第四章计算机控制系统分析4可控可观性

4.5 离散控制系统的可控性如果在一个有限的时间里，用一个 无约束 的控制信号，能使系统的 任 一个状态，从 任意 的初始状态转移到 任意需要的状态。那么，该系统称为状态完全可控性。系统可控性概念在控制系统的极点配置，最优控制中具有重要作用。1、线性定常离散系统的状态完全可控性设离散控制系统的状态方程为（ 4.60）其中 为 n 维向量； H 为 维矩阵； G 为 维矩阵。如果存在着 无约束 的控制信号 ，使得任意一个状态 由任意的初始状态 开始，在 最多 n 个采样周期 内，转移到任意需要的状态 ，那么由方程式（4.60）所描述的离散系统是系统状态完全可控的，或简单地称为状态可控的。 下面推导状态完全可控性的条件，因为方程式（ 4.60）的解为可得(4.61）因为 H是 维向量，这样 中每一列都是 维向量，如果下述矩阵的秩是 n ， 即（ 4.62）那么， n 个向量 能跨越 n 维空间。方程式 (4.62）的矩阵叫做可控性矩阵。假如可控性矩阵的秩是 n ， 那么对任意状态 ，存在着一系列无约束控制信号 ，满足方程式 （ 4.61）。因此，可控性矩阵的秩 n 是给出了状态完全可控的 充分条件 。为了证明方程式（ 4.62）也是状态完全可控的必要条件，我们假设于是，向量 不能跨越 n 维空间。因此，对所有的 i ， 某些 不存在 ，所以方程 （ 4.62）是状态完全可控的必要条件。如果控制信号 是一个 r 维 的向量，那么 H是 维的矩阵。可以证明状态完全可控的条件是 矩阵的秩为 n ， 即还可以证明，当 为标量时，在 n 个采样周期内，使得状态 由任意的初始状态 转移到任意要求的状态时，所需要的无约束控制信号序列 能唯一的确定。当 为 r 维向量时，控制向量序列 不是唯一 的解，存在着多组的控制序列。2、线性定常离散系统的输出完全可控性 在控制系统的设计中，对系统输出的控制要比状态的控制更为需要。对输出可控来讲，状态完全可控的条件，既不必要也不充分。为此，需要对输出可控性另作定义。考虑下述的系统（ 4.63）（ 4.64）其中 为 n 维向量； 为标量；为 m 维向量； H 为 维矩阵； G为 维矩阵； C为 维矩阵。如果存在着无约束的控制信号 ，使得输出 ，由任意初始输出 开始，在最多 n 个采样周期间隔内，达到输出空间的任意需要的点 ，那么由方程（ 4.63）和（ 4.64）所描述的离散系统是输出完全可控的。或简单地称为输出可控的。下面按照输出完全可控制的定义，来推导输出完全可控性的条件。因为方程式（ 4.63）的解为并有或输出完全可控的必要与充分条件是 向量跨越了 m 维输出空间，或（ 4.64）现在考虑 为 r 维向量和存在着输入 /输出 D矩阵的系统（ 4.65）（ 4.66）其中 维矩阵； 维矩阵；维矩阵； 维矩阵。这一系统的输出完全可控性的必要与充分条件是（ 4.67） 比较式（ 4.64）和式（ 4.67），不难发现当系统输出方程中存在着 D 矩阵时，有助于达到输出完全可控性。 4.6 离散控制系统的可观性在这一节中，讨论线性定常离散系统的可观测性。设控制作用为零的系统方程为（ 4.68）（ 4.69）其中 ， ，与 的定义与上一节同。 如果 每一个 初始状态 都可通过在一个 有限数 的采样周期间隔内，由 的观测值来确定，那么这种系统叫做完全可观测的。或者当一个状态的转移时最终都会影响输出向量的所有分量，那么系统是完全可观测的。 控制系统的可观性概念在状态观测、极点配量以及系统辩识中都有十分重要的作用。那么以及在方程式 (4.68)和（ 4.69）中，没有考虑控制作用的理由是：如果系统由下述方程式描述（ 4.70）（ 4.71） 因为矩阵 和 是已知的， 也是已知的。上式右边的第 2和第 3项是已知的量。因此，它们可以从观测值 中减去。所以，对于研究完全可观测性的充分条件时，只要考虑方程式（ 4.68）和（ 4.69）所描述的系统就足够了。 下面我们来推导出由方程式（ 4.68）和（ 4.69）的所描述的离散系统完全可观测性条件。因为 的解为完全可观测性意味着给定 就能确定 .为了确定 n个未知数，只需要 的 n 个值。因此，可利用 的前面 n 个值，即，, 来确定 。对一个完全可观测系统，给定我们就能确定 ，注意到 是 m 维向量，上述的 n 个联立方程式产生了 个方程，这些方程中包含有 。为了由这 个方程中求得唯一的一组解 ，我们应该从这 个方程组中写出 n 个线性无关的方程，这就需要 矩阵的秩为 n 。这就是由方程式（ 4.68）和（ 4.69）所描述的系统完全可观测性的条件。如果方程式（ 4.68）和（ 4.69）中的矩阵 和 是共轭矩阵，并考虑到矩阵的秩与共轭转置矩阵的秩是同样的，那么由方程式（ 4.68）和（ 4.69）所示系统的完全可观测的必要与充分的条件为