2012年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学(深圳一模)

绝密启用前 试卷类型：A 2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（文科） 2012.2.23 本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 参考公式： 1锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高13VShh 2独立性检验 统计量 ，其中 22()(nadbcKnabcd 概率表 (02kP15.05.0210.7268413635 一、选择题：本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的 1设全集 ， ， ，则1,3568U1,6A,8BABC A B C D， ， 56， ， 2已知点 在不等式组 表示的平面区域( )Pxy,201xy 上运动，则 的最小值是z A B C D21 3已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，28yxl2:xya 则双曲线 的离心率Ce A B C D 2325352 4执行如图的程序框图，则输出的 是 A B C D 或020 2 5已知过点 的直线 的斜率为 ，则(0,1):tan3ta0lxy2tan() A B C D737571 如图，三棱柱 中， 平面 ，1A1ABC ，若规定主（正）视方向垂直平面12,5B ，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为C A B C D45242 7给出四个函数： ， ， ，xf1)(xg3)(3)(u ，其中满足条件：对任意实数 及任意正数 ，有 及xvsin)( m()0fxf 的函数为fmf A B C D()()x(v 8已知 ，则“ 为 的等差中项”是“ 是 的等比中项”的,yzRlgy,lxzy,z A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知符号函数 ，则函数 的零点个数为 1,0sgn(),x()sgn(l)fxx A B C D1234 10在实数集 中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序” ，类似地，我们在复数R 集 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”。定义如下：对于任意两个复数C ， （ ， 为虚数单位） ， “ ”当且仅当11zabi22zabi12,abRi12z “ ”或“ 且 ”下面命题为假命题的是 A 0i B若 ， ，则12z3z13z C若 ，则对于任意 ，C2z D对于复数 ，若 ，则121 二、填空题：本大题共小题，考生作答小题，每小题 5 分，满分0 分本大题分为必做 题和选做题两部分 （一）必做题：第 11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须作答 11某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 ， ， ， ， ，估计此人每次上8129 班途中平均花费的时间为 分钟 12奇函数 （其中常数 ）的定义域为 21()fxxaR 3 DOCEBA EADB 13已知 ，且 ，则 的最小值为 Rba50a|2|ba （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 到曲线 上的(1,)2P3:cos()24l 点的最短距离为 15 （几何证明选讲选做题）如图 4， 是圆 上的两点，且 ，,ABOAOB ， 为 的中点，连接 并延长 交圆 于点 ，2OACCD 则 D 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 ， （其中 ） ，其部分图像如图 5()sin()fxAxR0,2A 所示 （1）求函数 的解析式； （2）已知横坐标分别为 、 、 的三点 、15M 、 都在函数 的图像上，求 的NP()fxsinNP 值 17 （本小题满分 13 分） 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 的样本，问样本中5 看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从（1）中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生 各一名的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ 性别与看营养说明列联表 单位: 名 男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 18 （本小题满分 13 分） 如图，直角梯形 中， ， ， ， ， 为ABC AB24CDA2E 的中点，将 沿 折起，使CDE 得 ，其中点 在线段 内.O （1）求证： 平面 ； （2）问 (记为 )多大时, 三 棱锥 的体积最大? 最大值为AE 图 4 D CO A B 图 5 y x21023456 4 TSRNMPy xO 多少? 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 (实数 为常数)的图像过原点, 且在 处的切线为32()fxabxcab1x 直线 . 12y （1）求函数 的解析式；（2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.()fx0m()fx,m 20 （本小题满分 14 分） 已知各项为实数的数列 是等比数列, 且 数列 满足：对任na12,a57248().anb 意正整数 ,有 . n12()nabb (1) 求数列 与数列 的通项公式；nn (2) 在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个 后，得到一个新的aka1k(1)()Nkb 数列 . 求数列 的前 2012 项之和. ncnc 21 （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点 为圆心作C 21(0)xyab32CT 圆 ： ，设圆 与椭圆 交T22()(0)xyrTC 于点 与点 MN （1）求椭圆 的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆 的方程； （3）设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点，PCMN 且直线 分别与 轴交于点 ， 为坐标原,xRSO 点，求证： 为定值 ORS 5 2012 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（文科）参考答案及评分标准 说明： 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D A C A C D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中第 14、15 两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第 14 题的得分为 最后得分 11 12 13. 14 15 101,0xx且 223 三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 ， ，其中 . 函数 的部分图像如下()sin)fxRx0,2()fx 图所示. (1)求函数 的解析式； ()f (2) 已知横坐标分别为 的三点 在函数 的图像上，求 的值.1,5,MNP()fxsinMNP 解：（1）由图可知， 最小正周期 所以 3 分 428,T28,.4T 又 ，且 ()sin)14f第 16 题图 y xO -1 654321-1-2 1 6 所以 , 5 分34,.424 所以 . 