统计学课后答案第七八章

16.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为 盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的 9 个瓶子1.0形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过 0.3 盎司的概率。解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从 的正态分布，由正态分2,Nn布，标准化得到标准正态分布：z= ，因此，样本均值不超过总体均值的xn0,1概率 P 为：= =0.3x.3xP.0.31919xPn= =2 -1，查标准正态分布表得 =0.8159.9.z.9.因此， =0.631803x6.2 在练习题 6.1 中，我们希望样本均值与总体均值 的偏差在 0.3 盎司之内的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？解： = =0.3Px0.3xPn.0.311xPnn= 2(.)1.95n(.).975036428436.3 ， ， 表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6 的一个样本，1Z2Z试确定常数 b，使得6210.95iP解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：设 Z1，Z 2，Z n 是来自总体 N(0,1)的样本，则统计量221服从自由度为 n 的 2 分布，记为 2 2（n）因此，令 ，则 ，那么由概率 ，可知：6221iZ6221iZ:6210.95iPZbb= ，查概率表得：b=12.59210.9526.4 在习题 6.1 中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差 的标准正态分布。假定21我们计划随机抽取 10 个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到 10 个观测值，用这10 个观测值我们可以求出样本方差 ，确定一个合适的范围使得有221()niiSY较大的概率保证 S2 落入其中是有用的，试求 b1，b 2，使得21()0.9pb解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：2()(1)nsn此处，n=10， ，所以统计量2222(1)(0)9(1)ssn根据卡方分布的可知： 22110.9PbSPbS又因为： 22191nn 因此： 222119910.9PbSPSn2229bn20.950.5.9S则： 2210.950.5,bb220.950.519,bb查概率表： =3.325， =19.919，则. .0=0.369， =1.8820.951b2.59b37.1 从一个标准差为 5 的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为 40 的样本，样本均值为 25。（1）样本均值的抽样标准差等于多少xn0.794（2）在 95%的置信水平下，估计误差是多少？/0.251.6.54xz7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。(1)假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差。=2.143xn1549(2)在 95的置信水平下，求边际误差。，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度 t=xxt2z因此， =1.962.143=4.2xxt2xz0.25x(3)如果样本均值为 120 元，求总体均值 的 95的置信区间。置信区间为：= =（115.8，124.2）,xx14.,.7.4 从总体中抽取一个 n=100 的简单随机样本,得到 =81，s=12。x要求：大样本，样本均值服从正态分布： 或2,Nn:2,sn:置信区间为： ， = =1.222,ssxzxzn 10(1)构建 的 90的置信区间。= =1.645，置信区间为： =（79.03，82.97）2z0.581.645.,8.645.2(2)构建 的 95的置信区间。= =1.96，置信区间为： =（78.65，83.35）20.5 .92,1.94(3)构建 的 99的置信区间。= =2.576，置信区间为：2z0.5=（77.91，84.09）8176,812.76.7.5 利用下面信息，构造总体均值的置信区间。（1） 53.0195%xn/20.25.866zzn（2） 19.3.975198xsn/20.1286.64szzn（3） .49.7432190%xsn/20.593.18szzn7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。（1）总体服从正态分布，且已知 05195xn/20.25898923.1xzzn（2）总体不服从正态分布，且已知 053195%xn/20.25898916.4723xzzn（3）总体不服从正态分布， 未知， 053190xsn/20.5898913.3sxzzn（4）总体服从正态分布， 未知， 05319%xn/20.58989217.633sxzzn7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7 500 名学生中采取重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据 (单位：小时) ：53.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.24.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.32.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.54.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90，95和 99。解：（1）样本均值 =3.32，样本标准差 s=1.61；x（2）抽样平均误差：重复抽样： = =1.61/6=0.268xns不重复抽样： = =x1N 1sn.6750361=0.268 =0.2680.998=0.2670.95（3）置信水平下的概率度：=0.9，t= = =1.64512z0.5=0.95，t= = =1.96.=0.99，t= = =2.5762z0.5（4）边际误差（极限误差）：2xxxt=0.9， =12xtz0.5x重复抽样： = =1.6450.268=0.441x.