高等数学课件2-6函数的连续性与间断点

练习：二、 函数的间断点 一、 函数的连续性第六节函数的连续性与间断点 可见 , 函数 在点一 、 函数的连续性 (continuity)1.定义 : 在 的 某邻域内有定义 , 则称 函数(1) 在点 即(2) 极限(3)设函数连续必须具备下列条件 :存在 ;且有定义 , 存在 ;对自变量的增量 有 函数的增量函数 在点 连续有 :2.函数连续的等价定义等价定义 : 在的 某邻域内有定义 , 设函数则称 函数当 时 , 有当 时 , 有4.左、右连续在 的 某邻域内有定义 , 设函数则称 函数定理 1continue若 在 某区间上每一点都连续 , 则称它在该 区间上连续 , 或称它为该 区间上的 连续函数 .例如 ,在 上 连续 .( 有理整函数 )又如 , 有理分式函数在其 定义域内连续 .在 闭区间 上的连续函数的集合记作只要 都有例 . 证明函数 在 内 连续 .证 : 即这 说明 在 内 连续 .同样可证 : 函数 在 内 连续 .在在二、 函数的间断点(1) 函数(2) 函数 不 存在 ;(3) 函数 存在 , 但不连续 :设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点之一 函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为 间断点 . 在 无定义 ;间断点分类 :第一类间断点 :及 均存在 ,若 称若 称第二类间断点 :及 中至少一个不存在 ,称若 其中有一个为振荡 , 称若 其中有一个为为 可去间断点 .为 跳跃间断点 .为 无穷间断点 .为 振荡间断点 .为其 无穷间断点 .为其 振荡间断点 .为 可去间断点 .例如 :显然为其 可去间断点 .(4)(5) 为 其跳跃间断点 .(6) 为 其跳跃间断点 .Conclusions:左连续 右连续第一类间断点 可去间断点跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点振荡间断点 左右极限至少有一个不存在在点 间断的类型在点 连续的等价形式思考与练习1. 讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型 .2. 设 时 为连续函数 .答案 : x = 1 是第一类可去间断点 ,备用题 确定函数 间断点的类型 .解 : 间断点为 无穷间断点 ;故 为 跳跃间断点 . 在其 定义域内连续三、连续函数的运算法则定理 2. 在某点连续的 有限个 函数经 有限次 和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明 )商 (分母不为 0) 运算 , 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如 ,思考 : (1)同一区间内 ,一个连续函数与一个不连续函数的和是否连续?(2)同一区间内 ,两个不连续函数的和是否一定不连续 ?定理 3. 连续单调递增 函数的反函数例如 , 在 上 连续单调递增，其 反函数(递减 ).(证明略 )在 1 , 1 上也连续单调递增 .递增(递减 ) 也 连续单调在 上 连续 单调 ,其 反函数 在 上也连续单调 .又 如 , 特别 , 在 上也连续单调 .在 上连续 .在 上连续 .在 上连续 .定理 4. 连续函数的复合函数是连续的 .证 : 设函数于是故 复合函数即即例如 , 是由连续函数链因此 在 上连续 .复合而成 ,在 上连续 .证明：初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在 定义区间内连续连续函数求极限例 1 .设 均在 上 连续 , 证明函数也在 上 连续 .证 :根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上连续 .例 2. 求解 : 原式例 3. 求解 : 令 则原式Note: 当 时 , 有例 4. 求解 : 原式Note: 若 则有例 5. 设解 :讨论复合函数 的连续性 .故此时连续 ; 而故 x = 1为第一类跳跃间断点 .在点 x = 1 不连续 , Conclusions:基本初等函数 在定义区间内 连续