《概率论与数理统计》课后习题答案

1习题 1. 1解答1. 将一 枚均匀 的硬币 抛两次 ，事件 , 分别 表示 “ 第一 次出现 正面 ” ， “ 两次出现 同一面 ” ， “ 至少 有一次 出现正 面 ” 。试 写出样 本空间 及事件 , 中的 样本点。 解： = (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反） =A (正，正 )，（正，反） ； =B （正，正），（反，反） =C (正，正 )，（正，反），（反，正） 2. 在掷 两颗骰 子的试 验中， 事件 , 分别 表示 “ 点数 之和为 偶数 ” ， “ 点数之和 小于 5” ， “ 点数 相等 ” ， “ 至少 有一颗 骰子的 点数为 3” 。试 写出样 本空间 及事件 + , 中的 样本点 。解： )6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( = ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1(= )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+= )2,2(),1,1(= )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(= 以 , 分别 表示某 城市居 民订阅 日报、 晚报和 体育报 。试用 , 表示 以下事件 ：（ 1）只 订阅日 报； （ 2）只 订日报 和晚报 ；（ 3）只 订一种 报； （ 4）正 好订两 种报；（ 5）至 少订阅 一种报 ； （ 6）不 订阅任 何报；（ 7）至 多订阅 一种报 ； （ 8）三 种报纸 都订阅 ；（ 9）三 种报纸 不全订 阅。解：（ 1） （ 2） （ 3） + ；（ 4） + ; （ 5） + ；（ 6） （ 7） + 或 +（ 8） （ 9） +4. 甲、 乙、丙 三人各 射击一 次，事 件321 , 别 表示甲 、乙、 丙射中 。试说 明下列 事件所 表示的 结果：2A, 32 , 21 21 , 321 313221 + 未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5. 设事 件 , 满足 试 把下列 事件表 示为一 些互不 相容的 事件的 和：+， ， 如图：2 +=+= +=+=+ ; ;6. 若事 件 , 满足 =+ ，试 问 是否 成立？ 举例说 明。解： 不一定成立。例如： 5,4,3=A ， 3=B ， 5,4=C ，那么， =+ ， 但 。7. 对于 事件 , ，试 问 = )()( 是否 成立？ 举例说 明。解： 不一定成立。 例如： 5,4,3=A ， 6,5,4=B ， 7,6=C ，那么 3)( = 但是 7,6,3)( =+ 8. 设 31)( = 21)( =试 就以下 三种情 况分别 求 )( （ 1） = （ 2） ， （ 3） 81)( =解：（ 1） 21)()()()( = （ 2） 61)()()()( = （ 3） 838121)()()()( = 9. 已知 41)()()( = 161)()( = 0)( =事 件, 全不 发生的 概率。( ) )(1)( +=+= )()()()()()()(1 +83016116104141411 = +=10. 每个 路口有 红、绿 、黄三 色指示 灯，假 设各色 灯的开 闭是等 可能的 。一个 人骑车经 过三个 路口， 试求下 列事件 的概率 ： =A “ 三个 都是红 灯 ” =“ 全红 ” ； =B“ 全绿 ” ； =C “ 全黄 ” ； =D “ 无红 ” ； =E “ 无绿 ” ； =F “ 三次 颜色相同 ” ； =G “ 颜色 全不相 同 ” ； =H “ 颜色 不全相 同 ” 。解：271333 111)()()( = = 278333 222)()( = = 91271271271)( =+= 92333 !3)( =98911)(1)( = 11. 设一 批产品 共 100件， 其中 98件正 品， 2件次 品，从 中任意 抽取 3件（ 分三种情 况：一 次拿 3件； 每次拿 1件， 取后放 回拿 3次； 每次拿 1件， 取后不 放回拿 3次） ，试求 ：（ 1） 取出 的 3件中 恰有 1件是 次品的 概率；（ 2） 取出 的 3件中 至少有 1件是 次品的 概率。解：一次拿 3件：（ 1） = （ 2） +=C 每次拿一件，取后放回，拿 3次：（ 1） 2 =P ； （ 2） 3 =P ；每次拿一件，取后不放回，拿 3次：（ 1） 7982 = =P ；（ 2） 697981 = =从 9,2,1,0 中任 意选出 3个不 同的数 字，试 求下列 事件的 概率： 501 与三个数字中不含=A ， 502 或三个数字中不含=A 。4解：157)( 310381 =15142)( 31038392 = C 15141)( 310182 = 从 9,2,1,0 中任 意选出 4个不 同的数 字，计 算它们 能组成 一个 4位偶 数的概率 。