不重复抽样： = =1.6450.267=0.4392xz0.5x=0.95， =1xt.2z重复抽样： = =1.960.268=0.5252xz0.5x不重复抽样： = =1.960.267=0.523x.2z=0.99， =1xt0.5x重复抽样： = =2.5760.268=0.692xz.不重复抽样： = =2.5760.267=0.688x0.5xz6（5）置信区间： ,xx=0.9，1重复抽样： = =（2.88，3.76）,xx3.2041,.34不重复抽样： = =（2.88，3.76）920.=0.95， 1重复抽样： = =（2.79，3.85）,xx3.205,.35不重复抽样： = =（2.80，3.84）4120.4=0.99， 1重复抽样： = =（2.63，4.01）,xx3.2069,.3不重复抽样： = =（2.63，4.01）820.687.8 从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为 8 的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。求总体均值的 95%的置信区间。解： 210,3.461xs20.25.47102.896tnt7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的 95的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量xtsn1t:均值=9.375，样本标准差 s=4.11置信区间： 221,1ssxtxtn =0.95，n=16， = =2.132t0.25t221,1ssxtnxtn 7= =（7.18，11.57）4.14.19.3752,9375266 7.10 从一批零件中随机抽取 36 个，测得其平均长度为 149.5，标准差为 1.93（1）试确定该种零件平均长度的 95%的置信区间20.251.931494.50636sxtnt或者 20.25.3zz711 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量 (单位：g) 如下：每包重量（g） 包数969898100100102102104104106233474合计 50已知食品包重量服从正态分布，要求： (1)确定该种食品平均重量的 95的置信区间。 解：大样本，总体方差未知，用 z 统计量xzsn0,1N:样本均值=101.4，样本标准差 s=1.829置信区间： 22,ssxzxzn=0.95， = =1.96120.522,ssxzxzn= =（100.89，101.91）1.891.82910.46,0.46550(2)如果规定食品重量低于 l00g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95的置信区间。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用 z 统计量81pzn0,1N:样本比率=（50-5）/50=0.9置信区间： 2211,ppzznn =0.95， = =1.96120.52211,ppzznn = =（0.8168，0.9832）0.9.0.96,.655 713 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18 个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时) ：63218171220117902182516152916假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用 t 统计量xtsn1t:均值=13.56，样本标准差 s=7.801置信区间： 221,1ssxtxtn =0.90，n=18， = =1.73692t0.57t221,1ssxtnxtn = =（10.36，16.75）7.807.8013.569,3.569715 在一项家电市场调查中随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23。求总体比例的置信区间，置信水平分9别为 90%和 95%。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用 z 统计量1pzn0,1N:样本比率=0.23置信区间： 2211,ppzznn =0.90， = =1.645120.52211,ppzznn = 0.3. 0.231.0.3645,03.645 =（0.1811，0.2789）=0.95， = =1.9612z0.52211,ppznn = =（0.1717，0.20.3.0.231.0.396,03.96 883）7.16 一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款额的标准差为 1000 元，要求估计误差在 200 元一位，置信水平为 99%，则应选取多大的样本？解：22/0.516.87anzE7.17 计算下列条件下所需要的样本量（1） .2.49%2/ 0.2()6530.71anzzE（2） .1未 知1022/ 0.52(1).60.79anzzE4（3） .1%22/ 0.52()84azz720 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间 (单位：分钟) 如下：方式 1 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7方式 2 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9.3 10要求：(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的 95的置信区间。解：估计统计量 211nSn经计算得样本标准差 =3.3182s置信区间： 22211nSnS=0.95，n=10， = =19.02， = =2.7220.5921n20.975= =（0.1075，0.7574）212,nSn7.,1.因此，标准差的置信区间为（0.3279，0.8703）(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的 95的置信区间。解：估计统计量 211nSn经计算得样本标准差 =0.227221s置信区间： 22211nSnS11=0.95，n=10， = =19.02， = =2.7121n20.5921n20.975= =（1.57，11.06）212,nS38.,.7因此，标准差的置信区间为（1.25，3.33）(3)根据(1)和(2) 的结果，你认为哪种排队方式更好?第一种方式好，标准差小！