精品推荐北京2013届高三理科试题分类汇编含9区一模及上学期期末试题专题：立体几何

第 1 页，共 39 页北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编（含 9 区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1. （2013 届北京大兴区一模理科）已知平面 ，直线 ，下列命题中不正确的是 （ ）,nm,A若 ， ，则 mB若 ， ，则nnC若 ， ，则 D若 ， ，则 2. （2013 届北京海滨一模理科）设 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4，5，6 的直线.给123,l出下列三个结论： ，使得 是直角三角形；iAl(1,23)123A ，使得 是等边三角形；i,三条直线上存在四点 ，使得四面体 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的(,4)i1234A四面体.其中，所有正确结论的序号是 （ ）A B C D3. （2013 届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）A 2B 2C 3D 324. （2013 届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是 （ ）A 63B 12C D 2435. （2013 届北京西城区一模理科）如图，正方体 1ABCD中， 为底面 上的动点， 于 ，且PABD1PEAC ，则点PE的轨迹是 （ ）A线段 B圆弧 C椭圆的一 部分 D抛物线的一部分6. （2013 届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所 示，该三棱锥的四（7 题图）第 2 页，共 39 页个面的面积中，最大的是 （ ）A B C D4384783Main Document Only. （2013 届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A 21B13C 65D7. （北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的 正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图来源:Z （ ）A B C D 来源:学|科|网8. （北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学（理）试题 ）平面 平面 的一个充分条件是（ ）A存在一条直线 a， ， B存在一条直线 ， ， C存在两条平行直线 bab， ， ， ， ， D存在两条异面直线 a， ， ， ， ， 9. （北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为 1，等腰三角形的腰长为 5，则该几何体的体积是 （ ）A 43B 2C 83D 10310. （北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示该四面体的六条主视图1左视图1俯视图1第 3 页，共 39 页棱的长度中，最大的是 （ ）A 25B 26C 27D 4211. （北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（ ）222正（主）视图 侧（左）视图俯视图A 1642B 142C 842D 4212. （北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 2的等腰直角三角 形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 （ ）A 3B 23C1 D213. （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为第 4 页，共 39 页（ ）A 10432B 10234C 1234D14. （【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱锥的底面是边长为 1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A 34B 32C 34 D 1 15. （【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为 1 的正方体1BCD中，点 1P， 2分别是线段 AB， 1（不包括端点）上的动点，且线段 2P平行于平面 A，则四面体 的体积的最大值是 （ ）A 24B 12C 6D 216. （【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）设 ,mn是不同的直线， ,是不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）A若 /,mn，则 B若 ，则 / C若 /,/，则 第 5 页，共 39 页D若 /,/mn，则 /17. （【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 （ ）A 38B4C 2D 3418. （北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是 （ ）A B3932C D6 6二、填空题19. （2013 届北京丰台区一模理科）某四面体的三视 图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 _.20. （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学 理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 为 21. （【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考 试数学理试题 ）三棱锥 DABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱 BD的长为_.