第一章随机事件及其概率

概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1引 言 v 概率 论 是研究 随机 现 象 的 数量 规 律 的数学分支 . v 所 谓 随机 现 象，是相 对 于 决定性 现 象 而言的 .v 一定条件下必然 发 生 (或 出 现 )某一 结 果的 现 象称 为决定性 现 象 .v 例如，在没有外力作用下，作匀速直 线 运 动 的物体必然 继续 作匀速直 线 运 动 ；v 又如在 标 准大气 压 下， 纯 水加 热 到 100 时 必然会沸 腾 等等 .2v 这 些 条件 和 结 果 之 间 存在着 必然 联 系 的 现 象就是 决定性 现 象 . 3v 在自然 现 象和社会 现 象中 还 广泛存在着与决定性 现象有着本 质 区 别 的一 类现 象，例如 ：v 当 掷 一枚硬 币时 ，可能出 现 正面朝上，也可能出 现反面朝上；v 每天上午 8:009:00 记录 一个 电话 交 换 台收到用 户的呼叫次数，可能是 0次， 1次， 2次 ；v 再如，同一 门 炮向同一目 标发 射用同一工 艺过 程生产 的炮 弹 ；因 为 炮 弹 制造 时 种种偶然因素 对 炮 弹质 量有影响、炮筒位置有差异、空气中气流的 变 化 都影响着弹 着点的位置，使 弹 着点在不同次 发 射中落在不同的位置 .4v 这 些 现 象的特点是：v （ 1） 在基本条件不 变 的情况下，一系列 试验 或 观察会得到不同的 结 果 .（ 2） 每一次 试验 或 观 察之前，不能完全肯定会出现 哪种 结 果 .（ 3） 究竟出 现 哪种 结 果，呈 现 出偶然性 .v 这 种 现 象称 为 随机 现 象 . 5v 概率 论 研究随机 现 象有其独特的方法 .v 它不是企 图 追索出 现 每一 结 果的物理因素，从而象研究确定性 现 象那 样 确定无疑地 预报 在哪些条件下出 现 某一确定的 结 果，而是通 过对 随机 现 象的大量观 察，揭示其 规 律性 .v 例如 连续 多次 掷 一枚硬 币 ，随着投 掷 次数的增加，出 现 正面的 频 率 (出 现 正面的次数与投 掷 次数之比 )逐 渐稳 定于 1/2，从而揭示 “ 出 现 正面 ” 这 一 结 果发 生的可能性大小 为 1/2；v 又如多次 测 量一物体的 长 度，其 测 量 结 果的平均 值随着 测 量次数的增加逐 渐稳 定于一个常数等等 . 6v 概率 论 有悠久的 历 史，它的起源与 赌 博 问题 有关 .v 16世 纪 ，意大利的学者开始研究 掷 色子 (骰子 )等 赌博中的一些 简单问题 ，例如比 较 两个色子出 现 点数之和 为 9与 10的可能性大小 .v 17世 纪 中叶，法国数学家帕斯卡、 费马 (P.de Fermat)及荷 兰 数学家惠更斯基于排列 组 合方法，研究了一些 较 复 杂 的 赌 博 问题 ，他 们 解决了 “ 分赌 注 问题 ” 、 “ 赌 徒 输 光 问题 ” 等 .v 随着 18、 19世 纪 科学的 发 展，人 们 注意到在某些生物、物理和社会 现 象与机会游 戏 之 间 有一种相似，从而由机会游 戏 起源的概率 论 被 应 用到 这 些 领 域中，同 时 也大大推 动 了概率 论 本身的 发 展 . 7v 使概率 论 成 为 数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利 (J.I.Bernoulli)， 他建立了概率 论 中第一个极限定理，即伯努利大数定律， 阐 明了事件的频 率 稳 定于它的概率 .v 随后棣莫弗 (A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace)又 导 出了第二个基本极限定理 (中心极限定理 )的原始形式 .v 拉普拉斯在系 统总结 前人工作的基 础 上写出了分析的概率理 论 ，明确 给 出了概率的古典定 义 ，并在概率 论 中引入了更有利的分析工具，将概率 论 推向一个新的 发 展 阶 段 .8v 19世 纪 末，俄国数学家切比雪夫、 马 尔 可夫、李 亚普 诺 夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解 释 了 为 什么 实际 中遇到的 许 多随机 变 量近似服从正 态 分布 .v 20世 纪 初受物理学的刺激，人 们 又开始研究随机 过程 .这 方面柯 尔 莫哥洛夫、 维纳 (N.Wiener)、 马 尔可夫、辛 钦 、莱 维 及 费 勒 (W.Feller)等人做了杰出的 贡 献 .9v 如何定 义 概率，如何把概率 论 建立在 严 格的 逻辑基 础 上，是概率 论发 展的困 难 所在， 对这 一 问题的探索一直持 续 了三个世 纪 .v 二十世 纪 初完成的勒 贝 格 测 度 (H.L.Lebesgue)与积 分理 论 及随后 发 展的抽象 测 度与 积 分理 论 ， 为概率公理体系的建立奠定了基 础 .v 在 这 种背景下 苏联 数学家柯 尔 莫哥洛夫 1933年在他的概率 论 基 础 一 书 中第一次 给 出了概率的 测度 论 式 的定 义 和一套 严 密的公理体系 .他的公理化方法成 为现 代概率 论 的基 础 ，使概率 论 成 为严谨的数学分支， 对 近几十年概率 论 的迅速 发 展起了积 极的作用 . 10v 数理 统计 学是概率 论 的一个姐妹学科，研究怎 样 有效地收集、整理和分析 带 有随机性 质 的数据，以 对所 观 察的 问题 作出推断和 预测 ，直至 为 采取一定的决策和行 动 提供依据和建 议 .v 统计 学自古有之，例如人口 统计 、社会 调查 等 .但它不是 现 代意 义 下的数理 统计 学，只是数据的 记录 和整理 .v 数理 统计 学是随着概率 论 的 发 展而 发 展起来的 .v 当人 们认识 到必 须 把数据看成是来自一定概率分布的 总 体，所研究的 对 象是 这 个 总 体而不能局限于数据本身之日，也就是数理 统计诞 生之 时 . 11v 在 19世 纪 中叶以前已出 现 了若干重要的工作，特 别是高斯 (C.F.Gauss)和勒 让 德关于 观测 数据的 误 差分析和最小二乘法 .v 但数理 统计 学 发 展成 为 一 门 成熟的学科， 则 是 20世 纪 上半叶的事 . v 皮 尔 森 (K.Pearson)、 费 希 尔 (R.A.Fisher)作出了重大 贡 献， 1946年，克拉默 发 表的 统计 学的数学方法是第一部 严谨 且比 较 系 统 的数理 统计 著作，可以把它作 为 数理 统计 学 进 入成熟 阶 段的 标志 .12v 数理 统计 学用到很多近代数学知 识 ，但与其关系最密切的是概率 论 .v 在很大程度上可以 说 概率 论 是数理 统计 的理 论 基础 ，数理 统计 是概率 论 的一种 应 用，并且 补 充和丰富了概率 论 .它 们 是两个并列的数学分支，并无从属关系 .v 目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域 .v 近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、工程、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著 . 