高中数学a版必修五全册教案

111 正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程一.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sinaAc， ibB，又 sin1cC, 则 iiic 从而在直角三角形 ABC 中， sinisinabcABC 思考 1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3， （1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= siniaBbA,则 siniabB， C同理可得 iicC， b aCABBCA从而 siniabABsincC A c B（2）当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）思考 2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。（证法二）：过点 A 作单位向量 jA， 由向量的加法可得 ABC则 ()jBjC jjj 00cos9cos9ABC iniaC，即 sinaA同理，过点 C 作 j，可得 sinbc 从而 siniabABsinc从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabsincC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 sinaA， sibkB， sinckC；（2） siniabABicC等价于 iia， iibB， siaAincC思考：正弦定理的基本作用是什么？已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 in；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如siniaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1在 C中，已知 032.A， 081.B， 42.9acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理， 08()001()06.；根据正弦定理， 0sin429si81.()3.abcmA；CA Bj根据正弦定理， 0sin42.9si6.74.1()3aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。练习：在 AB中，已知下列条件解三角形。（1） 45， 0， c， （2） 60A， 45B，cm20例 2 在 C中，已知 2acm， 8bcm， 04A，解三角形（角度精确到 01，边长精确到 1cm） 。解：根据正弦定理， 0sin8i4i .92bABa因为 0 B 018，所以 064B，或016. 当 06时， 00018()()7CA，0sin2i73().4aCccmA 当 016B时， 00018()18(416)24B，0sin2i13().4acc应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课堂练习第 4 页练习第 2 题。思考题：在 ABC 中， siniabAB(o)sinckC，这个 k 与 ABC 有什么关系？三.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： iii 0isiniabckABC；或 snak， bk， k()（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四.课后作业：P10 面 1、2 题。1.1.2 余弦定理（二）一、教学目标1知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。二、教学重、难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。四、教学设想复习引入 余弦定理及基本作用 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 22cosabA22cosbaB 22cosabC已知三角形的三条边就可以求出其它角。 2coscsb 2a练习1。教材 P8 面第 2 题2在 ABC 中，若 2ab，求角 A（答案：A=120 0）思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 120,512Aba（先由正弦定理求 B，由三角形内角和求 C，再由正、余弦定理求 C 边）（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 ,7aB（先由三角形内角和求角 C，正弦定理求 a、b）（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 50,13,2b （先由余弦定理求 C 边，再由正、余弦定理求角 A、B）（4）已知三角形的三条边。 例如 9,0ca（先由余弦定理求最大边所对的角）探索研究例 1在 AB中，已知下列条件解三角形（1） 30， 1a， 20b（一解） （2） 30A， 1a， 6b（一解）（3） ， ， 5（二解） （4） ， ， 5（一解）（5） 120A， a， 1b（无解）分析：先由 siniAB可进一步求出 B；则 018()CAB 从而 sinaCcA归纳：（1）如果已知的 A 是直角或钝角，ab，只有一解；（2）如果已知的 A 是锐角，ab，或 a=b，只有一解；（3）如果已知的 A 是锐角，ab，1、 sin，有二解；2、 ，只有一解；3、 Abasin，无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且i时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习 1（1）在 ABC 中，已知 80， 1， 045，试判断此三角形的解的情况。（2）在 ABC 中，若 a， 2c， C，则符合题意的 b 的值有_个。（3）在 ABC 中， xm， b， 0B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（ 答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2x）例 2在 ABC 中，已知 7a， 5， 3c，判断 ABC 的类型。分析：由余弦定理可知 22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角b是 锐 角 三 角 形解： 22753，即 2ac， 是 钝 角 三 角 形 。随堂练习 2（1）在 ABC 中，已知 sin:isi1:23ABC，判断 ABC 的类型。 （2）已知 ABC 满足条件 ob，判断 ABC 的类型。 （答案：（1） C是 钝 角 三 角 形 ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）例 3在 ABC 中， 06， 1，面积为 ，求 sinisinabcABC的值分析：可利用三角形面积定理 1i22SabC以及正弦定理siniabABsincisiic解：由 132S得 ， 则 22cosbA=3，即 a，从而 siisicCiaA随堂练习 3（1）在 ABC 中，若 5a， 16b，且此三角形的面积 203S，求角 C（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积24abc，求角 C（答案：（1） 06或 2；（2） 04）课堂小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。五、作业（课时作业）（1）在 ABC 中，已知 4b， 10c， 03B，试判断此三角形的解的情况。（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。