正（主）视图 侧（左）视图俯视图2 2 323 1第 6 页，共 39 页22. （【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体 1ABCD的棱长为 1，动点 P在正方体 1ABCD表面上运动，且 PAr（ 03） ，记点 P的轨迹的长度为 ()fr，则 1()2f_;关于 r的方程 ()frk的解的个数可以为 _.（填上所有可能的值）.三、解答题23. （2013 届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中， 是等边三角形，D 是 BC 的中点（）求证：A 1B/平面 ADC1；（）若 AB=BB1=2，求 A1D 与平面 AC1D 所成角的正弦值24. （2013 届北京丰台区一模理科）如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， MD 平面 ABCD，NBMD，且NB=1，MD=2；（）求证：AM平面 BCN;（）求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值；（）E 为直线 MN 上一点，且平面 ADE 平面 MNC，求 MEN的值.25. （2013 届北京海滨一模理科）在四棱锥 中，PABCD平面 ， 是正三角形， 与 的交点 恰好是 中点，又 ，PABCDAMAC4PAB，点 在线段 上，且 120N2NNCDA BME第 7 页，共 39 页（）求证： ；BDPC（）求证： 平面 ;/MN（）求二面角 的余弦值A26. （2013 届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥 ABCDP的底面ABCD为菱形， 60ABC，侧面 PAB是边长 为 2 的正三角形，侧面 P底面 .()设 的中点为 Q，求证： 平面 CD；（）求斜线 与平面 所成角的正弦值；（）在侧棱 上存在一点 M，使得二面角CBM的大小为 60，求 P的值.27. （2013 届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形，CDEFABCD/ ， ，ABCDB2， 60F（）求证： 平面 ；C（）求 与平面 所成角的正弦值；BEA（）线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？证明你的结论DQEAQBC28. （2013 届东城区一模理科）如图，已知 是直角梯形，且 ，平面 平面 ，ACDE/EDACEABC， ， ， 是 的中点90BACDB21BP（）求证： 平面 ；/P（）求平面 与平面 所成锐二面E 角大小的余弦值MDCBAPNQ 第 8 页，共 39 页29. （2013 届房山区一模理科数学）在四棱锥 中，侧面PABCD PAD底面 ， 为直角梯形， / ，ABCD 90C， ， ， 为 的中12EF, 点（）求证：PA/平面 BEF；（）若 PC 与 AB 所成角为 ，求 的长；45（）在（）的条件下，求二面角 F-BE-A 的余弦值30. （2013 届门头沟区一模理科）在等腰梯形 ABCD 中， ， ， ，N 是 BC 的/ADBC1260ABC中点将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 ，得到梯形 （如图） 90（）求证： 平面 ； ACB（）求证： 平面 ；/ND（）求二面角 的余弦值31. （北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分 13 分) 在四棱锥 ABCDP中，底面 AB为矩形， ABCDP、， 1， 2BC， 3PD，FG、分别为 、的中点（1）求证： ；（2）求证： /平面 ；（3）线段 上是否存在一点 R，使得平面 R平面 ，若存在，求出 AR的长；若不存在，请说明理由32. （北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学（理）试题 ）已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积 V 的大小;DFE CBAPACDB NFGPD CBA第 9 页，共 39 页（）求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（）试探究在棱 DE 上是否存在点 Q，使得AQ BQ，若存在，求出 DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图144 433. （北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形 ABCD中， 60， E是AB的中点， MA平面 BCD，且在矩形 ADNM中， 2D， 37（）求证： N；（）求证： / 平面 E；（）求二面角 C的大小.34. （北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科 数学）如图所示，正方形 DA1与矩形 BC所在平 面互相垂直， 2B,点 E 为 的中点。（）求证： 11/平 面 () 求证： （）在线段 AB 上是否存在点 M，使二面角 DMC1A BCDENMD1E BDCAA1第 10 页，共 39 页的大小为 6？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由。