2015届南通市高三第三次调研测试及答案讲评建议

（第 5 题） 开始 输入 x y5 x4 yx 22x+2 输出 y 结束 YN （第 4 题） 时间（小时） 频率 组距 0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 100 125 150 南通市 2015 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 设集合 A3，m ，B3 m，3，且 AB，则实数 m 的值是 【答案】0 2 已知复数 z (i 为虚数单位)，则 z 的实部为 (1i)2 【答案】3 3 已知实数 x，y 满足条件 则 z2x+y 的最小值是 |1xy , 【答案】3 4 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其 频率分布直方图如图所示已知在 中的频数为 100，则 n 的值为 50 7)， 【答案】1000 5 在如图所示的算法流程图中，若输出的 y 的值为 26，则输入的 x 的值为 【答案】4 6 从集合1 ，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为 x，则 log2x 为整数的概率为 【答案】 9 7 在平面直角坐标系 xOy 中，点 F 为抛物线 x28y 的焦点，则 F 到双曲线 的渐近线的距离为 219yx 【答案】 105 8 在等差数列a n中，若 an+an+24n+6（nN *） ，则该数列的通项公式 an 【答案】2n+1 9 给出下列三个命题： “ab”是“3 a3 b”的充分不必要条件； “” 是“coscos”的必要不充分条件； “a0”是“函数 f(x) x3+ax2（x R）为奇函数”的充要条件 2 （第 10 题） A B CD E F （第 11 题） P 其中正确命题的序号为 【答案】 10已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积 V cm3 【答案】 216 11 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点以 A 为圆心，AE 为半径，作弧交 AD 于点 F若 P 为劣弧 上的动点，则 的最小值为 AEFPCDA 【答案】 52 12 已知函数 若函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，则 3201()5 xmxf ， ， . 实数 m 的取值范围为 【答案】 （5，0） 13在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（5，a）作圆 x2+y22ax+2y10 的两条切线，切点分别为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，且 ，则实数 a 的值为 2120yx 【答案】3 或 14已知正实数 x，y 满足 ，则 xy 的取值范围为 4310yx 【答案】1， 83 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 3 页 共 16 页 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1CAB，侧面 BCC1B1 为菱形 （1）求证：平面 ABC1平面 BCC1B1； （2）如果点 D，E 分别为 A1C1，BB 1 的中点， 求证：DE平面 ABC1 解：（1）因三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 BCC1B1 为菱形， 故 B1CBC 1 2 分 又 B1CAB，且 AB，BC 1 为平面 ABC1 内的两条相交直线， 故 B1C平面 ABC1 5 分 因 B1C 平面 BCC1B1， 故平面 ABC1平面 BCC1B1 7 分 （2）如图，取 AA1 的中点 F，连 DF，FE 又 D 为 A1C1 的中点，故 DFAC 1，EFAB 因 DF 平面 ABC1，AC 1 平面 ABC1， 故 DF面 ABC1 10 分 同理，EF面 ABC1 因 DF，EF 为平面 DEF 内的两条相交直线， 故平面 DEF面 ABC1 12 分 因 DE 平面 DEF， 故 DE面 ABC1 14 分 16 （本小题满分 14 分） 已知函数 （其中 A， ， 为常数，()sin()fxAx 且 A0， 0， ）的部分图象如图所示2 （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若 ，求 的值3sin()6 解：（1）由图可知，A2， 2 分 T ，故 ，所以， f(x) 4 分12sin() 又 ，且 ，故 2()sin(3f 6 A B C DA1 B1 C1 （第 15 题答图） E F A B C DA1 B1 C1 （第 15 题） E x y O 2 2 （第 16 题） 33 4 于是，f(x) 7 分2sin()6x （2）由 ，得 9 分3)f3i()4 所以， 12 分sin(sin2cos2()666 = 14 分11i()8 17 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 (ab0)的两焦点分别为 F1( ，0) ， 21xy3 F2( ，0)，且经过点( ， )331 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点 B，C，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 B 与点 D 关于原点 O 对称设直线 CD，CB，OB，OC 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，k 4，且 