考虑空间利用和温度均匀性的烤盘形状分析

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 考虑空间利用和温度均匀性的烤盘 形状分析 摘 要：烤箱是现代家庭厨房中 不可或缺的家用电器之一，如何设计一 款既能充分利用烤箱内面积、又能尽可 能避免烤糊蛋糕的烤箱及配套的烤盘具 有重要意义。本文针对烤盘形状进行研 究，主要解决了不同形状烤盘上温度分 布的计算问题，考虑了在烤盘个数最大 和温度分布均匀性最大的条件下的分别 对应的烤盘形状。而后综合考虑烤盘个 数与温度分布均匀性，给出了烤盘综合 得分的计算方法，提出了最优烤盘形状 的设计方案。我们综合考虑以上两个目 标，通过 a-方法确定权数 p 为 0.238。 我们定义二者加权后的数值为烤盘综合 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 得分。在假定烤箱形状和大小 （S=0.2 ，W/L=0.8）和烤盘面积 （A=0.02）后，我们得到最优烤盘的形 状为宽长比为 0.87 的矩形的最优圆角矩 形。 中国论文网 /1/view-13025807.htm 关键词：偏微分方程；有限元； 热传导 DOI：10.16640/ki.37- 1222/t.2018.08.184 1 烤盘形状的描述 我们设计的烤盘形状为矩形和圆 角矩形。圆角矩形可以经过原矩形由以 下变换得到：令原矩形外接圆半径为 r1，内切于矩形宽的圆的半径为 r2。以 矩形的形心为圆心，以 r（r1rr2）为 半径做一个圆，该圆与矩形相交的形状 即为圆角矩形。此模型涵盖了从扁长矩 形到圆形的所有过渡形状。 2 热传导模型的建立 由傅里叶定律得： （1） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 则在 域经过一段时间内所产生 的热量变化为： （2） 由傅里叶定律知，温度的传到速 率正比与温度梯度，则通过闭合曲面进 入欧米伽的热量为： （3） 其中：F 表示热源强度，单位时 间单位体积内放出的热量： （4） 根据热量守恒定理： 令， 即得到俗夹问降娜 维偏微分 方程 （5） 在热传导过程达到稳态时，温度 不在改变，故： 根据牛顿冷却定律，我们得到边 界条件： （6） 3 模型的求解有限元 我们采用有限元法（FEM）来计 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 算热平衡方程的数值解。借助 PDE 偏 微分方程工具箱，我们将网格划分为小 三角形来初始化网格。通过变分方法， 使得每一个节点的误差函数达到最小值 并产生稳定解，因此我们得到每个节点 上的温度值。在烤盘为矩形时，烤盘四 角温度偏高，中心温度最低，边缘温度 变化明显。现保持面积不变，将烤盘形 状由矩形变为圆形，可以得出，圆形烤 盘边缘温度分布均匀。 4 目标规划求解最优烤盘形 状 4.1 空间利用烤盘个数 N 烤箱的宽长比、面积为一个固定 的值时，最大烤盘数 N 随烤盘（面积为 A）的宽长比变化而变化。由于原角矩 形为矩形（包括正方形）做切圆角变换 得到的，因此圆角矩形的最大烤盘数与 其原矩形的最大烤盘数相等。即得到以 下关系式： （7） 4.2 温度均匀性 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 在某一个宽长比下，我们忽略了 切圆角所改变的面积，仍然假定此时圆 角矩形的面积与矩形面积相等，为 A。 而温度分布的不均匀性随切割圆的半径 变化而改变。我们定义温度不均匀系数 来衡量温度分布的不均匀性，即： （8） 4.3 多目标求解 为了得到结果，我们以市面上的 一种销量较大的烤箱作为参考，取烤箱 宽长比为 0.8，即宽为 40cm，长为 50cm。由于最后我们还将对烤箱的宽长 比做讨论，因此这并不妨碍此模型的普 遍性。用 a-方法来确定权重 p 为 0.238。 由以上约束条件和目标函数，我 们得到最终的基于线性加权法的多目标 规划模型： （9） 求解得到宽长比为 0.87 的矩形所 对应的最优圆角矩形为最优解。 5 结论 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 我们通过改变宽长比和权重，得 到每种情况下最优形状烤盘的得分的矩 阵，做出等高线图如图 1。 其中，横坐标为权重 p（0p1） ， 纵坐标为烤箱 W/L（0.2W/L1） 。图 1 中横坐标为权值 P 的从 0 到 1，可以看 出随 p 的增大，烤盘的得分基本上符合 先降低后增加的趋势，烤箱 W/L 的不 同此趋势明显程度不同。图中纵坐标为 烤箱 W/L，发现在 W/L=0.4 附近时，权 值 P 的影响较小，烤盘综合得分始终保 持一个较高的水平。如果客户更看重烤 盘个数（p 接近 1） ，则推荐 W/L 为 0.25 的烤箱。 在给定权重 p 和 W/L 的前提下， 我们就能通过查表得到最优烤盘形 状既保证布朗尼的烘烤均匀，又不 浪费烤箱空间。例如：当烤箱空间容纳 量和烤盘温度分布均匀度同等重要时， 即 p 等于 0.5，那么同时烤箱的宽度是 长度的一半，即 W/L 等于 0.