计算机销售的最高利润

计算机销售的最高利润姓名 学号 班级袁少伟 20098511 袁少伟摘 要随着科学的发展，社会越来越进步，计算机已经成为人们生活中不可缺少的一种工具，在这种情况下，计算机制造厂商也越来越多，为了获得高利润，这就需要生产商从各方面着手，以最少的成本获得最大的利润。本题就是针对一家计算机制造厂商通过调整计算机的批发价格和广告预算费用来获得最大利润的问题；题中批发价格和广告预算费用是两个相对独立有限制的变量，所以该题我们采用有约束的多变量最优化模型求解。问题一是求使利润最高是的销售价格和广告预算。通过分析，销售价格和广告预算是两个相对独立的变量，所以我们利用有约束的优化模型建立模型，拉格朗日乘子法求解，结果为：要获得最大利润，广告费用增加 50000 美元/月，计算机批发价格 15 美元/台，获得最大利润 2661250 美元。问题二是讨论决策变量（批发价格和广告预算费用）关于价格弹性系数（数据 50%）的灵敏度。模型中的参数价格弹性系数是通过估计、预测的，需考虑其灵敏性，在分析时将此参数设为变量，进行计算。本题中我们用微分方程对价格弹性系数作为特定参数进行灵敏性分析，结果为：如果价格弹性系数在 50%的基础上提升 1%，计算机批发价格就应当在 935 美元的基础上降低 7.33%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。问题三是讨论决策变量关于每增加 10000 美元/月的广告费，多销售的计算机 200 台这一数据的灵敏性。方法同样是用微分学进行灵敏性分析，结果为：当每增加 10000 美元/月广告费时可多销售 200 台基础上增加 1%，计算机批发价格应在 935 美元基础上降低0.67%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。问题四是分析说明拉格朗日乘子数（也就是影子价格）的实际意义，再利用其说服公司最高管理层提高广告费用的最高限额。关键词：有约束的多变量最优化模型；灵敏性分析；拉格朗日乘子；影子价格；一、问题提出一家个人计算机制造厂商现在每个月售出 10000 台基本机型的计算机。生产成本为700 美元/台。批发价为 950 美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位试验的市场将价格降低了 100 美元，其结果是销售量提高了 50%。公司在全国为其产品做广告的费用为每个月 50000 美元。广告代理商宣称若将广告预算每个月提高 10000 美元，会使每个月的销售额增加 200 台。管理部门同意考虑提高广告预算到最高不超过 100000 美元/月。（1）利用有约束最优化模型和拉格朗日乘子发求使利润达到最高的价格和广告预算。（2）讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据 50%）的灵敏性。（3）讨论据决策变量关于广告商估计的每增加 10000 美元/月的广告费，可多售 200台这一数据的灵敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来说服最高管理层提高广告费用的最高限额？二、基本假设假设 1： 批发价格降低了 100 美元，其结果是销售量提高了 50%。假设 2：将广告预算每个月提高 10000 美元，会使每个月的销售额增加 200 台。三、符号说明符号 意义 单位 备注s 计算机的销售数量 台y 每个月提高的广告预算量 美元 50000x 计算机市场价格降低量 美元z 计算机市场销售价格 美元C 生产计算机的总成本 美元R 计算机销售的总收入 美元P 计算机销售的净利润 美元m 计算机的初始销售数量 台 常量n 计算机的初始销售价格 美元 常量d 计算机的初始广告费 美元 常量D 每月广告预算费的最大值 美元 常量a 价格的弹性系数 常量b 广告预算增加每 10000 美元，销售数量的增加量 台 常量表格 1四、问题分析计算机的销售价格为： （此处 n=950 美元）计算机的销售数量为：（此处 m=10000 台，a=50%,b=200 台）因此，计算机总的销售收入为：生产总成本为：(此处 d=50000 美元)生产净利润为：P=R-C因此，原问题转化为求 0x250 美元和 0y50000 美元，使得 P 取得最大值五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析由于计算机的销售利润受两个独立变量销售价格和广告费用的共同影响，这是一个多变量有约束的条件求解极值的问题，我们采用采用拉格朗日乘子法求解。