7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示：来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本样本均值为 25 样本均值为 23样本方差为 16 样本方差为 20120,12n-95%（ ） 设 求 的 的 置 信 区 间12/12().6021.76Sxzn:120,12n-95（ ） 设 ,求 的 的 置 信 区 间 221()()8pS212/1()(8).1093.62.98pSxtn:2120,12-5%（ 3） 设 ,求 的 的 置 信 区 间 212212()3.67.80499Snv2112/()(.10823.64.039Sxtvn:21210, 12-95%（ 4） 设 求 的 的 置 信 区 间=18.714292 21()()37pSn212/1()(8).0482.713.420pSxtn:1221210,12n-95%（ 5） 设 求 的 的 置 信 区 间 212212().6.01Svn112/ 2()(.07392.63.40Sxtvn:723 下表是由 4 对观察值组成的随机样本。配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本1234251080765(1)计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算 和 。ds=1.75， =2.62996dds(2)设 分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造 的 95的置信区间。12和 12d解：小样本，配对样本，总体方差未知，用 t 统计量ddtsn1t:均值=1.75，样本标准差 s=2.62996置信区间： 221,1ddssdtntn =0.95，n=4， = =3.1822t0.253t221,1ddssdtntn = =（-2.43，5.93）.69.629.7538,.7538447.24 一家人才测评机构对随机抽取的 10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，13得到的自信心测试分数如下：人员编号 方法 1 方法 21 78 712 63 443 72 614 89 845 91 746 49 517 68 558 76 609 85 7710 55 39构建两种方法平均自信心的分之差的 95%的置信区间解： =11， =6.531973dds20.251(9)6.3174.629tnt:725 从两个总体中各抽取一个 250 的独立随机样本，来自总体 1 的样本比例为12n40，来自总体 2 的样本比例为 30。要求：1pp(1)构造 的 90的置信区间。12(2)构造 的 95的置信区间。解：总体比率差的估计大样本，总体方差未知，用 z 统计量121212pzpn0,1N:样本比率 p1=0.4，p2=0.3置信区间： 12 1212 12 1,pppppz znn =0.90， = =1.6452z0.512 1212 12 1,ppppp znn 14= 0.41.031.0.41.031.0.165,1.65225225 =（3.02%，16.98%）=0.95， = =1.962z0.512 1212 12 1,ppppp znn = 0.41.031.0.41.031196,.9625252525 =（1.68%，18.32%）7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(单位：g)的数据：机器 1 机器 23.45 3.22 3.9 3.22 3.28 3.353.2 2.98 3.7 3.38 3.19 3.33.22 3.75 3.28 3.3 3.2 3.053.5 3.38 3.35 3.3 3.29 3.332.95 3.45 3.2 3.34 3.35 3.273.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.283.2 3.18 3.25 3.3 3.34 3.25要求：构造两个总体方差比 / 的 95的置信区间。21解：统计量： 212s12,Fn:置信区间： 22112222,ssFnFn =0.058， =0.00621s2sn1=n2=2115=0.95， = =2.4645，1212,Fn0.25,F=122,21,n= = =0.4058122,1Fn0.975,F0.25,=（4.05，24.6）211222,ssnn 727 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2。如果要求 95的置信区间，若要求边际误差不超过 4，应抽取多大的样本?解： 21pzn2pz=0.95， = =1.96120.5z= =47.06，取 n=48 或者 50。2pzn2196.0984728 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为 120 元，现要求以 95的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过 20 元，应抽取多少个顾客作为样本?解： ， =0.95， = =1.96，2xzn12z0.5=138.3，取 n=139 或者 140，或者 150。2x2.960729 假定两个总体的标准差分别为： ， ，若要求误差范围不超过 5，相1215应的置信水平为 95，假定 ，估计两个总体均值之差 时所需的样本量为12n12多大?16解：n1=n2= ， =0.95， = =1.96，122xzn2z0.5n1=n2= = =56.7，取 n=58，或者 60。122x 2.9615730 假定 ，边际误差 E005，相应的置信水平为 95，估计两个总体比例之12n差 时所需的样本量为多大?12解：n1=n2= ， =0.95， = =1.96，取122pzn12z0.5p1=p2=0.5，n1=n2= = =768.3，取122 2pz 22.96.05n=769，或者 780 或 800。8.1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布 N（4.55，0.108 2）,现在测定了 9 炉铁水，其平均含碳量为 4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为 4.55（显著性水平为 0.05）？解：H 0：=4.55；H 1： 4.55已知： 4.484 0.108 ，n=9x检验统计量： -1.8330zsn4.8.519当 0.05，查表得 1.96。因为 z- ，故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁/2/2z水平平均含碳量为 4.55。82 一种元件，要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36 件，测得其平均寿命为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布， 60 小时，试在显著性水平 005 下确定这批元件是否合格。