第2章测量误差理论及数据处理

电子测量 技术第 1页 2章 测量误差理论与数据处理 u 2.1 测量误差的 基本概念u 2.2 测量误差的估计和处理 u 2.3 测量误差的 合成与分配u 2.4 测量数据处理 电子测量 技术第 2页 2.1 测量误差的 基本概念u 测量的目的 : 获得被测量的 真值 。u 真值 : 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。 u 测量误差 :出现测量结果与实际值（真值）有差异，这种差异称为测量误差 u 所有测量结果都带有误差u 测量误差的来源（ 1）仪器误差： 由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（ 2）影响误差： 由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。（ 3）理论误差和方法误差： 由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。（ 4）人身误差： 由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。（ 5）测量对象变化误差： 测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。电子测量 技术第 3页 u 控制测量误差的意义对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准确程度。u 研究误差理论的目的2.1.1 测量误差的定义测量误差的定义测量误差 测量结果与被测量真值的差别。2.1.2 测量误差的分类测量误差按 表示方法 分类有绝对误差、相对误差。1 绝对误差 绝对误差又叫绝对真误差，它可以表示为x= x x0 (2-1) 一、测量误差按表示方法分类一、测量误差按表示方法分类 电子测量 技术第 4页 式中u 给出值： 在测量中通常就是被测量的测得值。包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又叫名义值），近似计算的近似值等等。u 真值得给出： 可由理论给出或由计量学作出规定； 用 实际值 代替。 用已修正过的多次测量的算术平均值来代替真值 满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。在实际测量中，常把用高一等级的计量标准所测得的量值作为实际值u 修正值：与绝对误差 x大小相等但符号刚好相反的量，称为修正值，一般用 C表示。C=-x= x0 x (2-2) 式中电子测量 技术第 5页 在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给出在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给出修正值。修正值。修正值通常是在校准仪器时给出。修正值通常是在校准仪器时给出。当测量时得到给出值当测量时得到给出值 x及修正值 C以后， 由式 (2-2) 就可以求出被测量的实际值【 例如 2-1】 某电压表的量程为 10V， 通过 检定 而得出其修正值为 -0.02V。 如用这只电压表测电路中的电压，其示值为 7.5V， 于是得被测量电压的实际值为解： x0 = C + x=（ -0.02） +7.5=7.48V绝对误差及修正值是与给出值具有相同的量纲的量。绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向 。2 相对误差实际测量过程中，常用相对误差来表示仪器测量的准确程度。（ 1）相对真误差（相对误差）用绝对误差 x与被测量的真值的百分比值来表示。用 r 表示，r = 100% (2-3)电子测量 技术第 6页 相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。 示值相对误差（又叫标称相对误差）： 用绝对误差 x与被测量的给出值 的百分比值来表示； 只有在误差较小时用 。 有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。 分贝误差 相对误差的对数表示在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为 A0,测得值为 A,绝对误差为 A，则由 A0dB=20lgA0dB及 AdB =A0dB+ ,推导出分贝误差为： 相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。 示值相对误差（又叫标称相对误差）： 用绝对误差 x与被测量的给出值 的百分比值来表示； 只有在误差较小时用 。 有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。 是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。（ 3）满度相对误差 分贝误差 相对误差的对数表示在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为 测得值为 绝对误差为 ，则由 及推导出分贝误差为： 分贝误差 相对误差的对数表示在 电子学和声学 中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为 测得值为 绝对误差为 ，则由 及推导出分贝误差为：(2-5) 为了计算和划分电表准确度等级的方便，在用（ 2-3）式求相对误差时，改为取电表量程，即满刻度值作为分母，这就引出了 满度相对误差 （又叫引用相对误差 ）的概念： 电子测量 技术第 7页 用绝对误差 x与仪器的满刻度值 xm比值来表示的误差称为满度 相对 误差。用 r n表示，(2-6)式中电子仪器正是按 r n之值来进行分级的，例如， 0.5级的电子仪器，就表明其r n 0.5%，即表示它的 引用相对误差所不超过的百分比， 并在其面板上标有0.5的符号。如果该仪器同时有几个量程，则所有量程有 r n 0.5%。我国生产的电子仪器精度一般分有七级： 0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0。 