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第五章 Lebesgue积分理论.pdf第五章 Lebesgue积分理论.pdf

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第五章LEBESGUE积分理论80第五章LEBESGUE积分理论本章定义了可测函数的LEBESGUE积分,并讨论了新积分的性质、计算方法及其与旧RIEMMAN积分的关系,在条件相当弱相对RIEMMAN相应定理条件中的一致收敛而言的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得了RIEMMAN可积的本质特征;最后研究了重积分与累次积分的关系。51LEBESGUE积分的定义及其基本性质有了第四章的准备之后,就可以根据对可测集上定义的可测函数F先定义大、小和SD,F=NI1YIMEY1IFYI,SD,FNI1Y1IMEY1IFYI然后分别规定DSUPSD,F、DINFSD,F为上、下积分值,且进一步证明二者相等,从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是LEBESGUE创立新积分的原始思路,也是传统教材介绍LEBESGUE积分定义的普遍方法。然而在第四章研究可测函数的结构时,我们发现函数可测的实质是函数正、负部下方图形可测,再加之由数学分析我们已经知道对连续函数而言R积分值是函数曲线与X轴,X=A,X=B所围的X轴上、下方图形面积的代数和,现遵循此基本思路直接定义新积分概念。定义511若FX为可测集E上的非负可测函数,则称MG,EF为F在E上的LEBESGUE积分值,记为LEFDX,也简称MG,EF为F在E上的积分值,并简记EFDX。若FX为可测集E上的一般可测函数,且EFDX=MG,EF,EFDX=MG,EF至少有一个有限,则称FX在E上存在积分值,并规定积分值为EFDX=EFDX-EFDX=MG,EF-MG,EF;如果-∞<EFDX<+∞,则称F在E上可积。ZEONPDFDRIVERTRIALWWWZEONCOMTWDOCUCOMPDFTRIALWWWPDFWIZARDCOM第五章LEBESGUE积分理论81注511此处作“EFDX,EFDX至少有一个有限”的限制在于保证不出现∞-∞的无意义表达式。注512L积分定义有三大优点定义简洁、直观明了,不需大、小和概念,不必考虑函数是否有界,定义域测度是否有限。如何具体计算积分值呢1若F为可测集E上的非负简单函数,则FX=CIX∈EII1,2,3,,N,EI∩EJ≠ΦI≠J,从而F在E上的积分值为MG,EF=NI1CIMEI例511DINICHNI函数DX=
编号:201311211719570626    类型:共享资源    大小:250.80KB    格式:PDF    上传时间:2013-11-21
  
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