k1k2k3k4 求 k1k2 的值； 求 OB2+OC2 的值 解：（1）方法一 依题意，c ，a 2b2+3， 2 分3 由 ，解得 b21(b2 ，不合，舍去) ，从而 a2422 14b34 故所求椭圆方程为： 21xy 离心率 e 5 分32 方法二 由椭圆的定义知，2a 4，222211(3)(0)(3)(0) 即 a2 2 分 又因 c ，故 b21下略3 （2）设 B(x1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 D(x1，y 1)， y xOF1 F2 B C （第 17 题） D 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 5 页 共 16 页 于是 k1k2 8 分121yyxx122212()()4x4 方法一 由知，k 3k4k1k2 ，故 x1x2 124y 所以，(x 1x2)2(4y1y2)2，即 (x1x2)2 ， 26()4x22116()xx 所以， 4 11 分 又 2 ，故 21()()xy22114xy21y 所以，OB 2+OC2 5 14 分212y 方法二 由知，k 3k4k1k2 将直线 yk3x 方程代入椭圆 中，得 9 分 214xy21234xk 同理， 2241 所以， 4 11 分222341xk22331()kk 下同方法一 6 18 （本小题满分 16 分） 为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为 200 m，圆心角为 120的扇形地上建造市民广 场规划设计如图：内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区，其中 A，B 分别在半径 OP，OQ 上，C，D 在圆弧 上，CDAB；OAB 区域为文化展示区，AB 长为 m；其余空地为绿化区域，且APQ 503 CD 长不得超过 200 m （1）试确定 A，B 的位置，使OAB 的周长最大？ （2）当OAB 的周长最大时，设DOC = ，试将运动休闲2 区 ABCD 的面积 S 表示为 的函数，并求出 S 的最大值 解：（1）设 ，(02OAmBn ， ， ， ， 在 中， ，2 cos3OAB 即 ， 2 分2(503)n 所以， ， 4 分 222 2()()()()4mnm 所以 ，当且仅当 m=n=50 时， 取得最大值，此时 周长取得最大值10n OAB 答：当 都为 50 m 时， 的周长最大 6 分OAB、 OAB （2）当AOB 的周长最大时，梯形 ACBD 为等腰梯形 过 作 OFCD 交 CD 于 F，交 AB 于 E， 则 分别为 AB，CD 的中点，EF、 所以 ，由 ，得 8 分DOC20 (6 ， 在 中， sincosOF， 又在 中， ，故 10 分AEco253A20s5E 所以， 1(5034sin)(0s)2S 68co1 ， 12 分5(3sin64sico3)(06 ， （一直没有交代范围扣 2 分） 令 ， ，()8cosisicf( ， ， ，3in64o216sin)64cos2f (06 ， 又 y= 及 y= 在 上均为单调递减函数，16s()cs(0 ， A B C D P Q （第 18 题） O A B C D P Q （第 18 题答图） O E F 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 7 页 共 16 页 故 在 上为单调递减函数()f(06 ， 因 0，故 0 在 上恒成立，314)2f()f(6 ， 于是， 在 上为单调递增函数 14 分()f(6 ， 所以当 时， 有最大值，此时 S 有最大值为 )f 625(813) 答：当 时，梯形 面积有最大值，且最大值为 m2 16 分6ABCD 19 （本小题满分 16 分） 已知数列a n，b n中，a 1=1， ，nN ，数列 bn的前 n 项和为 Sn 21()nnab （1）若 ，求 Sn；12n （2）是否存在等比数列a n，使 对任意 n N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列2nbS an的通项公式；若不存在，说明理由； （3）若 a1a 2a n，求证：0S n2 解：（1）当 an 时，b n 2 分1()4n3 所以，S n 4 分12(182nn （2）满足条件的数列a n存在且只有两个，其通项公式为 an=1 和 an= 1() 证明：在 中，令 n=1，得 b3=b12nbS 设 an= ，则 bn= 6 分1q21()nq 由 b3=b1，得 232 若 q= ，则 bn=0，满足题设条件此时 an=1 和 an= 8 分 1() 若 q ，则 ，即 q2 =1，矛盾13 综上，满足条件的数列a n存在，且只有两个，一是 an=1，另一是 an= 10 分1() （3）因 1=a1a 2a n，故 ，0 1，于是 0 1na n2n 所以， 0，n1，2，3，21()nnb 所以，S nb1+b2+bn 0 13 分 8 又， 21()nnab11()()nnaa 11()()nn12()n 故，S nb1+b2+bn 12231()()2()naaa 21()na1()n 所以，0S n2 16 分 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 （aR） 1()lnfxx （1）若 a=2，求函数 在(1，e 2)上的零点个数（e 为自然对数的底数） ；()f （2）若 恰有一个零点，求 a 的取值集合；()fx （3）若 有两零点 x1，x 2(x1x 2)，求证：2x 1+x2 13ea 解：（1）由题设， ，故 在(1 ，e 2)上单调递减 2 分()ff 所以 在(1，e 2)上至多只有一个零点()fx 又 0，故函数 在(1，e 2)上只有一个零点 4 分2211()fx （2） ，令 0，得 x1()fx2()f 当 x1 时， 0， 在 上单调递减； )， 当 0x1 时， 0， 在(0，1) 上单调递增，()fx(fx 故 f(1)a1 6 分ma()f 当 0，即 a1 时，因最大值点唯一，故符合题设； 8 分x 当 0，即 a1 时，f(x)0 恒成立，不合题设；a()f 当 0，即 a1 时，一方面， 1， 0；max ea1()eaf 另一方面， 1， 2aea0(易证： exe x)，e(e)f 于是，f(x)有两零点，不合题设 综上，a 的取值集合为1 10 分 （3）证：先证 x1+x22 依题设，有 a ，于是 1ln2lx212lnx 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 9 页 共 16 页 记 t，t1，则 ，故 2x1lntx1lnt 于是，x 1+x2x1(t+1) ，x 1+x22 2lnt(l)tt 记函数 g(x) ，x 1 因 0，故 g(x)在 上单调递增 21 )， 于是，t1 时，g(t)g(1)0 又 lnt0，所以，x 1+x2 2 13 分 再证 x1+x2 13ea 因 f(x)0 h(x)ax1xlnx0，故 x1，x 2 也是 h(x)的两零点 由 a1lnx0，得 x (记 p ) eaa 仿（1）知，p 是 h(x)的唯一最大值点，故有 12()0.px ， 作函数 h(x) ，则 0，故 h(x)单调递增2lnlnp()h 故，当 xp 时，h( x)h( p)0；当 0xp 时，h(x)0 于是，ax 11x1lnx1 112ln 整理，得 0，21 1(ln)(l)papxp 即， 02113eeaxx 同理， 0 12()a 故， ，21a211(3e)eaax ，11()(3e)axxx 于是， 2 综上，2x 1+x2 1 16 分a 10 21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，BC 为圆 O 的直径，A 为圆 O 上一点，过点 A 作圆 O 的切线交 BC 的延长线于点 P，AH PB 于 H 求证：PA AHPCHB 证：连 AC，AB 因 BC 为圆 O 的直径，故 ACAB 又 AHPB ，故 AH2CHHB，即 5 分AHBC 因 PA 为圆 O 的切线，故 PAC B 在 RtABC 中，B+ACB 0 在 RtACH 中，CAH +ACB0 所以，HACB 所以，PACCAH， 所以， ，即 PCAHPAC 所以， ，即 PAAHPCHB 10 分B B选修 42：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（1，2） ，矩阵 ，点 012M A，B ，C 在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 ， ， ，求 的面积AABC 解：因 ， ， ，020121 即 6 分()()2ABC， ， ， ， ， 故 10 分112S C A B O P （第 21（A）题答图） H C A B O P （第 21（A）题） H 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 11 页 共 16 页 C选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，r 为常数，r0） 以原点cosinxry， O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 若直2cos()204 线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 ，求 r 的值2AB 解：由 ，得 ，2cos()204cosin0 即直线 l 的方程为 3 分xy 由 得曲线 的普通方程为 ，圆心坐标为 ， 6 分cosinxry， C22xyr(0,) 所以，圆心到直线的距离 ，由 ，则 10 分d2ABd2r D选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知实数 a，b，c，d 满足 abcd，求证： 14936abcda 证：因 abcd，故 ab0，bc 0，cd0 故 ， 6 分2149()()(13)6 所以， 10 分14936abcda 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中， 12AB （1）求 与面 所成角的正弦值；1AD （2）点 在侧棱 上，若二面角 EBDC1 的余弦值为 ，E1 3 求 的值1A 解：（1）以 为原点，DA， DC，DD 1 分别为 轴， 轴， 轴，Dxyz 建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz 设 ，则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，1AB B（1，1，0） ，C（0，1 ，0） ，D 1（0，0，2） ， A B CD A1 B1 C1D1 （第 22 题） A B CD A1 B1 C1D1 （第 22 题答图）x y z 12 A1（1，0，2） ，B 1（1，1，2） ，C 1（0，1，2） 2 分 （1）设 与面 所成角的大小为 ，D ，1(02) ， ， 设平面 的法向量为 n（x，y，z） ，1B ， ，则 ，即 (,0)D(,02) 10,DBn0,xyz 令 ，则 ，所以 ， ，1xy(1) ， ，n 11si|co,|ADn 所以 与平面 所成角的正弦值为 6 分1A1B10 （2）设 E(1，0， )，0 2 设平面 的法向量为 n1（x 1，y 1，z 1） ，平面 的法向量为 n2（x 2，y 2，z 2） ，D1BDC ，(10)()B ， ， ， ， ， 由 ，得 ，110E，n110,xyz 