用绝对误差 与仪器的满刻度值 比值来表示的误差称为满度 相对 误差。用 表示，用绝对误差 与仪器的满刻度值 比值来表示的误差称为满度 相对 误差。用 表示，若某仪表的等级是 s级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ， 那么测量的绝对误差(2-7)若某仪表的等级是 级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ， 那么测量的绝对误差电子测量 技术第 8页 测量的相对误差(2-8)由式（ 2-7）、（ 2-8）可见，我们在用这类仪表测量时， 所选仪表的满刻度值不应比实测量大得太多 ；在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的 三分之二以上 。由 P16例 3可见，在测量中我们不能片面追求仪表的级别，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的 满刻度值和 级别 ， 合理的选择仪表。二、测量误差按性质和特点分类二、测量误差按性质和特点分类 根据测量误差的根据测量误差的 性质和特点性质和特点 ，测量误差可分为系统误差、随机，测量误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。电子测量 技术第 9页 u （一） .系统误差 定义 ：在同一测量条件下，多次测量同一量时， 测量误差的绝对值和符号都保持不变 ，或 在测量条件改变时按一定规律变化 的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。 系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。 产生的主要原因是 测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置或使用方法不正确； 环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响； 测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或 测量原理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）； 测量人员不良的读数习惯等。电子测量 技术第 10页 定义、根源和特点 定义 : 在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时，每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差 ，称为随机误差或偶然误差，简称随差。 随机误差主要由那些对 测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成的。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的各种无规律的微小变化等。（二）（二） .随机误差随机误差电子测量 技术第 11页 一次测量的随机误差没有规律、不可预定、不能控制也不能用实验的方法加以消除。但是，对于大量的测量，从统计的观点来看，随机误差表现了它的规律性，即 随机误差在多次测量的总体上服从统计规律。 可通过 数理统计的方法 来处理 ,即求算术平均值，通过多次测量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果的影响。 随机误差变化的特点是： 有界性； 对称性； 抵偿性。 很多测量结果的随机误差的分布形式接近于 正态分布 ，也有部分测量结果的随机误差属于 均匀分布 或其他分布。电子测量 技术第 12页 在测量中，随机误差是不可避免的。 在进行测量之前，我们不能预言测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因而 测量值是一个随机变量 。 多次测量， 测量值和随机误差服从概率统计规律 。 可用 数理统计的方法 ，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。 测量值的取值可以是连续的，也可以是离散的。 测量值为 离散值 时的数学期望和方差 测量值为离散值时的数学期望 测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差电子测量 技术第 13页 u 若 测量值 X可能的取值数 m为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数 n 时，可以用某取值发生的频率 ni n代替事件发生的概率 Pi(i=1 m),这时，测量值 X的数学期望为：式中电子测量 技术第 14页 若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为 n次测量得到 n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数 n 时，可以用测量值出现的频率 1 n代替事件发生的概率 Pi(i=1 m),这时，则得到测量值 X的数学期望为： 测量值 的数学期望就是 当测量次数 n 时，它的各次测量值的算术平均值 测量值 的数学期望只反映 测量值平均的情况测量值 的数学期望就是 当测量次数 时，它的各次测量值的算术平均值测量值 的数学期望只反映 测量值平均的情况电子测量 技术第 15页 测量值为离散值时的方差 若测量值 X可能的取值数 m为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数 n 时，可以用事件发生的频率 ni n代替第 i种取值的概率 Pi(i=1 m),这时，测量值 X的方差为： 若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为 n次测量得到 n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数 n 时，可以用测量值出现的频率 1 n代替概率 Pi(i=1 m),这时，则得到测量值 X的方差：若测量值 可能的取值数 为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数 时，可以用事件发生的频率 代替第 种取值的概率 这时，测量值 的方差为：若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为 次测量得到 个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数 时，可以用测量值出现的频率 代替概率 这时，则得到测量值 的方差：电子测量 技术第 16页 测量值 的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。 