35. （北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥 ABCDP中，底面 AB为正方形， PDA， 平面 PC，E为棱 的中点（）求证： B/ 平面 EA；（）求证：平面 平面 BD； （）求二面角 C的余弦值36. （北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC 1底面ABC，AC=BC =2， 2AB，CC 1=4，M 是棱 CC1 上一点（）求证：BCAM ；（）若 N 是 AB 上一点，且 1NC，求证：CN /平面 AB1M；（）若 52C，求二面角 A-MB1-C 的大小37. （北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如 图，在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=AB= 2， 3BC， 90A,平 面 PAB 平面 ABC，D 、 E 分别为 AB、 AC 中点.（）求证：DE平面 PBC;（）求证：AB PE；（）求二面角 A-PB-E 的大小 . ABCA1B1C1MNEDAB CP第 11 页，共 39 页OFEDC BAA1 B1ECBD1C1AD38. （北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分 14 分）在四棱锥 EABCD-中，底面 ABCD是正方形， ,ABDO与 交 于 点 ECABDF底 面 ，为 的中点. （）求证：E平面 F；（）求证： E；（）若 2,=在线段 上是否存在点 G，使 CGBE平 面？若存在，求出 GO的值，若不存在，请说明理由39. （【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）在 长方体 1ABCD-中， 12A=D，点 E在棱 C上，且 13E=（）求证： 平面 B；（）在棱 1上是否存在点 P，使 平面 1A？ 若存在，求出线段 A的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角 1-BE的余弦值为 306，求棱的长40. （【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱 1ABC中，90BAC， 12,E是 BC中点.第 12 页，共 39 页（I）求证： 1/AB平面 1EC；（II）若棱 上存在一点 M，满足 1BCE，求 AM的长；（）求平面 1与平面 1A所成锐二面角的余弦值 .EC1B1A1 CBA41. （【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图 1，在 Rt ABC中， 90，36BCA，D 、 E 分别是 ACB、 上的点，且 /DEBC，将 E沿 D折起到 1E的位置，使 1，如图 2（）求证： 平面 1；（）若 CD，求 BE与平面 AC所成角的正弦值；（） 当 点在何处时， 1的长度最小，并求出最小值 42. （北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分 14 分）在长方体中， ， ， 为 中点.1ABCD1ABC2AE1BA BCDE图 1 图 2A1 B CDE第 13 页，共 39 页（）证明： ；1ACDE（）求 与平面 所成角的正弦值；（）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理PB1ADEP由.D1 C1B1A1 EDCBA第 14 页，共 39 页北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编（含 9 区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何参考答案一、选择题1. C2. B3. D4. C5. A6. C7. C8. C9. D10. 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为 1，圆锥的高为2(5)14h，所以圆锥的体积为 123，半球的体积为 23，所以几何体的总体积为 3，选 A.11. 【答案】C 解：由三视图可知该四面体为 VABC,其中 2EB, 3A, 2VC,AEBVE.所以六条棱中，最大的为 V或者 . 22(3)16E,所以 222160C，此时 05。(3)48,所以 87AB，所以棱长最大的为 7，选C.12. 【答案】B【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2，所以该几何体的底面积为 ，侧面积为 ，所以表面积124(2)284为 ，选 B.841413. 【答案】A解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，第 15 页，共 39 页,所以四个面中面积最大的为 BCD，且 是边长为为 2 的正三角形，所以 132BCDS，选 A.14. 【答案】B解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥来源:Zxxk.Com其中 ABCD 是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4，即 PA平面 ABCD，PA=2。且 2CD,， 2PD, 2B, 6PC,底面梯形的面积为 (24)6， 1PABS,1AS, 14S,侧面三角形 DC中的高22()(6DO，所以 13PCS，所以该几何体的总面积为62342042，选 B.15. 【答案】C 第 16 页，共 39 页解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为 ，侧视图的高为 32，高为 3，所以侧视图的面积为 1324。选 C.16. 【答案】A解：过 2P做 O底面于 O,连结 1P, 则 1OAB，即 1P为三棱锥 21AB的高，设10Ax，则由题意知 /D,所以有 ，即 Ox。三角形 12APBSx，所以 四面体 12B的体积为 1 2()()()33264APBSx，当且仅当 x，即 x时，取等号，所以四面体 1AB的体积的最大值为14，选 A. 17. 