考点1二元一次不等式组与简单的线性规划问题

温馨提示：高考题库为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点 19】二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题2009 年考题1.（2009 安徽高考）若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部034xy 43ykx分，则 的值是（ ）高.考.资.源.网k（A） （B） （C） （D ） 高.考.资.源.网737334【解析】选 A。不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由 得 A（1，1），又 B（0，4），C（0， ）4xy ABC= ，设 与 的S()233ykx4y交点为 D，则由 知 ，2BCDS 1D 。5y147,k2.（2009 安徽高考）不等式组 所表示的平面区域的面积等于（ ）A. B. C. D. 【解析】选 C. 不等式组表示的平面区域如 图所示，由 得交点 A 的坐标为 ，又 B、C 两340xy(1,)点的坐标为（0，4）， （0， ）故 .43A14(-)=23BCS3.（2009 福建高考）在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的平面区域内10xyaa的面积等于 2，则 的值为（ ）aA. -5 B. 1 C. 2 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选 D.如图可得三线封 闭区域即为满足AxDyCOy =kx+ 43B的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0， 1）旋转，当0101 yaxyx的 可 行 域 ， 而与a=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当 a=1 时，面 积是 1；a=2 时，面 积是 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故23选 D.4.（2009 海南宁夏高考）设 x,y 满足 （ ）241,xyzxy则（A）有最小值 2，最大值 3 （B）有最小值 2，无最大值（C）有最大值 3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值【解析】选 B. 画出可行域可知，当 过点（2，0）时， ，但无最大值。zxyminz5. （2009 山东卷高考）设 x，y 满足约束条件 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的0,63yx值是最大值为 12，则 的最小值为( ). 23abA. B. C. D. 462581【解析】选 A. 不等式表示的平面区域如 图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 23ab= ,故选 A.231315()()66ab6.（2009 天津卷高考）设变量 x，y 满足约束条件： .则目标函数 z=2x+3y 的312xy最小值为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【解析】选 B. 画出不等式 表示的可行域，如右图，312xy让目标函数表示直线 在可行域上平移，知在点 B 处目标函数取到最3zxy小值，解方程组 得 ，所以 ，故 选择 B。2)1,2(734minzx 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 8642-2-4-15 -10 -5 5 10 152x-y=3x-y=1x+y=3qx = -2x3 +7hx = 2x-3gx = x+1fx = -x+3AB7.（2009 湖北高考）在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用300 元，可装洗衣机 10 台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元【解析】选 B. 设使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆.则 ,求 Z=400x+300y 最小值.可求出最048210xy优解为（4，2）故 故选 B.min208.（2009 湖南高考）已知 D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 在区域03xy 24xyD 内的弧长为（ ）A B C D42432【解析】选 B. 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分 别是 ，所以圆心角 即1,3为两直线的所成夹角，所以 ，所以|()|2tan1|（ ），而圆的半径是 2，所以弧长是 ，故选 B。49. （2009 陕西高考）若 x，y 满足约束条件 ，目标函数12xy仅在点（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围是（ ）w.w.w2zaxy(A) （ ，2 ） (B) （ ，2 ） 4(C) (D) (4,(,)【解析】选 B. 根据图像判断，目标函数需要与 ， 平行，1xy2由图像知 a 的取值范围是（ ，2 ）.410. （2009 四川高考）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m I1321-2 -1SR31 20 xyGI44B1C1D1F1G1H1【解析】选 A. 设甲、乙种两种产品各需生产 、 吨，可使利润 最大，xyz故本题即已知约束条件 ，求目标函数 的最大值，01832yxyxz35可求出最优解为 ，故 ，故选择 D。42715maxz11.（2009 山东高考）某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_元.【解析】设甲种设备需要生产 天, 乙种设备需要生产 天, 该公司所需租赁费为 元,则 ，xyz203xy甲、乙两种设备生产 A,B 两类产 品的情况为下表所示: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 产品 设备 A 类产品 (件 )(50) B 类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 即:0124,xy610524,xy作出不等式表示的平面区域,当 对应的直线过两直线 的交点(4,5) 时，目 标函03zxy610524xy数 取得最低为 2300 元.203zxy答案：230012.（2009 浙江高考）若实数 满足不等式组 则 的最小值是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,xy2,40,xy3xy【解析】通过画出其线性规划，可知直 线 过点 时，3xZ2,min4答案：413.（2009 北京高考）若实数 满足 则 的最小值为_.,xy2045syx【解析】如图，当 时，4,2为最小值.故应填 .6syx6答案： 614.（2009 北京高考）若实数 满足,xy20,4,5则 的最大值为 .sxy【解析】.s.5 如图，当 时， 为最大值.4,549sxy故应填 9.答案：915.