2013 – 2014 学年第二学期《数学建模与数学实验》期末考察

2013 2014 学年第二学期数学建模与数学实验期末考察问题 A 题 某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交 货 40 台、60 台、80 台每季度的生产费用为 2)(bxaf （单位:元）, 其中 x 是该季度生产的台数若交货后有剩余，可用于 下季度交货，但需支付存储费，每台每季度 c 元已知工厂每季度最 大生产能力为 100 台，第一季度开始时无存货，设 a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又 使总费用最低讨论 a、b、c 变化对计划的影响，并作出合理的解 释 B 题 讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系 （1）若国民平均收入 x 与人口平均资金积累 y 成正比，说明仅当总资 金积累的相对增长率 k 大于人口的相对增长率 r 时，国民平均收入才 是增长的 （2）作出 k(x)和 r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果 C 题 交巡警服务平台的设置与调度 “有困难找警察” ，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管 理、交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区 的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警 力配备基本相同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地 设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一 个实际课题。 试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题： (1) 附图 1 给出了该市中心城区 A 的交通网络和现有的 20 个交巡警服务平台 的设置情况示意图，相关的数据信息见附件 2。请为各交巡警服务平台分配管辖范 围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有交巡警（警车的 时速为 60km/h）到达事发地。 (2) 对于重大突发事件，需要调度全区 20 个交巡警服务平台的警力资源，对进 出该区的 13 条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路 口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 注意：所有交巡警平台节点号、A 城区每个节点号、 A 城区每条边的两端节点 号均在附件 2 中给出，不需要在图中标注，直接写出初始距离矩阵 D 和路径矩阵 R, 再用 Fioyd 算法求任意两点间的最短距离。 附图 1：A 区的交通网络与平台设置的示意图 说明： （1）图中实线表示市区道路； （2）实圆点“”表示交叉路口的节点，没有实圆点的交叉线为道路立体相 交； （3）星号“*”表示出入城区的路口节点； （4）圆圈“”表示现有交巡警服务平台的设置点； （5）圆圈加星号“ * ”表示在出入城区的路口处设置了交巡警服务平台； （6）附图 2 中的不同颜色表示不同的区。 C 题求解提示： 第一问： 1. 将图变为带权图，给出距离矩阵、邻接矩阵； 2. 对每一个交巡警平台，算出其到其它各顶点之间的最短距离，折算出时间，将三分钟 内可到达点放入一个集合（第一准则） ，共计 20 个集合。 3. .对被遗漏和重复分配的节点，我们在第一准则