【答案】C解：C 中，当 /,/mn，所以， /,或 ,n当 ，所以 ，所以正确。18. 【答案】B解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为 2，底面三角形的高为 3，底面边长为 3，所以底面积为 14362，所以该几何体的体 积为 1643，选 B.19. D二、填空题20. ； 521. 【答案】 7410第 17 页，共 39 页解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4， ，底面梯形的上底为 4，下底为 5，腰 2310CD,所以梯形的面积为 (5)327S，梯形的周长为 310，所以四个侧面积为 (12)08，所以该几何体的表面积为 2784。22. 【答案】 42解：取 AC 的中点，连结 BE,DE 由主视图可知 ,BEACDE. ABC且,3,2DCBEAC.所以22(3)164，即224342BDC。23. 【答案】3; 0,4解：由定义可知当 12PA，点 P 的轨迹是半径为 12的 4圆周长，此时点 P 分别在三个侧面上运动，所以 13()3()24f。由正方体可知，当 0r，点 在三个面上运动，此时 ()fr递增，当5r时， ()fr递减，当 52r时， ()f递增，当 23r时， ()f递减，如草图，所以方程 ()frk的解的个数可能为 0,2,3,4 个。三、解答题第 18 页，共 39 页24.证明：（I）因为三棱柱 是直三棱柱，所以四边形 是矩形。1ABC1AC连结 交 于 O，则 O 是 的中点，又 D 是 BC 的中点，所以在 中， 。1AC11 1D1/OAB因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。1B1D11/B1（II）因为 是等边三角形，D 是 BC 的中点，所以 。以 D 为原点，建立如图所示空间坐 AC标系 。由已知 ，得：xyz12AB， ， ， .(0,)D(3,0)A1(3,02)1(,2)C则 ， ，设平面 的法向量为 。,1,DC1AD(,)nxyz由 ，得到 ，令 ，则 ， ，所以 .10n302xyzz0x2y(0,21)又 ，得 。(3,2)DA112nDA所以 1235cos,57设 与平面 所成角为 ，则 。11C1235sin|co|DAn所以 与平面 所成角的正弦值为 。1AD123525.解：（）ABCD 是正方形,BCAD.BC平面 AMD,AD 平面 AMD,BC平面 AMD.NBMD,NB平面 AMD,MD 平面 AMD,第 19 页，共 39 页NB平面 AMD.NB BC=B,NB 平面 BCN, BC 平面 BCN,平面 AMD平面 BCN3 分AM 平面 AMD,AM平面 BCN4 分(也可建立直角坐标系，证明 AM 垂直平面 BCN 的法向量，酌情给分)（） 平面 ABCD， ABCD 是正方形，所以，可选点 D 为原点，DA,DC,DM 所在直线分别为 x,y,zMD轴，建立空间直角坐标系（如图）5 分则 ， ， , .0,2A2,0C1,2N, )1(N6 分， ,),2(M)20(C设平面 MNC 的法向量 ,zyxn则 ，令 ，则 02zyx21,2n7 分设 AN 与平面 MNC 所成角为 ,. 52312,cosinnAN9 分（）设 ， ， ，(,)ExyzMEN又 ，,2,(,1)NE 点的坐标为 ， 11 分(面 MDC, ，ADC欲使平面 ADE 平面 MNC，只要 ，AEM， ，(2,),E(0,2)0AEC42()0. 14 分3MN yxzNCDA BME第 20 页，共 39 页26.证明：(I) 因为 是正三角形， 是 中点，ABCMAC所以 ,即 1 分MD又因为 ， 平面 ， 2 分P平 面 BDP又 ，所以 平面 3 分ABA又 平面 ，所以 4 分（）在正三角形 中，CCABC5 分23BM在 中，因为 为 中点， ，所以ADADMAD，所以 ，所以 6 分120C23:3:1B在等腰直角三角形 中， ， ，PB42P所以 ， ，所以 8 分:3:N:ND/N又 平面 ， 平面 ，所以 平面 9 分MDCMC（）因为 ，90AA所以 ，分别以 为 轴, 轴, B,BP xy 轴建z立如图的空间直角坐标系，所以43(4,0)(2,30),(,0)(,4)CD由（）可知，为平面 的法向量10 分(4,0)3DBPA，2,PC(4,)B设平面 的一个法向量为 ,nxyz则 ，即 ，0nPB2304z令 则平面 的一个法向量为 12 分3,zC(,3)n设二面角 的大小为 ， 则APB7cosDBz yx MADB CPN第 21 页，共 39 页所以二面角 余弦值为 14 分APCB727. ()证明：因为侧面 是正三角形， AB的中点为 Q，所以 ABP，因为侧面 底面 D，侧面 P底面 CD， 侧面 ，所以 PQ平面 ABC. 3 分（）连结 AC，设 O，建立空间直角坐标系 xyzO， 则 )0,(， ),3(， )0,1(， )0,3(D， )3,21(P，5 分),21(PD,平面 ABC的法向量 ),(m，设斜线 与平面 所成角的为 ，则 103427|,cos|in PDm . 8 分（）设 CtM)3,2(tt，则 M)3,2,(tt，B),13,2(ttt， )0,1(2DB， 10 分设平面 D的法向量为 ,(zyxn，则 0xDBn，0Mn 3)12()32tzytt，取 3z，得 ,6,(tn，又平面 AC的法向量 )1,0(m12 分所以 |0cos|,cos|m，所以 2)36(t，解得 2t（舍去）或 52t.所以，此时 CPM52. 