6 分()sin(1)fx (2) 解法一: 因为 0,(,ff(5)sin(1),f 所以 , 7 分(,)(,5)MNP , 8 分5237 从而 10 分0cos5 由 得 . 12 分,MNP24sin1cos5NPMNP 解法二: 因为 ,(1)()0,(),4f f()sin(1)f 所以 , 7 分,0,5 8 分(2,)(,2)NP6NP , 9 分5M 则 . 10 分3cos 52 由 得 . 12 分0,NP4sin1cosNPMNP 【说明】 本小题主要考查了三角函数 的图象与性质，以及余弦定理，同)in()(xAxf 角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力 17 （本小题满分 13 分） 通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这 50 名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为 的样本，问样本中5 看与不看营养说明的女生各有多少名? (2) 从（1）中的 5 名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生 各一名的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ 性别与看营养说明列联表 单位: 名 男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 7 DOCEBA EADB 解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有 名，样本中不看营养说明的530 女生有 名；2 分520 （2）记样本中看营养说明的 名女生为 ，不看营养说明的 名女生为 ，从这 5 名3123,a212,b 女生中随机选取两名，共有 个等可能的基本事件为： ； ； ； ；01,a13,a ； ； ； ； ； .5 分23,a21,b2,a31,b2,1,b 其中事件 “选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了 个的基本事件： ；A61,b ； ； ； ； .7 分12,1,2,31,2,a 所以所求的概率为 9 分6().05P (3) 假设 ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则 应该很小. 0H 2K 根据题中的列联表得 11 分 21(301)597.48686k 由 , 可知2(6.35)0.PK2(7.).PK 有 %的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？9 13 分 【说明】本题主要考察读图表、抽样方法、随机事件的概率、独立性检验等基础知识，考查运 用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识 18 （本小题满分 13 分） 如图，直角梯形 中， ， ， ， ， 为ABCD AB24A2DE 的中点，将 沿 折起，使得 ，其中点 在线段 内.CDEO （1）求证： 平面 ；O （2）问 (记为 )多大时, 三棱锥 的体积最大? 最大值为多少? （1）证明: 在直角梯形 中， ， 为 的中点，2AB 则 ,又 ，DE ,知 .1 分C 在四棱锥 中， ， ，O,CE 8 平面 ，则 平面 .3 分,CEDEBCDE 因为 平面 ,所以 4 分O.O 又 , 且 是平面 内两条相交直线, 6 分A 故 平面 .7 分A (2)解：由(1)知 平面 ，CBE 知三棱锥 的体积 9 分11332AOEVSCEADOC 由直角梯形 中, ， ， ，D24 得三棱锥 中，AO 10 分cos,sini,EC ， 11 分2in3V 当且仅当 ，即 时取等号，12 分si1,0,24 （此时 ， 落在线段 内）.2OEDE 故当 时, 三棱锥 的体积最大，最大值为 . 13 分4CAO23 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积及三角函数等基础知识，考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力 19 （本小题满分 14 分） 已知函数 (实数 为常数)的图像过原点, 且在 处的切线为32()fxabxcab1x 直线 .12y （1）求函数 的解析式；()fx （2）若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.0m()fx,m 解：（1）由 得 . 1 分()fc 由 , 得 , 3 分32xabx2()3fxab 从而 , , (1)0f 11 9 解得 . 5 分3,02ab 故 6 分3().fx （2）由（1）知 . 2 23(),(3(1)xxfxx 的取值变化情况如下： ,()xf,0)(0,1)(,)()fx 单调 递增 极大值 ()f 单调 递减 极小值 1()2f 单调 递增 9 分 又 ,函数 的大致图像如右图： 3()02f()fx 当 时, ；11 分mmax(0)ff 当 时, 3232ax().fm 13 分 综上可知 14 分max32 0,().3,f 【说明】本题主要考查函数导数的几何意义、导数在研究函数性质方面的运用、不等式的求解 等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题 的能力 20 （本小题满分 14 分） 已知各项为实数的数列 是等比数列, 且 数列 满足：对任na12,a57248().anb 意正整数 ,有 . n12()nnbb (1) 求数列 与数列 的通项公式；an (2) 在数列 的任意相邻两项 与 之间插入 个 后，得到一个新的nka1k(1)()Nkb 数列 . 求数列 的前 2012 项之和. ncc -1 y xO1232 10 解：（1）设等比数列 的公比为 由na,Rq57248(),aa 得 42211()8(),q 又 则 ，,0,aq38,q 数列 的通项公式为 3 分n2().Nna 由题意有 ，得 4 分1()ab1.b 当 时，2n12121)()n n naaba ，5 分1()() 得 . nb 故数列 的通项公式为 6 分().Nnb (2)设数列 的第 项是数列 的第 项,即 .nakckmkmac()N 当 时， 7 分2k12(1)km ().2 8 分663495,06. 设 表示数列 的前 项之和 ，则nSnc()Nn 9 分12621263206() (1)a bb 其中 10 分64163(2,a ,()1)nnb2)(1)(),nnN 则 1262b2()()(1) 2222143()61n 14143) . 12 分3()9532 6201464,S 11 TSRNMPy xO 从而 201324201 01656()Scac46395)b 13 分63217. 所以数列 的前 2012 项之和为 14 分nc632175. 【说明】考查了等比数列的通项公式，数列的通项与前 n 项和之间的关系，数列分组求和等知 识，考查化归与转化的思想以及创新意识 21 （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点 为圆心作C 21(0)xyab32CT 圆 ： ，设圆 与椭圆 交于点 与点 T22()(0)xyrTCMN （1）求椭圆 的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆 的方程；MN （3）设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ，PCN,x,RS 为坐标原点，求证： 为定值 OORS 解：（1）依题意，得 ， ，2a3ce ；1,3cbc 故椭圆 的方程为 3 分C 24xy （2）方法一：点 与点 关于 轴对称，设 ， ， 不妨设 MNx),(1yxM),(1yxN01y 由于点 在椭圆 上，所以 （*）4 分 4122y 由已知 ，则 ， ， (2,0)T),(1x),(11yxT 211 )2),yyxNM 12 345)41()2( 12