2017挑战中考数学压轴试题复习（第十版）1.7因动点产生的线段和差问题

1 7 因动点产生的线段和差问题 课前导学 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短” 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图 3， 差的最大值就是 时点 P 在延长线上，即 P 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 第二类问题是 “两点之间，线段最短”结合“垂线段最短” 如图 4，正方形 边长为 4， E点 P 在 ，点 Q 在么 长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题， 是点 Q 不确定啊 第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 对称点为 F，那么此刻 最小值是线段 第二步，应用“垂线段最短”如图 6，在点 Q 运动过程中， 最小值是垂线段 这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 是确定的 图 4 图 5 图 6 例 50 2014 年湖南省郴州市中考第 26 题 已知抛物线 y ( 1, 0)、 B(2, 0)、 C(0, 2)三点 （ 1）求这条抛物线的解析式； （ 2）如图 1，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形 面积最大？求出此时点 P 的坐标； （ 3）如图 2，设线段 垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D， 么在直线 是否存在一点 G，使 周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 郴州 26”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 边形 面积最大 拖动点 G 运动，可以体验到，当 A、 G、 小， 周长最小 思路点拨 1设交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 四边形 面积分割为三个三角形的面积和 3第（ 3）题先用几何说理确定点 G 的位置，再用代数计算求解点 G 的坐标 图文解析 （ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A( 1, 0)、 B(2, 0)两点，设 y a(x 1)(x 2) 代入点 C(0, 2)，可得 a 1 所以这条抛物线的解析式为 y (x 1)(x 2) x 2 （ 2）如图 3，连结 设点 P 的坐标为 (x, x 2) 由于 S 1， S x， S x 2， 所以 S 四边形 S S S 2x 3 (x 1)2 4 因此当 x 1 时，四边形 面积最大，最大值为 4此时 P(1, 2) （ 3）第一步，几何说理，确定点 G 的位置： 如图 4，在 ， 定值，因此当 小时， 周长最小 由于 此当 小时， 当点 G 落在 时， 小（如图 5） 图 3 图 4 图 5 第二步，代数计算，求解点 G 的坐标： 如图 6， 5， 15C，所以 552D， E 3( ,0)2 如图 7，由 y x 2219()24x ，得 M 19()24， 由 A( 1, 0)、 M 19()24， 得直线 解析式为 3322 作 x 轴于 H设点 G 的坐标为 33( , )22 由于 12， 所以 12 即 2 所以 3 3 32 ( )2 2 2 解得 38x所以 G 3 15( , )8 16 图 6 图 7 图 8 考点伸展 第（ 2）题求四边形 面积，也可以连结 图 8） 因为 面积是定值，因此当 面积最大时，四边形 面积也最大 过点 P 作 x 轴的垂线，交 因为 公共底边 的和等于 C、 B 两点间的水平距离，所以当 面积最大 设点 P(x, x 2)， F(x, x 2)，那么 2x 当 x 1 时， 大此时 P(1, 2) 例 51 2014 年湖南省湘西州中考第 25 题 如图 1，抛物线 y c 关于 的顶点在坐标原点 O，点 B 4(2 )3，和点 C( 3, 3)均在抛物线上，点 F 3(0 )4，在 点 3(0 )4，作直线 l 与 （ 1）求抛物线的解析 式和直线 （ 2）设点 D(x, y)是线段 的一个动点（点 D 不与 B、 C 重合），过点 D 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 G，设线段 长为 h，求 h 与 x 之间的函数关系式，并求出当 段 长度 h 最大，最大长度 （ 3）若点 P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结 延长，交抛物线于另一点 Q，过点 Q 作 l，垂足为 S，过点 P 作 l，垂足为 N，试判断 形状，并说明理由； （ 4）若点 A( 2, t)在线段 结 点 M 在何位置时， 值最小请直接写出此时点 M 的坐标与 最小值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 湘西 25”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 D 在 运动，可以体验到，当点 D 是 中点时， 大点击按钮（ 3），拖动点 P 运动，可以体验到， 持直角三角形的形状点击按钮（ 4），拖动点 M 运动，可以体验到， 持相等，当 垂线段时， 小 思路点拨 1第（ 2）题用 x 表示 G、 D 两点的纵坐标， 长就转化为关于 x 的二次函数 2第（ 3）题是典型 结论：抛物线上任意一点到直线 l 的距离等于它与点 F 间的距离 3第（ 4）题要经过两步说理，得到 最小值是点 A 到 图文解析 （ 1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以 y 代入点 C( 3, 3)，得 13a所以抛物线的解析式为213 设直线 解析式为 y b，代入 B 4(2 )3，、 C( 3, 3)，得 42,33 解得 13k， b 2所以直线 23 （ 2）由于点 D、 G 分别在直线 以 D 1( , 2)3 , )3 所以 h 11( 2 )33 21 1 2 5( + ) +3 2 1 2x 因此当 12x时， h 取 得最大值，最大值为 2512 （ 3）如图 2，设点 3(0 )4，为 H设直线 解析式为 34y 联立直线 34y 与抛物线213， 消去 y，得213034x 所以 x194它的几何意义是 N 94 又因为 32所以 N所以 F 所以 1 2所以 1 2 又因为 1 与 3 互余，所以 2 与 3 互余所以 直角三角形 （ 4） 最小值是 83，此时点 ( 2, )3 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（ 3）题也可以通过计