13v 随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法 .v 概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等 .v 同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测论、可靠性理论及人工智能等 . v 概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用 .14第一章 随机事件及其概率v 1.1 随机事件 v 1.1.1 必然现象和随机现象v 人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是 必然现象 ，或称 确定性现象 ；另一类是 随机现象 ，或称 不确定性现象 .v 必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的 .15v 必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象 .v 例如：v 在标准大气压下，将纯水加热到 100, 水必然沸 腾；用手向空中抛出的石子，必然下落；作匀速直 线 运 动 的物体，如果没有外力的作用，必然 继续 作匀速直 线 运 动 等等，v 这 些 现 象都是必然 现 象 .v 对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的 .16v 随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象：对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是无法预言的 .v 例如：v 新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量的结果不一定相同等等，v 这些现象都是随机现象 . 17v 对随机现象，是否有规律可寻呢？v 人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，所得的结果却呈现出某种规律性 .v 例如：v (1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占 1/2.v 历史上，蒲丰 (Buffon) 掷过 4040次，得到 2048次正面；皮尔逊 (K.Pearson) 掷过 24000次，得到12012次正面 .18v (2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；v 但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性：弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀 .19xOy20v (3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果 .v 由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的 .v 初看起来器壁所受的压力是不稳定的；v 可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性 .v 分子的数目越大，压力就越稳定 .21v 从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来 .这种规律性称为 随机现象的统计规律性 .v 概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科 .22第一章 随机事件及其概率v 1.1 随机事件 v 1.1.2 随机试验与事件、样本空间v 对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验 (为了叙述方便，统称为试验 ).v 例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；v 向一个目标进行射击，观察是否命中； v 从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格； 23v 向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与 x轴正向之间的交角等等；v 这些都是试验 .通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：v （ a） 试验可以在相同的条件下重复进行；v （ b） 试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；v （ c） 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的 .24v 如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现 .v 人们将满足上述 （ a）、（ b ）、（ c ） 三个条件的试验，称为 随机试验 ，简称为 试验 ，以字母 E来表示 .v 为了研究随机试验 ，首先要知道 这 个 试验的所有可能的结果是哪些 .v 随机试验的每一个可能的结果称为 基本事件 ，也称作 样本点 ，用字母 e表示 .25v 随机试验 E的全体基本事件 所构成的集合， 称为 E的的 样本空间 ，记为 S.v 在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间。 对 一个具体的 试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定 .v 下面看几个例子 .v 例 1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验 .v 可能的结果有两个：正 (正面朝上 )，反 (反面朝上 ).v 故样本空间 v S=正，反 26v 例 2 将 一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验 .v 可能的结果有四个： v (正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 ).v 这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果 .v 故样本空间v S=(正，正 )， (正，反 )， (反，正 )， (反，反 ).27v 例 3 记录 某 电话 交 换 台在一段 时间 内接到的呼叫次数， 这是个随机试验 .v 它的基本事件 (记录 的 结果 )是一个非负的整数，v 由于难以确定一个呼叫的上