课标教材小学数学六年级下册《鸽巢问题》教学实录

人教版课标教材小学数学六年级下册鸽巢问题教学设计【教学内容】人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第 68-70页。【教学目标】1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题。2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维能力。3.使学生感受数学的魅力，培养学习的兴趣。【教学重点】 经历抽屉原理的探究过程，初步了解抽屉原理，会用抽屉原理解释生活中的简单问题。【教学难点】理解抽屉原理，并对一些简单的实际问题加以模型化。 【教具】磁铁球【学具】小圆片【教学过程】一、创设情境，生成问题。同学们，喜欢玩游戏吗？（喜欢）那好，上课之前我们就先来玩个抢板凳的小游戏，愿意参加的同学请举手。5名同学，4个凳子，我猜至少2人坐在同一个凳子上，你相信吗？我们来验证看看。下面我宣布游戏规则：我喊开始，大家击掌，你们开始围着板凳同一个方向转起来，我喊停，你们要抢坐在板凳上，听明白游戏规则了吗？好，开始。停。同学们，经过验证，至少有2人坐在同一个板凳上。这个结论是。同学们，其实游戏很好玩，问题也很简单，对吗？不过这类问题，蕴含了一个有趣的数学原理，叫抽屉原理。今天我们就一起来研究它。（设计意图：这样设计使学生在生动活泼的数学活动中主动参与，主动思考，使学生的数学情感得到充分的发展。从而达到智与情的完美结合，全面提高学生的整体素质。）二、探索交流，解决问题。1.出示课件：请大家看大屏幕。为了方便研究，我们先来研究数量较小的同类问题。师：4 个小球放进 3 个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里面至少放 2 个小球。这句话里哪个词语比较难理解？这里总有是什么意思？（总会有、一定有、肯定有。）至少是什么意思？（最少、不低于、不少于、最底线。）至少 2 个是什么意思？（最少有 2 个，不少于 2 个，包括 2 个或 2个以上）现在谁能说说你对这句话理解。生：不管怎么放，一定有一个抽屉放了 2 个或 2 个以上的小球。师：还可以怎么理解？谁还想补充？师：的确这句话的意思就是说：任意摆放，一定有一个抽屉放了 2个或 2 个以上的小球。师：认为这个结论正确吗？为什么呢？我们还是需要（验证）。2.枚举法，请大家看大屏幕：4 个小球放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放 2 个小球。验证导航1、有几种放法？可以摆学具、画草图或分解数。（原片代替小球，方框代替抽屉）2、圈出符合要求的抽屉。3、根据记录结果，你的猜测对吗？4、先独立完成，再小组交流。（2）、全班交流。（明确有 4 种摆法）（横着总有，竖着最少）2 生摆小磁铁。还有不同摆法吗？看来只有这 4 种情况。请这一小组的两位同学来汇报他们的学习成果，大家认真倾听，可以质疑，也可以补充。师：请给大家说说你们的想法。（找到符合要求的抽屉）生：大家看，这种摆法中符合要求的抽屉是有 2 个小球的这个抽屉。这种摆法中符合要求的是 3 个小球的这个抽屉。所以根据我们的验证，4 个小球放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放 2 个小球。这个结论是正确的。问问大家：你们还有问题吗？还要补充吗？（评：提出一个问题，比解决问题更重要）师：感谢两位小老师这么有条理地精彩汇报，请回。同学们请看，通过这两位同学的汇报，我们看到每一种摆法中，都有符合要求的抽屉。都是 2 个或 2 个以上的小球。所以验证了：不管怎么放，总有一个抽屉至少放 2 个小球。这个结论是正确的。请（ 提前收着 ）展示他的学习成果。（2）同学们，我是用了画草图的方法来验证的，请看，我用圆代替小球，用方框代替抽屉，有这样 4 种放法，（安排学生）圈出每种摆法里符合要求的抽屉，分别是 2、3、4 个，所以通过画图验证，不管怎么放，总有一个抽屉至少有 2 个小球。这个结论是正确的。师：嗯，这种画草图的方法，数形结合，便于研究。谢谢你。（3）生：同学们，我是用了分解数字的方法来验证的，请看，共有 4种分法。4 0 0 3 1 0 2 1 1 2 2 0我把每种分法中不小于 2 的数，都圈出来，分别是 2 3 4 证明了不管怎么放，总有一个抽屉至少有 2 个小球。这个结论是正确的。师：真是个聪明的孩子，用数字帮助解决问题，简洁，明了。值得学习。师：大家请看，通过刚才的研究我们发现，画草图和分解数其实和摆学具的过程是一致的，只是用了数形结合的方法，更便于研究。（3）小结：指着板书。以上我们罗列了所有放法，经过推理，得出了结论，这种思考方法叫做枚举法。（设计意图：在教学过程中，充分利用学具操作。如把 4 个小球放入 3 个抽屉，让学生用原片代替小球，用方框代替抽屉，都是让学生自己操作，当然还有画草图，分解数等操作，这都为学生提供了主动参与的机会。让学生想一想，圈一圈，把抽象的数学知识同实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。）