（3）在 ABC 中， 06A， 1a， 2bc，判断 ABC 的形状。（4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 25760x的根，求这个三角形的面积。1.1.2 余弦定理(一)（一）教学目标1知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。（三）教学设想复习旧知 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三角形的任意两角及其一边， 已知三角形的任意两边与其中一边的对角， 创设情景 问题 1：如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？问题 2：如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？即：如图 11-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求边 c ？ 探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 Ca， b， c，那么 ab，则 b c22 cC a B 从而 2coscabC (图 11-5)同理可证 2A 22cosba余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即： 22cosabA 22cosbaB 22coscabC思考 3：你还有其它方法证明余弦定理吗？（两点间距离公式，三角形方法）思考 4：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 22cosbaAc22cosabBc22cosbacC思考 5：余弦定理及其推论的基本作用是什么？已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考 6：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC 中，C= 09，则 cosC，这时 22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例 1在 ABC 中，已知 23a， 62c， 0B，求 b 及 A解： 22osbcB=()3(62)cos 045= 21(6)431=8 .b求 A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos22222()6)(31,bca 06.A解法二：sin 03sinsi45,2B 又 .4.8,23 1.86, a c，即 A 09, 06.评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。思考 7。在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例 2在 ABC 中，已知 134.6acm， 87.bc， 16.7cm，解三角形解：由余弦定理的推论得：cos22bcA22287.0543,0562A；cos aB134.6.87.198, 3B；00018()8(523)C04.随堂练习第 8 页练习第 1（1） 、 （2）题。课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。课后作业课后阅读：课本第 5-6 页课时作业：第 11 页习题 1.1A 组第 3 题。1.2 解三角形应用举例 第二课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯。3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件三、教学过程.课题导入提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课范例讲解例 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 、 ，CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在 ACD 中，根据正弦定理可得AC = )sin(a AB = AE + h=AC sin+ h= )si(na + h例 2、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =5404，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 =50 1。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？若在 ABD 中求 CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出 BD 边。师：那如何求 BD 边呢？生：可首先求出 AB 边，再根据 BAD=求得。解:在 ABC 中, BCA=90+, ABC =90- ,BAC=- , BAD = .根据正弦定理, )sin(BC = )90si(A所以 AB = )sin(90BC= )si(co 在 RtABD 中,得 BD =ABsinBAD=)sin(coBC将测量数据代入上式,得 BD = )1504sin(ico3.27 = 934sin051co.27177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为 150 米.思考：有没有别的解法呢？若在 ACD 中求 CD，可先求出 AC。思考如何求出 AC？例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南 15的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为8,求此山的高度 CD.思考 1：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ （在 BCD 中）思考 2：在 BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ （BC 边）解:在 ABC 中, A=15, C= 25-15 =10,根据正弦定理,ABCsin= Bsin , BC = CABsin 7.4524(km) CD=BCtan DBCBC tan81047(m)答:山的高度约为 1047 米.课堂练习：课本第 17 页练习第 1、2、3 题.课时小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。.课后作业1、 作业：习案作业五1.2 解三角形应用举例 第三课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 CAB。解：在 ABC 中， ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22 = 137cos0.546720.54.672 113.15根据正弦定理, sin = sin sin CAB = ACBin = 15.37sin040.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求 的大小和建筑物 AE 的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=10 3， ADC =180-4，2sin310= )48i(0 。 