广东省广州六中11-12学年高二下学期期末考试数学理试题

广州市六中 2011-2012 学年度第二学期期末 高二理科数学试题 注意事项： 1本试题分为第卷和第卷两部分，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2答第卷前务必将自己的班级、姓名、考号涂写在答题卡上。 3第卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动， 必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。 4. 第卷必须在答题卡按题号标记位置处作答。 参考公式：线性回归直线： 。bxay 其中 ，2112)(xn yxbiniiniiiii xba 第卷 一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 ） 1若复数 ,则 （ ）2(1),)abiiabRbi A B C D2i22i 2. 曲线 在点 P（1，12）处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )3yx A-9 B-3 C9 D15 3. 上海世博会期间，有 4 名同学参加志愿工作，将这 4 名同学分配到 3 个场馆工作，要求每个场馆至少 一人， 则不同的分配方案有（ ） A.36 B.30 C.24 D.42 4. 已知离散型随机变量 服从二项分布 且 ，则 与 的值分别为 （ X),(pnB,2Enp ） A、 B、 C、 D、32,931,932, 31, 5. 已知三角形的三边分别为 ，内切圆的半径为 ，则三角形的面积为 ；四面体cba,ras(21rcb) 的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ 4321,sR ） 。 A. B.RssV)(21432 ssV)(3 1432 C. D.RssV)(4 1432 RssV)(4321 6. 已知 ， 是 的导数，若 的展开式中 的系数大于 的展开式中6)(fxa(fx)f(fxx()fx 的系数，则 的取值范围是( )：x A 或 B C D 或25a02525a52a0 7. 一个篮球运动员投篮一次得 分的概率为 ，得 分的概率为 ，不得分的概率为 （ ） ，3bc,(0,1)ab 已知他投篮一次得分的期望为 ，则 的最小值为（ ） 2 1ab A B C D 328343163 8. 已知 R 上的连续函数 满足：当 时， 恒成立；对任意的 都有)(xg0x0)(/xgRx 。又函数 满足：对任意的 ，都有 成立，当)(xgf R)()3(ff 时， 。若关于 的不等式 对任意实数 x 恒成立，则3,0x3 2()axf 的取值范围( )a A. B. C. D. 110a或 1aR 第卷 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 9. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是 . C 3H8C2H6CH4 H HH H H H HH H H H H H H CCCCCH H H H C 10. 已知 且 为偶函数，则 1 ,adx)b3cosx( dx)ba5x()tft0 ab 11. 已知 x、y 的取值如下表所示 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析，y 与 x 线性相关，且 ，则 .95a 12.已知 ， ，若向区域 上随机投(,)10,y(,)5,0Axyxy 10 个点，记落入区域 的点数为 ，则 = AE /?source=eduwk 13. 若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ax4|3|1| xa 选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14 （几何证明选讲选做题）如图，圆 上一点 在直径 上OCAB 的射影为 ， ，则 D2A5C 15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为 ，cos2 则曲线 C 上的点到直线 为参数）的距离的最大值为 .tyx(21 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（(本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和AB 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 。B10p （）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 的值；4950p （）设系统 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望A 。E 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 中， na114,32()na （1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式 ；1nan （2）证明： 12i)(N 18(本小题满分 14 分)第七届城市运动会 2011 年 10 月 16 日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运 动会组委会在某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎 叶图（单位：cm）：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ， 身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“ 非高个子 ” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 （I）如果用分层抽样的方法从 “高个子”中和“非高个子”中提取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率 是多少？