航空订票中的数学模型

航空公司的超额订票问题中的模型1 问题的提出航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。 2 问题分析订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。公司的经济利益 利润 = 收入-成本-赔偿金公司的社会声誉 已订票但被挤掉的乘客的数量问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。3 模型假设 飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为常数 r。机票价格按照 来制订，其中 是利润调节因子，如 表示飞机 60%满员就不亏本。 预订票数量的限额为常数 m(n) ，每位乘客不按时前来登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。 每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数 b。4 模型建立 先不考虑社会声誉的影响。公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量订票的总人数是 m，m 可能超过 n当有 k 个人误机时，航空公司可能从航班中得到的利润为S=(m-n)g m-kn设有 k 人误机的概率为 ，kPpqpCPkm1,平均利润 s 即 ( s 数学期望值)， 10 )(nmk mnkrgPbmrgPS1 ,00 mkmk PpP0)(nmkkgbrqgS当 n，g，r，p，b 给定后，可以求 m 使 s（m）最大。 10 )()(mk nmkrgPbmrngPS nkmbnkmrngs ,)( 1010 nmknmk rgPrgP 10 0)()(nmk mkrgPrgmbS1000)nmkkkPnPgb 10()(nmk rmgpmS10nmkkPgbrqg 从社会声誉和经济利益两方面考虑 考虑到社会声誉，应该要求被挤掉的乘客不能太多。 而由于被挤掉者的数量是随机的。 用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为衡量标准。 设被挤掉的乘客数超过 j 人的概率为 ，则)(mPj10)(jnmkjPP被挤掉的乘客数超过 j 人等价于 m 位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过 m-n-j 人。所建模型为双目标的优化模型 10)(maxnmkkPgbrpmgS10injnkjPP模型变形航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是航班载客量的 60%，即0.6ng=rnjm-nm-n-j116.010nmkkPgbpmnrS 16.)(max 0nmkkPgbpnrSJ10injmkjPP 116.)(max 10nmkkPgbpmnrSJ10.jmkjPPts105 模型求解计算一架载客量为 300 的飞机所能得到的预期利润，假设 p=0.05 b/g=0.026 模型推广1）酒店酒店接受房间预订主要是建立在诚信之上，因此通常不会再接受有过失信记录m 300 302 304 306 308 310 312 314 316P5 0 0 0 0 0 0.0005 0.0044 0.0232 0.0791J1 0.5833 0.5939 0.6044 0.6150 0.6254 0.6355 0.6445 0.6519 0.6568m 318 320 322 324 326 328 330 332 334P5 0.1931 0.3627 0.5558 0.7295 0.8565 0.9335 0.9730J1 0.6594 0.6600 0.6592 0.6577 0.6558 0.6537 0.6517的顾客的预订。一些酒店在接受预订时会要求顾客交纳押金，以此来确保顾客住房的概率（施行这种方案的一般是低价酒店，因为它们的周转资金往往不多） ，而另一些酒店则可能会给长期订房或是预付房费的顾客打折。这种多价格系统的经营方式是可以考虑的。2）汽车出租公司汽车出租公司一般会保留固定数量的汽车（至少在短期内）以出租给顾客。出租公司可能会为频繁租借汽车的顾客打折，以此来确保公司能有最低量的收入。而一些长期出租品（一次出租一周或一个月）也会标上优惠的价格，因为这给出了一个至少确定了未来的一段日子会有收入的策略。在预测一些车辆的预订可能会被取消的情况下，一间公司有可能充分地留出比它们计