第1章 线性空间与线性变换

矩阵论矩阵论课程：课程： 矩阵论（矩阵论（ Matrix Theory）学时：学时： 48学时学时 （ 48 Lectures）教材教材 ：矩阵论（：矩阵论（ 第第 2版，版， 杨明、刘先忠编著杨明、刘先忠编著 ），），华中科技大学出版社，华中科技大学出版社， 2005任课教师任课教师 ： 杨杨 明明（ Dr. Yang Ming）http:/ /gksx/前言前言一、课程介绍一、课程介绍研究内容：研究内容：矩阵与线性空间和线性变换矩阵与线性空间和线性变换 以矩阵为工具研究问题以矩阵为工具研究问题 在其中发展矩阵理论在其中发展矩阵理论矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵在各种意义下的化简与分解矩阵的分析理论矩阵的分析理论各类矩阵的性质研究各类矩阵的性质研究矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。问题，又适合现代理论数学的抽象结构。二、教学安排二、教学安排学时配置学时配置讲授第讲授第 1章至第章至第 6章章 (48学时学时 )第第 1章：章： 10学时学时 ; 第第 2章：章： 8学时学时第第 3章：章： 8学时；学时； 第第 4章：章： 6学时；学时；第第 5章：章： 8学时；学时； 第第 6章：章： 6学时学时考核方式：课程结束考试（第考核方式：课程结束考试（第 13周周）卷面成绩为最终成绩卷面成绩为最终成绩三、教学指导意见三、教学指导意见背景要求：线性代数背景要求：线性代数矩阵与计算工具：矩阵与计算工具： MATLAB， MAPLE, 矩阵与现代应用：应用选讲矩阵与现代应用：应用选讲教学参考书教学参考书 ：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社余鄂西，矩阵论，高等教育出版社 ， 1995。方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社， 2004。Fuzhen Zhang， Matrix Theory， Springer， 1999。Denis Serre， Matrices Theory and Applications，Springer， 2002。矩阵论历年试题及其解答矩阵论历年试题及其解答不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。第第 1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换内容内容 ：线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法特点特点 ：研究代数结构研究代数结构 具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1 线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念几何空间和几何空间和 n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾推广思想：推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。定义定义 1.1（ P .1）要点：要点： 集合集合 V 与数域与数域 F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画常见的线性空间常见的线性空间F n=X=（ x1， x2， ， xn） T： x F运算运算 ：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F mn = A=aijmn： a ijF；运算运算 ：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵R mn ； C mn 。Pn x=p(x)= ： aiR运算运算 ：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘Ca， b=f（ x）：）： f（ x） 在在 a， b上连续上连续 运算运算 ：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘eg5： V=R+， F=R， a b=ab， a=a F=R或或 C线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：线性空间的一般形式：V（ F），）， 元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ， 线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理 1 . 1： V（ F） 具有性质：具有性质：（ 1） V（ F） 中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（ 2） V（ F） 中任何元素的负元素是惟一中任何元素的负元素是惟一的。的。（ 3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0=0， k0=0， k =0 =0 或或 k=0（ 4） = （ 1） 数数 0向量向量 0二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间定义形式和向量空间 Rn中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和 Rn中的结果一样。中的结果一样。例题例题 1 证明证明 C0， 1空间中的向量组空间中的向量组ex， e2x， e3x ， enx， x0， 1 线性无关。线性无关。二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数基与维数的概念：基与维数的概念： P . 2， 定义定义 1 . 2常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：Fn， 自然基自然基 e1， e2， ,e n， dim Fn =nRmn ， 自然基自然基 Eij， dim Rmn =mn。Pn x ， 自然基自然基 1， x， x2， x3,x n-1， dimPn x =nCa， b， 1， x， x2， x3x n-1 Ca,b，dim Ca， b= 约定：约定：V n （ F） 表示数域表示数域 F上的上的 n 维线性空间。维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。三、坐标三、坐标1 定义定义 1 .3 （ P . 3)设设 1， 2， ， n 是空间是空间的一组基，的一组基， ， = ，则，则 x1 ，x2， ， xn 是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例 1： 求求 R22中向量中向量 在基在基 Eij下的坐标。下的坐标。