在式（ 2-11）中，不采用 xi-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。 标准偏差： 方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述测量值的离散程度， 越小，测量值越集中。测量值 的方差是用来描述 测量值的离散程度 或者说随机误差对测量值的影响的。在式（ ）中，不采用 来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差： 方差的算术平方根标准偏差同样用来描述 测量值的离散程度 ， 越小，测量值越集中。 测量值为 连续值 时的数学期望和方差设测量值 X落在区间 内的概率为之比的极限存在当 趋于零时，若就把它称为测量值 X在 x点的概率密度，记为电子测量 技术第 17页 则测量值 X的数学期望为：则测量值 X的方差为：（ 2-13）（ 2-14）（三）（三） .粗大误差粗大误差u 定义： 超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，测量结果明显地偏离了真值。u 产生粗差的原因有： 测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 测量方法不当或错误 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。u 含有粗差的测量值称为坏值或异常值； 粗大误差明显地歪曲了测量结果， 在数据处理时，应剔除掉 。电子测量 技术第 18页 （四）测量误差对测量结果的影响及测量的正确度、精密度和准确度 系差和随差的表达式系差和随差的表达式 对于一个测量误差，在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差，而一般说来， 在任何一次测量中，系统误差和随机误差都是同时存在的。 那么各次测得值的绝对误差就等于系统误差和随机误差的代数和。即在确定条件下，对被测量 x的第 i次测量的误差可表示为式中系统误差 在测量条件相同时是不变的，当测量次数 n 时，若对 n次测量的绝对误差取平均值，则电子测量 技术第 19页 的平均值等于零，由此可得：由于随机误差的抵偿性，当 n 时(2-15a)(2-15b) 式 (2-15a) 说明 ，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，只要测量次数足够多（理论上 n ），各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消除。 式 (2-15b) 说明 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即(2-16) 系差的表达式系差的表达式电子测量 技术第 20页 随差的表达式随差的表达式由于第 i次测量的随机误差由于第 次测量的随机误差将 及式（ 2-15b）代入上式，可得及式（ ）代入上式，可得将 及式（ ）代入上式，可得(2-17a) 式 (2-17a) 说明 ，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。 当不存在或修正了系统误差以后，由式（ 2-16）可将上式变为 (2-17b) 测量误差对测量数据的影响测量误差对测量数据的影响电子测量 技术第 21页 （ a）（ b）（ ）（ c）（ ）电子测量 技术第 22页 3. 测量的正确度、精密度和准确度 正确度： 表示测量结果中系统误差大小的程度 。系统误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所以就可以用系统误差 来作为衡量测量是否正确的尺度。 精密度： 表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以简称为精度 。精密度越高，表示随机误差越小。随机误差的大小可以用测量值的标准偏差 来衡量。 越小，测量值越集中；反之， 越大，测量值越分散，测量的精度越低。 相同的测量叫等精密度测量。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。 如图 2-4所示电子测量 技术第 23页 u 准确度： 用来反映 测量结果中 系统误差和随机误差的综合影响。 表示 测量结果与真值的一致程度。 准确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量结果尽量接近真值，即力求准确度高。图 2-4 随机误差不同的两组测量数据： （ a） 随机误差较小（ b）随机误差较大（ a）（ b）电子测量 技术第 24页 测量结果的正确度、精密度和准确度的涵义可用图 2-5说明：图 2-5（ c）（ a）（ b）电子测量 技术第 25页 4.系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化u 在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对严格的，而是具有一定的相对性；u 但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对三种误差的处理方法是不同的： 对于含有粗大误差的测量值予以剔除； 对于随机误差的影响用统计平均的方法来消除或减弱； 对系统误差则主要靠在测量过程中采用一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱系统误差的影响 误差的其他多种分类电子测量 技术