， ， 其中除上式两边，得标准形式为 T1、 T2、 ， Tn 为时间常数，反映惯性的大小K0 为传递系数（或静态放大系数）微分方程 : 1）描述时间域系统动态性能的数学模型，2）系统参数、结构变化，必须重新求微分方程，3）分析和设计系统不够方便。传递函数：1）复数域输入输出关系的数学模型，2）仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特 性，3）当系统参数、结构变化时，不必重新建立数学模型。传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。2.3 线性系统的传递函数2.3.1 传递函数的定义系统零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换与输入 量 拉氏变换的比 。传递函数的标准形式微分方程一般形式 ：拉氏变换 ： 首 1标准型： 尾 1标准型： 传递函数：定义：(1) 输入 u r (t)(2) 初始条件(3) 系统的结构参数 一般规定 r(t) = 1(t) 规定 0 初始条件 自身特性决定系统性能影响系统响应的因素传递函数的性质1) G(s)是复变量 s的有理真分式函数，且 nm；2) G(s)只与系统自身的结构参数有关 ,与 输入信号无关； 3) G(s)与系统微分方程直接关联， 置换即可；4) G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即 G(s) = L g(t) ；5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应。 (后面介绍 ) 设输入信号是单位脉冲函数，即 的定义： 输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即且拉氏反变换q零初始条件定义的 G(s) 反应系统的零状态特性有两方面的含义 :零输入作用是指 t= 0 以后 ,输入才作用于系统，系统输入量及各阶导数在 t= 0 时的 值 均为零；输入作用加入之前，系统相对静止，系统输出量及各阶导数在 T=0时的 值 也为零。说明传递函数：解 :零初始条件下取拉氏变换 ：R Ls1/CsI(s)Ur(s)Uc(s)R LCi(t)ur(t)uc(t)例 2.5 试列写 RLC电路的传递函数 Uc(s)/Ur(s). 参见例 2-1（）已知:例 2.6 求例 2.4直流电动机控制系统的传递函数。解： 已知系统的微分方程设初始条件为零，对上式拉氏变换传递函数忽略电枢电路电感 L，系统的微分方程为传递函数传递函数为忽略电枢电路电阻 R和转动惯量 J， 微分方程为R LiSM 3）拉氏反变换即 阶跃响应解 : 1）2）2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)， 求 uc(t) ; 3)求脉冲响应 g(t)。例 2.7 如图 ,求1) R=1， C=1F， ur(t)=1(t) v,求 零状态下阶跃响应 uc(t) ；RCi (t)ur(t)uc(t)传递函数的零点和极点 0j Sv零点用 “”表示，极点用 “”表示。v分子多项式的根 zi为传递函数的零点；分母多项式的根 pj为极点。 K*称为传递系数或根轨迹增益。q传递函数的 首 1标准型 (零极点式 ) q传递函数的 尾 1标准型 (时间常数式 )系统增益（ 1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息（ 2）适合于描述单输入 /单输出系统； （ 3）只能用于表示线性定常系统。线性 /非线性，定常 /时变系统的辨析传递函数的局限性例 2.8 某系统在 0初条件下的阶跃响应为试求：（ 1） 系统的传递函数； （ 2） 系统的增益； （ 3） 系统的特征根及相应的模态； （ 4） 画出对应的零极点图； （ 5） 求系统的单位脉冲响应； （ 6） 求系统微分方程； （ 7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解 .（ 1） (2) (3) (5) (6) (4)零极点图 如图示（ 7）其中初始条件引起的自由响应部分2.3.2 典型环节的传递函数典型环节： 任意一个系统是由许多元件、以不同结构和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数学模型，这些典型的数学模型即典型环节。常见典型环节比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、迟后环节 比例环节（放大环节） 常见物理