第七章线性空间与线性变换

第七章 线性空间与线性变换本章中线性空间比较 抽象 。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的 原型 ，要将 抽象的代数概念几何直观化 。“抽象 不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中， 直觉和抽象是交互为用的 。 ”（汤川秀树， 1949年诺贝尔物理奖获得者）。“用几何语言代替代数语言 几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。 ”（让 -迪厄多内，法国数学家）。几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段 。1、线性空间线性空间线性空间 是线性代数最基本的概念之一 ，也是线性代数中 极其重要的概念之一。它是 向量空间 在 元素 和 线性运算 上的推广和抽象。线性空间中的 元素 可以是 向量、矩阵、多项式、函数等 ， 线性运算 可以是我们熟悉的 一般运算 ，也可以是各种 特殊的运算 。一、从向量谈起而且这两种运算满足下面 8条运算律 ：对于平面 中的任意向量，我们已定义过 加法 及 数乘 两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在 中 。具有 加法单位元（零向量） ，使得具有 加法逆元（负向量） ，使得根据 线性代数 的知识，二维空间 显然可推广到 维向量空间 。并且数乘所依赖的实数域 也可推广到复数域 。相应的向量空间分别称为 实向量空间 和 复向量空间 。 (Grassmann,1844;Cayley,1945)我们知道，向量是特殊的矩阵 。 所有 阶的实矩阵的集合 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满足上述 8条运算律。因此也是 “实向量空间 ”。不过 这里的 “ 向量 ” 是实矩阵 ！二、线性空间 (Linear Space)的概念定义定义 1 如果非空集合 对于 加法 及 数乘 两种运算封闭 ，并且对于加法和数乘满足下面 8条运算律 ，那么就称集合 为数域 上的 线性空间线性空间 或 向量空间：向量空间：具有 加法单位元（零向量） ，使得具有 加法逆元（负向量） ，使得注意注意 ：这里我们不再关心元素的特定属性，而：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些且我们也不用关心这些 线性运算线性运算 （ 加法加法 和和 数乘数乘）的具体形式。）的具体形式。例 4 次数不超过 的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 例 3 闭区间 上的所有 实值连续函数 按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 例 2 所有 阶的实（ 复 ）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间 。例 5 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间 。例 6 齐次线性方程组 的所有解的集合构成数域 上的线性空间 ，称为 的 解空间解空间，或矩阵 的 核空间或零空间核空间或零空间 ，即例 7 所有 矩阵向量积 的集合构成数域 上的线性空间 ， 称为矩阵 的 列空间或值域列空间或值域 ，也称为矩阵 的 像像 ， 即例 8 二阶常系数线性齐次微分方程的解集是域 上的线性空间。例 9 集合 不是一个线性空间 。因为 加法不封闭 。例 10 线性非齐次方程组 的解集不构成线性空间不构成线性空间 ，这里 是对应齐次方程组 的一个基础解系， 为 的一个特解。对于 及 ，定义判断 是否构成 上的线性空间 .例 11 设数域为 ，集合 为三、线性空间的基本性质定理定理 12 如果 是 数域 上的 线性空间线性空间 ，则线性空间 中的 零向量 是唯一的。线性空间 中的每个向量的 负 向量 是唯一的。当 时，有 或当 时，有 定义定义 13 设 是 线性空间 的非空子集。如果 在 中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称 是 的（ 线性线性 ） 子空间子空间 。前述矩阵 的核空间 显然是 的子集，这说明线性空间的子集也可能是线性空间。四、线性子空间 (Subspace)例 14 集合 是向量空间。它是 在 平面上的 投影子空间投影子空间 。例 15 中过原点的直线是 的一个子空间。定理定理 16（ 子空间判别法 ） 数域 上的 线性空间线性空间 的非空子集 是 的子空间的 充要条件 是 对 中的两种运算都封闭 ，即(i) 对任意的 ，有(ii) 对任意的 ，有判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及 8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。例 17 已知 是数域 上的线性空间， ，则集合是 的一个子空间。称为 由向量由向量 所生成的子所生成的子空间空间 ，记为 或一般地，由线性空间 中的 向量组向量组 所生所生成的线性空间成的线性空间记作 或例 18 是 的子空间；是 的子空间 , ,一般地，例 19 对任意 ， 是 的子空间；是 的子空间。2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于 向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等 的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是 坐标坐标 ，能够将一般线性空间的问题 转化 成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。一、线性空间的基 (basis)、坐标(coordinate)和维数 (dimension)定义定义 1 给定线性空间 ，如果存在 中的一组向量 ，满足：（ 1） 线性无关 ；（ 2） 中任意向量 都能由 线性表示。即存在数 ，使则向量组 就称为 的一个 基基 ，系数 就称为向量 在此基下的 坐标坐标 ，基中的向量个数 称为线性空间 的 维数维数 ，记为 几点说明（ 1）若把线性空间 看作无穷个向量组成的向量组，那么 的基就是向量组的最大无关组 , 的维数就是向量组的秩 .（ 2）若向量组 是线性空间 的一个基，则 可表示为（ 3） 个数与线性空间 的维数相等的线性无关组都是 的基 .（ 4） 不存在 有限个 基向量的线性空间称为 无限维线性空间 .（ 5） 的 0 维子空间是 ， 1 维子空间是经过原点的任意直线， 2 维子空间是经过原点的任意平面， 3 维子空间是它自身。（ 6） 中，不经过原点的任意直线的集合 显然可看成某个经过原点的直线集合 （ 显然是 1 维子空间）适当 平移 而来，即存在 和 ，使称 为 中的一个 线性流形（ linear Manifold）（ 7） 研究研究 维向量空间维向量空间 ，通过它的基及向量，通过它的基及向量的坐标表示，就转化为研究向量空间的坐标表示，就转化为研究向量空间 。例 2 向量空间 是实数域 上的 二维 空间，其基 可取为 ，即同时向量空间 也是复数域 上的 一维 空间，其基 可取为 ，即定理定理 3 数域 上的 线性空间线性空间 中的任意向量在给定基下的坐标是 唯一 的。定理定理 4 （ 基的扩张定理 ） 数域 上的 维 线性空线性空间间 中的任意一个线性无关向量组都可以扩充成 的一组基。 或者对任意 ，都有 线性相关。这样 可由 线性表示，即。与 的取法矛盾。定理定理