（2009 陕西高考）设 x，y 满足约束条件 ，12xy目标函数 的最小值是 ，最大值是 2z【解析】画出可行域易得最值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：1 1116.（2009 上海高考）已知实数 x、y 满足 23x则目标函数 z=x-2y 的最小值是_. w.w.w.k.s.5【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目 标函数化为 ： ，画直 线12yxz及其平行线，当此直 线经过点 A 时， 的值最大，z 的值最小， A 点坐标为xy2112（3,6），所以，z 的最小值为：3 269。答案：92008 年考题1 （2008 山东高考）设二元一次不等式组 0142,89yx，所表示的平面区域为 M，使函数 ya x(a0，a1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是（ ）（A）1,3 (B)2, 1 (C)2,9 (D) 0,9【解析】选 C.本题考查线性规 划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M， 显然 1a，只需要研究过 (1,9)、 3,8两种情形。 19a且 38即 29.a2 （2008 广东高考）若变量 xy， 满足2405xy， 则 zxy的最大值是（ ）A90 B80 C70 D40【解析】选 C.画出可行域（如图 ），在 (10,2)B点取最大值 max31027z3.（2008 山东高考）设 y， 满足约束条件051xyy， ， 则 2zxy的最大值为 【解析】本小题主要考查线性规划问题。作 图(略)易知可行域 为一个四角形,其四个顶点分别为 (0),， ,， (20)， 35,， 验证知在点 35)， 时取得最大值 11.答案：112007 年考题1(2007 全国) 下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表10xy210xy，示的平面区域内的点是（ ）A B C D()， (1)， (1)， ()，161412108642y=f(x)3,8 2,10 1,9 yyx【解析】选 C. 位于 ，表示的平面区域内的点是(1，1)和（1，1），而点 (1， 1) 到直线0xyx-y+1=0 的距离为 ，故选 C.22 （2007 北京高考）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是（ 20xya ， ， ， a） 或43a 01a 413 01a 43【解析】选 D。不等式组 ，将前三个不等式画出可行域，2xya ， ， ， 三个顶点分别为(0，0)，(1 ，0)，( ， )，第四个3不等式 ，表示的是斜率为1 的直线的下方，xya 当 0a1时，表示的平面区域是一个三角形，当 a 时，表示的平面区域也是一个三角形。343 （2007 天津高考）设变量 满足约束条件,xy1,3,xy则目标函数 的最大值为 ( )4zxA.4 B.11 C.12 D.14【解析】选 B.易判断公共区域为 三角形区域，求三个 顶点坐标为 、 、 ，(0,1)2,3(,0)将 代入得到最大 值为 11.(2,3)4 （2007 辽宁高考）已知变量 满足约束条件 则 的取值范围是（ ）xy， 170xy ， ， ， yxA B965， 965， ，C D3， ， 3，yx23,23 1210()【解析】选 A.画出可行域为一三角形，三顶点为 C（1，3）、B（1，6）和 A（ ）， 表示可行域内的点（x， y）与原点29,5y（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值 6，当（x，y）=（ ）时取最小值 。,5因此 的范围为 ,6.95 （2007 江苏高考）在平面直角坐标系 ，已知平面区域 且 ，则xOy(,)|1,Axy0,xy平面区域 的面积为（ ）(,)|(,BxyAA B C D21124【解析】选 B。根据平面区域 A 得 0x1,0y1,则可得 0x+y1,-1x-y1,画图即得面积为 1.6(2007 安徽高考) 如果点 在平面区域 上，点 在曲线P21yxQ上，那么 的最小值为（ ）1)2(2yxQ（A） （B） （C） （D）51541212【解析】选 A。点 在平面区域 上，画出可行域如图，P02yx点 在圆 上，那么 的最小值为圆心Q1)2(2yxQP(0， 2)到直线 x2y+1=0 的距离减去半径 1，即为 1。 57 （2007 四川高考）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元. 对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，32对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）（A）36 万元 （B）31.2 万元 （C）30.4 万元 （D）24 万元【解析】选 B对甲项目投资 24 万元，对乙项目投资 36 万元，可获最大利润 31.2 万元因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（ 对项目甲的投资不小于 对项目乙投资的 倍）尽可能多地安排资金32投资于乙项目，即对项目甲的投 资等于对项目乙投资的 倍时可获最大利润 这是最优解法也可用线性32-2-1-2 -1 32132102x-y+2=0x-2y+1=0x+y-2=0规划的通法求解选 B注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现8(2007 山东高考)设 D是不等式组21034xy表示的平面区域 ,则 D中的点 (,)Pxy到直线10xy距离的最大值是_.8642-10 -5 5 10【解析】画图确定可行域，从而确定 (1,)到直线直线 xy距离的最大为 42.答案： 42.9 （2007 浙江高考）设 为实数，若 ，m2250()3()5xyxym， ， 则 的取值范围是 m【解析】作图易知,设 若 不成立; 故当 且斜率大于等于 时(5,0)(3,4,)ABC0,043OCk方成立. 4,3答案： 010(2007 陕西高考) 已知实数 x、 y 满足条件 ，则 z=x+2y 的最大值为 .,032,4yx【解析】画出可行域知 Z 在直线 x-2y+4=0 与 3x-y-3=0 的交点（ 2，3）处取得最大值 8.11 （2007 湖北高考）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 xy， 0xy 2xy【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，令 ，显 然当平行直线过点2,2xyzxz时， 取得最小值为 .3,32x+y=3x+2y=10x=4y=1xyxyo323x=3x+y+3=0x+y=0x=-2答案： 3212(2007 湖南高考) 设集合 ， ()|2|,Axyx1， ()|Bxyxb， AB（1） 的取值范围是 ；b（2）若 ，且 的最大值为 9，则 的值是 ()xyB， 2b【解析】（1）由图象可知 的取值范围是 1).，（2）若 令 t= ，则在（0，b）处取得最大值，所以 0+2b=9，所以 b= .,xyAxy 92答案：（1） （2）)， 913(2007 福建高考) 已知实数 满足xy，203y ， ， ，则 的取值范围是_2zxy【解析】画出可行域知 z=2x-y 在（-