解：H 0：700 ；H 1： 700已知： 680 60x由于 n=3630，大样本，因此检验统计量： -20zn6873当 0.05，查表得 1.645。因为 z- ，故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批产17品不合格。8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产 250kg，其标准差为 30kg。现用一种化肥进行试验，从 25 个小区进行抽样，其平均产量为 270kg。这种化肥是否使小麦明显增产（0.05）？解：H 0：250 ；H 1： 0.05已知： 270 30， n=25x 3.330zn2753当 0.05，查表得 1.96。因为 z ，故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显增/2/2z长。84 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是 100 千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得 9 包重量(单位：千克)如下：993 987 1005 1012 983 997 995 1021 1005已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常(a005)?解：H 0：100 ；H 1： 100经计算得： 99.9778 S1.21221x检验统计量： -0.0550tsn9.78012当 0.05，自由度 n19 时，查表得 2.262。因为 ，样本统计量29tt2落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。85 某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于 250 克。今从一批该食品中任意抽取 50袋，发现有 6 袋低于 250 克。若规定不符合标准的比例超过 5就不得出厂，问该批食品能否出厂(a005)?解：H 0： 0.05；H 1： 0.05已知： p6/50=0.12 检验统计量： 2.27101Zn.1205.当 0.05，查表得 1.645。因为 ，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，zz接受备择假设，说明该批食品不能出厂。8.6 某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平25000km。对一个由 15 个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准差分别为 27000km 和 5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（=0.05）？18解：H 0：25000 ；H 1： 25000经计算得： 27000 S5000x检验统计量： 1.5490tsn27501当 0.05，自由度 n114 时，查表得 1.76131。因为 t ，样本统计量落在4tt拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。87 某种电子元件的寿命 x(单位：小时) 服从正态分布。现测得 16 只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264222 362 168 250 149 260 485 170问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于 225 小时(a005)?解：H 0：225 ；H 1： 225经计算知： 241.5 s98.726x检验统计量： 0.6690tsn24.598761当 0.05，自由度 n115 时，查表得 1.753。因为 t ，样本统计量落在接5t受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显著大于 225 小时。8.8 随机抽取 9 个单位，测得结果分别为为：85 59 66 81 35 57 55 63 66以 0.05 的显著性水平对下述假设进行检验：H 0： 2100；H 1： 2100解：22 2.50(1)85.71.6(8).73nS所以拒绝原假设，即方差显著大于 1008.9 A，B 两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且 ，22657AB从 A 厂生产的材料中随机抽取 81 个样本，测得 ；从 B 长生产的107/Axkgcm材料中随机抽取 64 个样品，测得 。根据以上调查结果，能否认为210/BxkgcA，B 两厂生产的材料平均抗压强度相同（=0.05 ）？解： 01:0:BABHH所以不能认为 A，B 两厂生0.252275.871966384ABxz zn产的材料平均抗压强度相同810 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录各19自的装配时间(单位：分钟)如下：甲方法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26乙方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显著不同 (a005)?解：建立假设H0： 1 2=0 H1： 1 20总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量12pxtsn根据样本数据计算，得12， =12， 31.75， 3.19446， 28.6667， =2.46183。1n21x1s2x2s221pns 8.1326220.9610.762.64812pxtsn0.05 时，临界点为 2.074，此题中 ，故拒绝21tn0.25t t2原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异。811 调查了 339 名 50 岁以上的人，其中 205 名吸烟者中有 43 个患慢性气管炎，在 134名不吸烟者中有 13 人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎”这种观点(a005)?解：建立假设H0： 1 2；H 1： 1 2p143/205=0.2097 n1=205 p213/134=0.097 n2=134检验统计量 1221dzn 0.98.70.21.9534320当 0.05，查表得 1.645。因为 ，拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。zz812 为了控