令 ，则 ， ， ，z1,xy(,)n1(0,2)DC 由 ，得 ，2200DBC，n220xyz， 令 z2=1，则 x2=2，y 2=2， ， ，(,1)n121224cos,|31n 所以 ，得 所以 10 分2314|1AE 23 （本小题满分 10 分） 袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如 果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋 中重复上述过程 n 次后，袋中白球的个数记为 Xn （1）求随机变量 X2 的概率分布及数学期望 E(X2)； （2）求随机变量 Xn 的数学期望 E(Xn)关于 n 的表达式 解：（1）由题意可知 X23，4，5 当 X23 时，即二次摸球均摸到白球，其概率是 P(X23) ； 138C964 当 X24 时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是 P(X24) ； 1135488C36 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 13 页 共 16 页 当 X25 时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是 P(X25) 3 分 1548C6 所以随机变量 X2 的概率分布如下表： X2 3 4 5 P 96435616 （一个概率得一分 不列表不扣分） 数学期望 E(X2) 5 分95273641 （2）设 P(Xn3+k)pk，k0，1，2，3，4，5 则 p0+p1+p2+p3+p4+p51，E(X n)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5 P(Xn+13) ，P(X n+14) p0+ p1，P (Xn+15) p1+ p2，P(X n+16) p2+ p3，088886 P(Xn+17) p3+ p4，P(X n+18) p4+ p5， 7 分7 所以，E( Xn+1) 3 p0+4( p0+ p1)+5( p1+ p2)+6( p2+ p3)+7( p3+ p4)+8( p4+ p5)8588687818 p0+ p1+ p2+ p3+ p4+ p52936476 (3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p578 E(Xn)+1 9 分 由此可知，E(X n+1)8 (E(Xn)8)7 又 E(X1)8 ，所以 E(Xn) 10 分351357()8n 南通市 2015 届高三第三次调研测试 数学 讲评建议 第 1 题 考查集合相等的概念，集合的性质. 第 2 题 考查复数及模的概念与复数的运算，考查运算求解的能力. 第 3 题 考查简单的线性规划 第 4 题 考查简单统计知识，直方图，频率、 第 5 题 考查算法流程图、简单的不等式运算，考查阅读图表的能力和计算能力. 第 6 题 考查概率的基本概念及古典概型的基本计算方法. 第 7 题 考查双曲线、抛物线的标准方程及几何性质点到直线之间的距离公式 第 8 题 考查等差数列，数列的通项公式， 考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能 力 第 9 题 考查命题的概念，充要条件，指数函数，三角函数的性质，函数的奇偶性，考查学生分析问 14 题解决问题的能力 第 10 题 空间几何体，几何体的展开图，棱柱、棱锥的体积 第 11 题 考查向量的概念，向量的数量积，向量的坐标运算知识，建系等 法一：设 P(cos，sin )，0 ，D (0，2) ，C(2，2)， 2 则 ( cos，2sin) (2cos ，2sin)PC PD 52cos 4sin 52 sin(+)52 5 5 法二：设PAB， ( )( )PC PD AD AP AB AP BC 2 4 +1 52cos4sin (下同一) AD AP AP AB 法三：设 P(x，y)，则 x2+y21， ( x，2y)(2 x，2y)52 x4y ，PC PD 因为(x+2 y)2(1+22)(x2+y2)5，所以， 52 PC PD 5 第 12 题 考查函数与方程、函数性质、分段函数、递推关系等基础知识. 考查数形结合和分类讨论 的思想方法，考查抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力 解:因为 2x3+3x2+m 在区间0,1上是增函数，所以 mx+5 在区间(1 ，) 函数， f(1)0，f(0)0，得(5,0) 第 13 题 考查圆与直线的位置关系，直线方程，直线的斜率等知识，考查数形结合，式的恒等变换 等数学思想方法 提示：由条件 ，得 ，所以，点(1,0)在直线 PC2120yxy 122yx 上，其中 C 是圆心由些可得 a=3，或2 又解： ，两式相减 21120xyaxy，1211121212()()()()0axy221 120yyxyx 由 得 代入上式21202121()()xx12yax 又 代入上式，得 ，求解后，检验。1255201a 第 14 题 考查不等式的概念，基本不等式，求最值的取值范围 南通市 2015 届高三第三次调研测试讲评建议第 15 页 共 16 页 解法一：令 xy=t，则 x= ，代入 x+ +3y+10，得所以，10= ty 2x 21(3)(4)ytt ，解得 1t 当 时，得 y= 2(3)4t81()(4)ttt 当 t=1 时，y=1，x =1；当 t= 时，y= ，x=23 所以，1t 为所求83 法二：提示由(1)可得(1+ )x210x+2+3t=0，由1004(1+ )(2+3t)0，得 1t ， 4t 4t 83 以下同一 第 15 题 本题主要考查空间几何体中线面、面面的平行与垂直的判定，考查空间想象能力试题 基本讲评时要强调规划书写与答题，注重逻辑板