因为 sin4 =2sin2 cos2cos2 = ,得 2 =30 =15， 在 RtADE 中，AE=ADsin60=15答：所求角 为 15，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 Rt ACE 中,(10 3+ x) 2 + h =30 2 在 Rt ADE 中,x 2+h =(10 3) 2两式相减，得 x=5 ,h=15 在 Rt ACE 中,tan2 = xh10=2=30, =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10 3m在 RtACE 中，sin2 = 30x- 在 RtADE 中，sin4 =104, - 得 cos2 = 2,2 =30,=15，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15，建筑物高度为 15m例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB= 75+4= 120 (14x) 2= 9 + (10x) -29 10xcos 120化简得 32x -30x-27=0，即 x= 3,或 x=- 6(舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sinBAC = ABC120sin= 5= 143BAC =38 3,或 BAC =141 7（钝角不合题意，舍去） ，38 1+45=83 答：巡逻艇应该沿北偏东 83 31方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第 16 页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业习案作业六1.2 解三角形应用举例 第四课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。3、让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验二、教学重点、难点重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题三、教学过程.课题导入创设情境师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC 中，边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a、h b、h c，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a=bsinC=csinB hb=csinA=asinC h c=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式 S= 21ah,应用以上求出的高的公式如 h a=bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S= 21bcsinA, S= 21acsinB.讲授新课范例讲解例 1、在 ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm 2）（1）已知 a=14 cm, c=24 cm, B=150;（2）已知 B=60, C=45, b=4 cm;（3）已知三边的长分别为 a=3 cm,b=4 cm, c=6 cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：略例 2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 0.1cm 2）？思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= cab2 = 6812720.7532sinB= 753.010.6578 应用 S= 1acsinB S 268 127 0.65782840.38(m 2)答：这个区域的面积是 2840.38m 2。变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30,b=6,c=6 3,求 a 及 ABC 的面积 S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。答案：a=6,S=9 3;a=12,S=18例 3、在 ABC 中，求证：（1） ;sin22CBAcba（2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin = Bbi = Ccsin = k 显然 k 0，所以左边= BAc222isn= CBA2sin=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bca2+ca cab2+ab abc2)=(b 2+c - a )+(c +a -b )+(a +b -c ) =a +b +c =左边变式练习 2：判断满足 sinC = BAcosini条件的三角形形状提示：利用正弦定理或余弦定理， “化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形.课堂练习 课本第 18 页练习第 1、2、3 题.课时小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。.课后作业习案作业七1.2 解三角形应用举例 第一课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。3、 新课讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= 51， ACB= 75。求 A、B两点的距离(精确到 0.1m)提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。解：根据正弦定理，得 ACBsin = ACsin AB = i= i5= )75180(i = 4sin75 65.7(m)答:A、B 两点间的距离为 65.7 米变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。 解略： 2a km例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得BCA=，ACD=， CDB=， BDA =，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得AC = )(180sina = )sin(aBC = i = 计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = cos22BCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得BCA=60， ACD=30， CDB=45， BDA =60略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。4、 学生阅读课本 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。5、 课堂练习：课本第 14 页练习第 1、2 题6、 归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、课后作业1、 课本第 22 页第 1、2、3 题2、 思考题：某人在 M 汽车站的北偏西 20的方向上的 A 处，观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40。开始时，汽车到 A 的距离为 31 千米，汽车前进 20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC= CAB22= 31,则 sin C =1- cos C = 24, sinC = 31,所以 sin MAC = sin（120 -C）= sin120 cosC - cos120sinC = 6235在 MAC 中，由正弦定理得MC = AMCsin= 23165=35从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。作业：习案作业三2.1 数列的概念与简单表示法（二）教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前 n 项和与 na的关系.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习：1).