14 分28. （）证明：因为 ， ，BA60在 中，由余弦定理可得 ，BC3所以 2 分第 22 页，共 39 页又因为 ， ACFB所以 平面 4 分（）解：因为 平面 ，所以 CFA因为 ，所以 平面 5 分FCDBD所以 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6 分在等腰梯形,ABxyzC中，可得 设 ，所以 1C 3131(0,)(3,0)(,1)(,0),(,)22ABE所以 ， ， ),23(E),(C),(设平面 的法向量为 ，则有A=()x,yzn0,.CEAn所以 取 ，得 8 分310,2.xyz1z(,21)设 与平面 所成的角为 ，则 ，BCEA|25sin|co,CBn所以 与平面 所成角的正弦值为 9 分52（）解：线段 上不存在点 ，使平面 平面 证明如下： 10 分EDQEACQB假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ),213(t)0(t ),213(t设平面 的法向量为 ，则有 QBCm),(cba,.CQ所以 取 ，得 12 分0,31.2batc1)1,032(t要使平面 平面 ，只需 ， 13 分EACQBnm即 ， 此方程无解02103t第 23 页，共 39 页所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 14 分EDQEACQB29.证明（）取 的中点 ，连结 ， ABFPF因为 是 的中点，PC所以 ， F/21因为 ，且 ，EDAC所以 ，且 ，P/F所以四边形 是平行四边形 所以 /因为 平面 ， 平面 ，EFABEAB所以 平面 /DP（）因为 ，平面 平面 ，90CCD所以以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则xy xyzA轴在平面 内zEA由已知可得 ， ， ， (0,)(2,0)B(,13)E(0,23)所以 ， ， 213B设平面 的法向量为 D(,)xyzn由 ,0.En所以 23,.xyz取 ，z所以 (,0)n又因为平面 的一个法向量为ABC (,1)m所以 27cosmn即平面 与平面 所成锐二面角大小的余弦值为 EBDAC2730. （）证明：连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC，FO / , , 为 中点21EADAE/BC，且 AE=BC 四边形 ABCE 为平行四边形 O 为 AC 中点 .1 分又 F 为 AD 中点第 24 页，共 39 页/ .2 分OFPA.3 分,BEBEF平 面 平 面/平面 4 分（）解法一： PADPAD为 中 点 , ,ABCBCAPEAD侧 面 底 面 侧 面 底 面 平 面 PEABCD平 面.6 分易知 BCDE 为正方形ADBE建立如图空间直角坐标系 ，xyz （t0）则 0,1,0,1,0, CtP,ABtPC045所 成 角 为与，.8 分245cos201,cos 0tABPC解得： .9 分2t2E解法二：由 BCDE 为正方形可得 2C由 ABCE 为平行四边形 可得 / AB为 即 5 分PCAB与 所 成 角 045PEADED为 中 点 , ,CPEAD侧 面 底 面 侧 面 底 面 平 面.7 分平 面.8 分9 分2PEC（） 为 的中点，所以 ，F12,F,01EB2,1设 是平面 BEF 的法向量zyxn,Oz yxDFE CBAP第 25 页，共 39 页则 021,zyxEFnB取 ，则 ，得 .11 分2xz,n是平面 ABE 的法向量 .12 分,0P.13 分3,cosEPn由图可知二面角 的平面角是钝角， BAC所以二面角 的余弦值为 .14 分331. （）证明：因为 ，N 是 BC 的中点12D所以 ，又ANC/B所以四边形 是平行四边形，所以 ADC又因为等腰梯形， ，60所以 ，所以四边形 是菱形，所以ABDN1302ABDC所以 ，即9CAB由已知可知 平面 平面 ，C因为 平面 平面B所以 平面 4 分A（）证明：因为 ， ， /D/AB,C所以平面 平面/又因为 平面 ，NB所以 平面 8 分/AD（）因为 平面C同理 平面 ，建立如图如示坐标系设 ， 1B x z yA CDB N 第 26 页，共 39 页则 , , ， ， 9 分(10)B(30)C(,3)1(,0)2N则 ，,设平面 的法向量为 ，有 ， ，N()nxyz0BCn得 11 分(3,1)n因为 平面 ，所以平面 平面ACBAN又 ，平面 平面DNC所以 平面与 交于点 O， O 则为 AN 的中点 ， OBA13(,0)4所以平面 的法向量 12 分CN 3(,)B所以 13 分5cosnO由图形可知二面角 为钝角AC所以二面角 的余弦值为 14 分N 532. （1）证明： 底面 BD为矩 形 DACACPD、 ,AP、B、AD 4 分（2）证明：取 H、，连接 CG, 、PF,G/AB21, C/HF、是平行四边形，/ C， BCP、， BCPFG、 HFG PD CBA第 27 页，共 39 页FG/ BCP、 8 分(3) AD，以 为坐标原点，以 DPCA,所在的直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，假设在线段 上存在一点 R，使得平面 BPR平面 ，设 ),(0mR， )3,0(),12,(BC2BP),1(),(mR设平面 C的法向量为 11zyxn01nPB， 03211 ， 令 3y ),(设平面 R的法向量为 ),22zyxn02nPB03)(2m令 1 ),(322mn1)(，解得 3m线段 AD上存在点 R，且当 21A时，使得平面 BPR平面 C. 13 分33.解：（1）由该几何体的三视图知 C面 ED,且 EC=BC=AC=4 ，BD=1， 1(4)02BCEDS梯 形 4133VA梯 形 即该几何体的体积 V 为1103BCED梯 形 -4 分（2）以 C 为原点，以 CA， CB，CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系则 A（4，0，0） ，B（0，4，0） ，D（0，4，1） ，E （0，0，4） (,3)(,)E， 2cos,5AB异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 25-4 分zyxFGPD CBAzyxABCDE第 28 页，共 39