3.假设法师：如果是 100 个小球放进 99 个抽屉，用枚举法，你觉得怎么样？师：看来我们需要寻找。简便方法了。（真是个会学习的孩子）继续以 4 个小球放进 3 个抽屉研究可以吗？师：除了像这样把所有的情况都列举出来，哪种方法能让我们快速地验证结论。预设 1：（假如每个抽屉先放一个小球，余下的一个，任意放进一个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放了 2 个小球。）（真是个爱动脑筋的孩子）预设 2：哪种放法最能说明不管怎么放，总有一个抽屉至少有 2 个小球。生 2 1 1 的情况。师：说慢点，我给你当助手，摆给大家看看。师：为什么要在每个抽屉里都放一个小球呢？生：分得均匀能做到最少。师：这种分法就是我们学过的： 平均分。师：为什么要平均分呢？生：因为平均分才能让每个抽屉的小球个数变得少，以保证得到至少数。（思路清晰，有理有据，推理能力真强。）师：（大家看这种方法，就是枚举法中的哪种方法？）这样只能证明，总有一个抽屉肯定有 2 个小球，怎么能证明至少有 2 个呢？生：这样分已经是每个抽屉中的小球尽可能少了，如果这样符合要求，那另外的情况，肯定也符合要求了。师小结：同学们看，这种尽量平均分的放法，没有空着的抽屉，如果这样符合要求，那么另外的情况，肯定也符合要求了。课件演示：师：谁再看着大屏幕说说刚才的推理过程。刚才用了假设平均分的方法，每个抽屉先放入 1 个小球，余下的1 个小球，任意放入一个抽屉，都会出现总有一个抽屉有 2 个小球。这种假设平均进行推理的思考过程叫做假设法。能尝试着用算式是表达我们平均分的口头推理过程吗？4311 112这里的 1 都表示是吗？平均分的和余下的一个。小结：刚才又用除法算式来表示了假设平均分的过程，你感觉怎么样？看来用除法算式来验证结论就更简便了小结：刚才我们先假设每个抽屉里先放一个小球，余下的再放进任意一个抽屉，先经过口头推理验证结论，然后又把口头推理的过程抽象出了算式。其实它们也是同一种思考方法叫假设法。我们还发现假设法是枚举法的一个特例。4.方法比较师：下面我们换个数据，继续用枚举法和假设法来研究行吗？我是用假设法来验证的。能先说说你是怎么想的吗？再列出算式行吗？5 个小球放进 4 个抽屉，总有一个抽屉至少放进了（ ）个小球？7 个小球放进 6 个抽屉，总有一个抽屉至少放进了（ ）个小球？100 个小球放进 99 个抽屉，总有一个抽屉至少放进了（ ）个小球？大家都是用哪种方法来找至少数的？为什么都用了假设平均分的方法，而不是用枚举法呢？枚举法：直观，大数时不合适，假设法：抽象，大数时合适。用算式进行推理，简单明了。5.概况规律，构建模型引导学生完成下面表格：6 个小球放进 5 个抽屉。说算式。想法。口头推理。师：这一题，请同学们伸手指表示至少数。（2 3）请 3 个小球代表队发言。至少数加了 1，请 2 个小球代表队发言，你们是 11。咦，老师糊涂了，究竟是 2 个还是 3 个呢？生：假设先把 7 个小球进行平均分，剩下的 2 个小球放入同一个抽屉。生：剩下的小球放进两个不同的抽屉。师：大家还有问题吗？按 2 个小球代表队的意思是：先把小球平均分，然后把余下的 2 小球再尽量平均分在两个抽屉，从而找到至少数，是 11。这里余下的小球再尽量平均分，是解决此类问题的关键。（1 加 1 还是 2）解决完表格中的问题后，继续引导学生进行联想：一直到什么时候至少数都是 3？什么时候变成 4？追问：这里面是不是有什么规律？先横着观察至少数是怎样求出来的，再竖着观察，看能发现什么规律？（）小结：把小球放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放商加 1 个；如果正好分完，那么至少数就等于商。（把小球换成别的物体行吗）也是可以的。课件：把物体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放商+1 个物体；如果正好分完，那么至少数就等于商。同时说明：抽屉原理由 19 世纪的德国数学家狄里克雷最早提出，因此又叫做狄里克雷原理。同学们，老师真佩服你们，数学家研究了很久很久的问题，大家这么快就总结出了规律。真了不起。集体的力量大于一切。真为你们高兴。掌声送给自己。三、巩固应用，内化提高。1.鸽巢问题。出示鸽笼问题，让学生解释，并说说这里的鸽子和笼子各相当于什么？ 教师说明：抽屉原理也被人们形象的称为鸽巢原理。2.找身边的抽屉原理。例如文具盒原理、口袋原理等。教师指出：抽屉原理在生活中随处可见，它其实就是解决该类问题的一种方法，一个模型，在解决问题时关键是要看清什么是抽屉，什么是待分物体。（设计意图：通过直观例子，借助实际操作，引导学生探究“鸽巢问题”，初步经历“数学证明”过程，并有意识地培养学生的“建模思想”，让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好地理解鸽巢问题）3.解释应用。让学生用抽屉原理解释课前交流的问题：为什么 26 位同学中至少有 7 人在同一个季节里出生；为什么 26 位同学中至少有 3 人在同一个月出生。引导思考：把什么看作抽屉，把什么看作待分的物体？4.揭秘抢凳子