解： 904145 4102839 =P 一个 宿舍中 住有 6位同 学，计 算下列 事件的 概率：（ 1） 6人中 至少有 1人生 日在 10月份 ；（ 2） 6人中 恰有 4人生 日在 10月份 ；（ 3） 6人中 恰有 4人生 日在同 一月份 ；解：（ 1） 6 = P ； （ 2） 46 = （ 3） 46112 = 从一 副扑克 牌（ 52张） 任取 3张（ 不重复 ），计 算取出 的 3张牌 中至少 有 2张花 色相同 的概率 。 解：+= C 5211311311334 = C . 2解答1. 假设 一批产 品中一 、二、 三等品 各占 60%， 30%、 10%，从 中任取 一件， 结果不是三 等品， 求取到 的是一 等品的 概率。 解：令 = 取到的是 i 等品 ” ， 3,2,1= )()( )()( 313 3131 = 2. 设 10件产 品中有 4件不 合格品 ，从中 任取 2件， 已知所 取 2件产 品中有 1件不 合格品 ，求另 一件也 是不合 格品的 概率。 解：令 =A “ 两件中至少有一件不合格 ” ， =B “ 两件都不合格 ”511)(1 )()( )()|( 2102621024=为了 防止意 外，在 矿内同 时装有 两种报 警系统 I 和 种报警 系统单 独使用时， 系统 I 和 效 的概率 分别 0. 92和 0. 93，在 系统 I 失灵 的条件 下，系 统 有 效的概 率为 0. 85，求（ 1） 两种 报警系 统 I 和 有 效的概 率；（ 2） 系统 灵 而系统 I 有效 的概率 ；（ 3） 在系 统 灵 的条件 下，系 统 I 仍有 效的概 率。解： 令 =A “ 系统（ ）有效 ” ， =B “ 系统（ ）有效 ”则 (, = 1） )()()()( = ()()( = 2） )()()( = 3） )()|( = 设 1)(0 0， )( 0，则 有（ 1） 当 独立 时， 相容 ；（ 2） 当 不相 容时， 不独 立。证明： 0)(,0)( 1）因为 独立，所以 0)()()( = 相容。（ 2）因为 0)( =而 0)()( )()()( ， 不独立。7. 已知 事件 , 相互 独立， 求证 与 。证明： 因为 A、 B、 )()( =)()()()()()( )()()()()()()()()()(+= +=+= 与 . 甲、 乙、丙 三机床 独立工 作，在 同一段 时间内 它们不 需要工 人照顾 的概率 分别为 0. 7， 0. 8和 0. 9，求 在这段 时间内 ，最多 只有一 台机床 需要工 人照顾 的概率 。解：令 321 , 别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 ,321 = 表示最多有一台机床需要工人照顾，7那么 )()( 321321321321 +=)()()( 321321321321= +=+= 如果 构成系 统的每 个元件 能正常 工作的 概率为 )10( ， 求常数 1!1= ， 而 1!0 = 1 0 = 即 1)1( = 试验 成功的 概率为 )10( 解： 2l n,21!0)0( 0 = 1()0(1)1(1)1( =+= l 12l =+=上每 页的印 刷错误 的个数 松 )分布 。经统 计发现 在某本书 上，有 一个印 刷错误 与有两 个印刷 错误的 页数相 同，求 任意检 验 4页， 每页上 都没有 印刷错 误的概 率。解： )2()1( = ， 即 2,!2!1 21 = = （842 )( = 为的 时间间 隔内， 某急救 中心收 到紧急 呼救的 次数服 从参数 为 的而与 时间间 隔的起 点无关 （时间 以小时 计）， 求（ 1）某 一天从 中午 12时至 下午 3时没 有收到 紧急呼 救的概 率；（ 2）某 一天从 中午 12时至 下午 5时收 到 1次紧 急呼救 的概率 ；为 t 的时 间间隔 内，某 急救中 心收到 紧急呼 救的次 数 数为 2t 的松 )分布 ，而与 时间间 隔的起 点无关 （时间 以小时 计） . 求（ 1）某 一天从 中午 12时至 下午 3时没 有收到 紧急呼 救的概 率；（ 2）某 一天从 中午 12时至 下午 5时收 到 1次紧 急呼救 的概率 ；13解：（ 1） 23)0(23,3 = （ 2） 251)0(1)1(25,5 = 的概 率分布 为：X 1 0 1 2 3P 2a 101 3a a a 2 1） a； （ 2） 12 = 概 率分布 。解：（ 1） 1231012 =+ 01=a 。（ 2）Y 1 0 3 8P 103 51 103 型随 机变量 密度 曲线如 图 1. 3. 8所示 （ 1） （ 2） 密度 ； （ 3） )22( 解： 令 1)( =+即 1s i = 即 2,0= i n)6( 2626= 么常 数将使 2 变成 概率密 度函数 ?解： 令 12 =+ 41)21( 2 =+ 41 =11 = 量 ),( 2其 概率密 度函数 为6 44261)( += ( +=00,0 ,)(2 （ 1） 的值 ； （ 2） )11( = 0,0 0,2)()( 2 设 型随 机变量 ，其分 布函数 为+1)()( =当 0（ 3）)4( 解：（ 1） 4 )1(= 1(1)4 =+= （ 3） )4 14()414()4|(| +=+ )412(1)410( += 3(1)41( =+= 考成 绩 从正 态分布 )10,70( 2N ，第 100名的 成绩为 60分， 问第 20名的 成绩约 为多少 分？解： 10020)60|( = )60( )()60( )60()()60|( = = XP 又 (10