5.1.2 问题一模型的建立由上述分析与基本假设，原问题的数学模型如下：x.y 其中 a=0.55.1.3 问题一模型的求解求解方法-Lagrange 乘子法这是一个带有多个约束条件的多变量最优化问题，可以使用 Lagrange 乘子法求解。第 1 步：确定目标函数 P(x,y)的可行域 S目标函数 P(x,y)的可行域 S（见图 1）为：图 1第 2 步：计算在可行域 S 的内部， ，因此，最大值一定在边界上达到。第 3 步：计算边界上的极大值由于可行域由 4 条直线围成，因此需要分别计算 P(x,y)在每一条边界线段上的极大值，下面分别计算， 其 Lagrange 乘子方程为 ，即约束条件为：由于要获得利润，销售价格必须大于成本价，即 所以所得结果如下表格 2 所示：x y P0 124800 4 294920024.96 0 3.5 2481249.9215 50000 3.7 2661250表格 2由上表可知，当 x=0 时，y=12480050000，不符合题意，所以，当 x=15，y=50000 时，可获得最大利润 2661250 美元。5.1.4 问题一结果的分析及验证有上面计算可知，这家计算机制造商将销售价格降低 15 美元，每月的广告预算费用提高 50000 美元，可获得最大利润 2661250 美元。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析由于在模型中我们假设降低 100 美元的价格弹性系数 a=0.5，所以应该研究它的微小变化对模型结果的影响。而模型主要求的是销售价格和广告预算费，所以我们只考虑 a 的微小变化对这两个的影响。5.2.2 问题二模型的建立在模型中我们假设 a=0.5，将其带入前面的公式中，我们得到：5.2.3 问题二模型的求解令 P 关于 x，y 的偏导数为零，则：约束方程为： y=50000联立求解得计算机批发价格降低量 x 关于价格弹性系数 n 的曲线图如图 2 所示：图 2可以用相对改变辆衡量结果对参数的敏感程度，x 对 a 的敏感度记作 S（x，a），定义为当 a=0.5，x=15 时，5.2.4 问题二结果的分析及验证如果价格弹性系数在 50%的基础上提升 1%，计算机批发价格就应当在 935 美元的基础上降低 7.33%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三的分析由于在模型中我们假设提高 10000 美元/月，销售量增加的量 b 是由估算得到的，所以应该研究它的微小变化对模型结果的影响，讨论决策变量（价格和广告费）关于 m 这一数据的灵敏性。5.3.2 问题三模型的建立在模型中我们假设 b=200 台，将其带入前面的公式中，我们得到：5.3.3 问题三模型的求解令 P 关于 x，y 的偏导数为零，则：约束方程为： y=50000联立求解得 计算机批发价格降低量 x 关于台数 m 的曲线图如图 3 所示：图 3同理，可以用相对改变辆衡量结果对参数的敏感程度，x 对 a 的敏感度记作 S（x，b），定义为当 x=15，b=200 时，5.3.4 问题三分析和验证当每增加 10000 美元/月广告费时可多销售 200 台基础上增加 1%，计算机批发价格应在 935 美元基础上降低 0.67%，而价格弹性系数如在一个微小范围内进行波动将对广告预算费用的提高无影响。5.4 问题四模型的建立与求解在问题一中求出来的乘子的值为 ；其意义为广告费用的限额每增加 1 个单位，则利润增加额为 万美元，这就是影子价格。它代表了对这个公司来讲某种资源（广告费用）的价值。如果公司有意提高自己的广告费用（这是最关键的约束），它会愿意付出每单位不超过 3.7 美元的价格来增加自己的广告费用。六、模型的评价与推广6 模型的评价本题我们利用有约束最优化模型求解，前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性，决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据 50%）的灵敏性，以及决策变量关于广告商估计的每增加 10000 美元/月的广告费，可多售 200 台这一数据的灵敏性都做了灵敏性分析，结果不稳定因素对它们的影响都很小，可以忽略不计。前面我们已经利用灵敏性分析评估了模型对不确定性数据的稳定性；现在我们来看看其他类型的假设。它们可能来自于数学处理的方便和简化的目的，在回答问题之后，应该考察这些假设是否过于特殊，以致使结果无效。 在前面的假设中，极为重要的假设就是：计算机的销售数量是销售价格降低量的线性函数、计算机的