多角度解决一个圆锥曲线问题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 多角度解决一个圆锥曲线问题 【摘要】圆锥曲线是高中数学的 必考内容，此类题目学生普遍感到无从 下手。文章就一个习题的多角度解法进 行了探索，较为透彻地解决了该类型题 目。 中国论文网 /9/view-13025101.htm 【关键词】圆锥曲线；判别式法； 配方法；三角函数；数形结合 习题：已知、是双曲线和椭圆的 公共焦点，是它们的公共交点且，则双 曲线和椭圆的离心率的倒数之和的最大 值为 . 解答： 不妨取点在第一象限，设椭圆的 长轴长为，离心率为，双曲线的实轴长 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 为，离心率为 e1， 、分别为两者的左右 焦点.设=s，=t，可得， .由于，由余 弦定理易知，离心率的倒数之和. 方法一：判别式法.由易得，故 由易得，将看作自变量，则关于的一 元二次方程，有，即，解得，所以.等号 成立时，即取到最大值. 补充说明：此时，发现两者互为 倒数.此题中使用“ 主参” 互 Q 思想，根 据题意合理确定主变量和参变量，以便 求得最值. 方法二：配方法.因为，所以，又 因为，所以，当且仅当时等号成立，则， 取到最大值. 补充说明：将求解对象转化为二 次函数，使用二次函数配方法解决最值. 方法三：数形结合.将代入化简后， 根据题目求解目标，两边同除以得到， 可看作.即，设，则求的最大值即可由的 图象可知，当两者相切且切点在第一象 限时，取到最大值，所以有，在此令， 则，因为，所以. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 补充说明：采用数形结合的数学 思想，利用图形的几何意义巧妙求解. 方法四：三角函数.根据方法三整 理得到的，可令， ， ，则，其中，所以. 补充说明：充分利用进行代换以 及三角函数自身特性求解最值. 数学解 题中形式看似繁琐，坚持到底，结果简 练精辟！ 方法五：柯西不等式.根据方法三 整理得到的，构造柯西不等式.即，当且 仅当时等号成立. 补充说明：特殊值不等式的使用 可以起到事半功倍的效果. 方法六：构造向量.根据方法三整 理得到的，构造，因为，所以，即，当 且仅当和共线时等号成立，故. 补充说明：向量性质的灵活使用. 方法七：导数.根据方法三整理得 到的 ，设，代入得.即，设，令，则. 当时， ； 当时，.所以，当时，取到最大值. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 补充说明：导数是求最值的最根 本方法. 通过以上解法，不难发现，的大 小决定了本题的最终结论. 引申：已知、是双曲线和椭圆的 公共焦点，是它们的公共交点且，则双 曲线和椭圆的离心率的倒数之和的最大 值为其中 ，且取最大值时两者的离心 率的乘积为 1. 证明：必有解，经化简即，当且 仅当时等号成立，利用求根公式易知即 又， ， 补充说明：从特殊到一般，又回 到了方法一，由也易知当时无最大值. 一道较有深度的习题可以将数学 解题思想和解题方法淋漓尽致地展现出 来，进而升华到对数学思想的认知