以下四个数中,是数列 )1(n中的一项的是 ( A )A.380 B.39 C.32 D.182).设数列为 ,2,5则 24是该数列的 ( C )A.第 9 项 B. 第 10 项 C. 第 11 项 D. 第 12 项 3).数列 ,3,1的一个通项公式为 nan1)(4） 、图 2.1-5 中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图 4 个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。二、探究新知（一） 、观察以下数列，并写出其通项公式： ,197,53)1(12na86420)(,)(n3思 考： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？2,25,213,)1( 1312 naaaa0n11,)3(（二）定义：已知数列 na的第一项（或前几项） ，且任一项 na与它的前一项 1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.练习: 运用递推公式确定一个数列的通项： ,18,52)1()2(3,211an23)(,121 naan例 1:已知数列 的第一项是 1,以后的各项由公式 1na给出,写出这个数列的前五项解: 58,32,1 1)( 2, 1nSanann则项 之 和 为的 前若 记 数 列练习: 已知数列 n的前 n 项和为: ,);2)(2求数列 na的通项公式.例 2.已知 4,211na,求 n.解法一: )1(2)( :,0,6: 43an 两两 - 观察法解法二:)1(42 : 4 ,:321naannn相 加 得由 题 设 -累加法例 3:已知 a,1,求 n.解法一: 解法二: -迭乘法na2: ,33221两三、课堂小结： 1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项(或 n 项)之间的关系.(2)对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 ,4321即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前 n 项） ，才可依次求出其他项.3用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.四、作业1.阅读教材 P30-33 面2. 习案作业十21 数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的” “树木的， 。 。 。 。 。 ”， （一） 、复习准备：1. 在必修课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：nn nnnaaa2 2,2113111即由“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，即如果将初始量看成“1” ，取其一半剩“ 12”，再取一半还剩“ 14”， 、 、 、 、 、 、 ，如此下去，即得到 1， 2， 4， 8， 、 、 、 、 、 、2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二） 、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，（2）正方形数： 1，4，9，16，（2）1，2，3，4的倒数排列成 的一列数：（3）-1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，排列成一列数：-1，1，-1，1，-1， 。 。 。 。 。（4）无穷多个 1 排列成的一列数：1，1，1，1， 。 。 。 。 。 。有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.辩析数列的概念：（1） “1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ -数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（或首项） ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项、 、 、 、 、 、排在第 n位的数称为这个数列的第 n项. 数列的一般形式可以写成 13,na ，简记为 a. 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值。反过来，对于函数 )(xfy，如果、if1)(有意义，可以得到一个数列： .)3(21(ff如果数列 na的第 n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。函数 数列（特殊的函数）定义域 R 或 R 的子集 *N或它的子集解析式 )(xfy)(nfa图象 点的集合 一些离散的点的集合2应用举例例 1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1） ;41,3, （2） 2，0，2，0练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2) 3, 15, 6, 38, 910, ；， 32(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .例 2. 写出数列 .135,0472,的一个通项公式，并判断它的增减性。思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？例 3根据下面数列 na的通项公式，写出前五项：（1） 1n （2） nan)1(例 4求数列 392中的最大项。例 5已知数列 na的通项公式为 2)3(log2n，求 3log2是这个数列的第几项？三. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.四、巩固练习：1. 练习：P31 面 1、2、题、2. 作业：习案九。2.2 等差数列（二）一、教学目标1、掌握判断数列是否为等差数列常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一） 、复习1等差数列的定义2等差数列的通项公式： dnan)1( nadm)(或 na=pn+q (p、q 是常数)3有几种方法可以计算公差 d: d= n 1 d= 1n d= mn4. an是首项 a1=1, 公差 d=3 的等差数列, 若 an =2005,则 n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在 3 与 27 之间插入 7 个数, 使它们成为等差数列,则插入的 7 个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 二、新课1性质：在等差数列a n中,若 m + n=p + q, 则 am + an = ap + aq 特别地,若 m+n=2p, 则 am+an=2ap例 1. 在等差数列a n中(1) 若 a5=a, a10=b, 求 a15;(2) 若 a3+a8=m, 求 a5+a6;(3) 若 a5=6, a8=15, 求 a14;(4) 若 a1+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求 a11+a12+a15.解: (1) 2a 10=a5+a15,即 2b=a+a15 , a 15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a 5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即 15=6+3d, d=3，从而 a14=a5+(14-5)d=6+93=33 .13082)( )(2 2)( ,17,16)4 510761512 1076526 aa a 两2判断数列是否为等差数