要点：要点： 坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式例例 2 设空间设空间 P4x的两组基为：的两组基为：1， x， x2， x3和和1，（，（ x - 1） 1，（，（ x - 1） 2，（，（ x - 1） 3求求 f（ x） =2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐在这两组基下的坐标标 。归纳归纳 ：任何线性空间任何线性空间 V nF在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于 Fn 。每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组 “自然基自然基 ”，在这组，在这组基下，向量的坐标容易求得。基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。2、 线性空间线性空间 V n（ F） 与与 Fn的同构的同构坐标关系坐标关系V n （ F） Fn基基 1， 2，。，。 n由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 V n （ F），）， X Fn， （ ） =X（ 1+2） =（ 1） +（ 2）（ k） =k（ ）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间 V n （ F） 和和 Fn同同构。构。同构的性质同构的性质定理定理 1.3:V n （ F） 中向量中向量 1， 2， n线性相关线性相关 它们的坐标它们的坐标 X1 , X2, ,Xn在在Fn中线性相关。中线性相关。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用应用 ：借助于空间借助于空间 Fn中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。例题例题 2 设设 R22中向量组中向量组 Ai1 讨论讨论 Ai的线性相关性的线性相关性 .2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组 .3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合 .四、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵 C的性质：的性质： C为非奇异矩阵为非奇异矩阵 C的第的第 i列是列是 i 在基在基 i 下的坐标下的坐标则则过过渡渡矩矩阵阵2 坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足 : ;讨论讨论 X和和 Y的关系的关系X=CY12 3例题例题 4、 已知空间已知空间 R中两组基中两组基 （ I） Eij（ II）；）； 1. 求从基（求从基（ I） 到基（到基（ II） 的过渡矩阵的过渡矩阵 C。2. 求向量求向量 在基（在基（ II） 的坐标的坐标 Y。例题例题 3、 （ P6例题例题 11）1.1 五、五、 子空间子空间 概述：概述： 线性空间线性空间 Vn（ F） 中，向量集合中，向量集合 V可可以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系：WW i V， W 1WW 2， W 1WW 2，问题：问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间线性空间 ？1、 子空间的概念子空间的概念定义：定义： 设集合设集合 WW Vn（ F），）， WW ， 如果如果WW 中的元素关于中的元素关于 Vn（ F） 中的线性运算为线中的线性运算为线性空间，则称性空间，则称 WW 是是 Vn（ F） 的子空间的子空间 。 判别方法：判别方法： 定理定理 15WW 是子空间是子空间 WW 对对 Vn（ F） 的线性运算封的线性运算封闭闭 。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法法重要的子空间：重要的子空间： 设向量组设向量组 1， 2， ， m Vn（ F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间：由它们的一切线性组合生成的子空间：L1， 2， ， m = 矩阵矩阵 AF mn， 两个子空间：两个子空间：A的零空间：的零空间： N（ A） = X ： AX=0 F n，A的列空间：的列空间：R（ A） = LA1， A2， ， A n F m，Ai为为 A的第的第 i列。列。2、 子空间的子空间的 “交空间交空间 ”与与 “和空间和空间 ” 讨论：讨论： 设设 WW 1 Vn（ F），）， WW 2 Vn（ F），）， 且都且都是子空间，则是子空间，则 WW 1WW 2和和 WW 1WW 2是否仍然是子空是否仍然是子空间？间？1. （ 1） 交空间交空间 交集：交集： WW 1WW 2= WW 1 而且而且 W 2 Vn（ F）定理定理 16 WW 1WW 2是子空间，被称为是子空间，被称为 “交空间交空间 ”（ 2）和空间）和空间和的集合：和的集合： WW 1 WW 2= =X1 X2X1WW 1， X2WW 2，WW 1WW 2 W 1 WW 2定理定理 16 WW 1 WW 2是子空间，被称为是子空间，被称为 “和空间和空间 ”，WW 1WW 2不一定是子空间，不一定是子空间， WW 1WW 2 W 1 WW 2 例例 17 设设 R3中的子空间中的子空间 WW 1=Le1， WW 2=Le2 求和空间求和空间 WW 1 WW 2。比较：集合比较：集合 WW 1WW 2和集合和集合 WW 1 WW 2。 如果如果 W 1=L1， 2， ， m ，W 2=L1， 2， ， k，则则 WW 1 WW 2=L1， 2， ， m， 1， 2， ， k 3 、维数公式、维数公式 子空间的包含关系子空间的包含关系 ：dimWW 1WW 2 dim W i dimWW 1 WW 2 dimVn（ F）。）。定理定理 17 ：dimWW 1 dimWW 2=dim（ WW 1 WW 2） dim（ WW 1WW 2）证明：证明：4 、子空间的直和、子空间的直和 分析分析 ： 如果如果 dim（ WW 1WW 2） 0， 则则 dim（ WW 1 WW 2） dimWW 1 dimWW 2所以：所以： dim（ W 1 W 2） =dimW 1 dimW 2 dim（ W 1W 2） =0 W 1W 2=0直和的定义直和的定义 ： 定义 16 ： dim（ W 1W 2） =0 ， 则和为直和 W=W 1 W 2=W 1W 2，子空间的子空间的 “和和 ”为为 “直和直和 ”的充要的充要 条件条件 ：定理定理 18 设设 W=W 1 WW 2， 则下列各条等价则下列各条等价：（ 1） W=W 1WW 2（ 2） X WW ， X=X 1 X2的表的表是惟一的是惟一的（ 3） WW 中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（ 4） dim W =dimWW 1 dimWW 2例例 1 P12 eg18例例 2 设在 Rnn中，子空间W 1=A AT =A ， W 2=B BT= B ，证明 Rnn=W 1W