线性变换的矩阵表示式

5 线性变换的矩阵表示式上节例 10 中，关系式()TxA ()nxR简单明了地表示出 n中的一个线性变换. 我们自然希望 nR中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到nAee,1（ n,1 为单位坐标向量），即ii2 ，可见如果线性变换 T有关系式 Ax，那么矩阵 A应以 ieT为列向量. 反之，如果一贯个线性变换 使 nieTi ,21，那么 必有关系式 112(),()n nTxexexe 2)nT11(),(,nexxA 总之， nR中任何线性变换 ，都能用关系式 nRxAT表示，其中 1(),()nATe .把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义 7 设 是线性空间 nV中的线性变换，在 nV中取定一个基n,1，如果这个基在变换 T下的象（用这个基线性表示）为11212 212() ,() ,nnnnTaa 记 TT,1 ，上式可表示为11(,)(,)nnA ， （5）其中11nnaA ，那么， A就称为线性变换 T在基 n,1 下的矩阵 .显然，矩阵 由基的象 唯一确定.如果给出一个矩阵 A作为线性变换 T在基 n,1 下的矩阵，也就是给出了这个基在变换 T下的象，那么根据变换 保持线性关系的特性，我们来推导变换 必须满足的关系式：nV中的任意元素记为 inix1，有11()()nniiiTxT21(),()nx 121(,)nAx ，即 112211(,)(,)nnxxTA （6）这个关系式唯一地确定一个变换 T，可以验证所确定的变换 T是以 A为矩阵的线性变换.总之。以 A为矩阵的线性变换 T由关系式（6）唯一确定.定义 7 和上面一段讨论表明，在 nV中取定一个基以后，由线性变换 T可唯一确定一个矩阵 A，由一个矩阵 A也可唯一地确定一个线性变换 ，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.由关系式（6），可见 与 T在基 n,1 下的坐标分别为1122,(),nnxxA即按坐标表示，有 T .例 11 在 3xP中，取基321 4,1,pp求微分运算 D的矩阵 .解 21123431123400,1,pxpD所以 在这组基下的矩阵为 0321A.例 12 在 3R中， T表示将向量投影到 xOy平面的线性变换，即 ()Txiyjzkxiyj ，（1） 取基为 ,，求 T的矩阵；（2） 取基为 kjii,，求 T的矩阵 .解 （1） ,0,Tijk即 10(,)(,)Tijkij（2） ,Tiji即 10,T由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，一般地，我们有定理 3 设线性空间 nV中取定两个基: nn,11 ,由基n,1到基 n,1 的过度矩阵为 P， 中的线性变换 T在这两个基下的矩阵依次为 A和 B，那么 1pA.证 按定理的假设，有11(,)(,),nn 可逆；及 11(,)(,)nnTA ，B ，于是 111(,)(,)(,)nnnTp ,A 11()np，因为 n,1 线性无关，所以 1BA证毕这定理表明 与 相似，且两个基之间的过度矩阵 P就是相似变换矩阵.例 13 设 2V中的线性变换 T在基 21,下的矩阵为12aA，求 T在基 21,下的矩阵.解 : 21201(,)(,),即 01P，求得 10,P于是 T在基 21,下的矩阵为 122121000aaaB定义 8 线性变换 T的象空间 nV的维数，称为线性