（II）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人X 数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。XX C A BD O 19(本小题满分 14 分)设等差数列 的首项 ，公差 d2，前 项和为 ，naa1nnS () 若 成等比数列，求数列 的通项公式；421,S () 证明： , 不构成等比数列Nn21,nnS 20(本小题满分 14 分)已知函数 2()3(1)lnfxxax，)gxa ， (hxfg，其中 R且 . （1）求函数 )f的导函数 ()x的最小值； （2）当 3时，求函数 的单调区间及极值； （3）若对任意的 1212,(0,) xx，函数 ()hx满足 12()hx，求实数 a的取值范围. 21. (本小题满分 14 分)设函数 .22()log()lfx()x （I）求函数 的最小值；(fx （）若 ，且 ，求证： ；,mtR1t22lltmt （）若 ，且 ，1232,.,an12321.aan 求证： .212232 loglogll.n /?source=eduwk 广州市六中 2011-2012 学年度第二学期第期末考试 高二理科数学试题参考答案 1. B 2.C 3.A 4.B 5. B 6.A 7. D 8. B 9.C4H10 10. -6 11. 12. 13. 14.10 15.6.2a52)0,(45 16（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么 1-P（C）=1- P= ，解得1059 P= 4 分 5 （2）由题意， 可取 0,1,2,3， ；P（ =0）= ，P（ =1）=1030）（C10271023）（）（C P（ =2）= ，P（ =3）= 12 分12430123）（）（C 7933）（）（ 所以，随机变量 的概率分布列为： 0 1 2 3 P 1027104310729 1 0 分 故随机变量 X 的数学期望为： E =0 12 1027931024710 分. 17.解：（1） 231na)( 可化为 ， 即 3 分)1(3nna31na 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列1n 5 分an （2） 6 分 ni n121313 9 分n32 12 分21)3(1 )(n 18.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ， 2 分61305 所以选中的“高个子”有 人， “非高个子”有 人3 分26138 用事件 表示“至少有一名“高个子”被选中” ，则它的对立事件 表示A A “没有一名“高个子”被选中” ，则 5 分()PA1253C107 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 6 分07 （）依题意， 的取值为 根据茎叶图可知男的高个子有 8 人，女的有 4 人；8 分 X0,123 ， ， 54C)0(3128P528C)(314P 512C)2(3P 12 分4 因此， 的分布列如下： 0123p514528551 /?source=eduwk 14 分1531258140E 19.()解：因为 ， ， 3 分)1(naSn aS124,22aS 由于若 成等比数列 ； 因此 ，即得 6 分 421, 412n ()证明：采用反证法不失一般性，不妨设对某个 , 构成等比数列，Nm21,m 即 7 分212mS 因此有 ，化简得 9)(21()( aama 0)1(2a 分 要使数列 的首项 存在，上式中的 0然而10 分n1 (2 m)28 m(m1)4 m (2 m)0，矛盾13 分 所以，对 , 不构成等比数列14 分N21,nnS 20.解：（I） 1()33afxx，其中 0x.1 分 因为 1a，所以 0，又 ，所以 213a ，2 分 当且仅当 x时取等号，其最小值为 21.3 分 （II）当 3时， 21()ln3hxx， ()2()xh.5 分 ,()x的变化如下表： x(0, 1)(1, 2)(2, +)h 0 0 ()x 52A2ln4 6 分 所以，函数 ()h的单调增区间是 (0, 1)， , +)；单调减区间是 (1, ).7 分 函数 x在 1处取得极大值 52，在 x处取得极小值 2ln4.7 分 （III）由题意， 21()()ln(1)hxaxa. 不妨设 12x，则由 12得 12(hx.8 分 令 2()()lnFhxax，则函数 )F在 0,)单调递增. 9 分11) 0axa 在 (,恒成立. 10 分 即 2()()0Gx 在 (,)恒成立.因为 1()0, 2aG，12 分 因此，只需 214)a .解得 15a . 故所求实数 的取值范围为 5a . 14 分 21.解：（I） ，22()log(1)lxf x 1 分 22221 1()logllogl()fxexA 令 ，得 ，所以 在 递减，在 递增. 2 分0x()fx, 所以 .3 分min()()1ff （） 222 22logloglll1()log()t mt2221log(1)log()lmm 5 分22221l(1)l()llm 由（I）知当 时， ，又 ， ，x22log(1)lx1mt,tR .7 分12222 22logll()l loglmttmt （）用数学归纳法证明如下：1当 时，由（）可知，不等式成立；1n 2假设 ( )时不等式成立，nkN /?source=eduwk 即若 ，且 时，1232,.,aRk12321.kaa 不等式 成立8 分21232loglogll.k 现需证当 ( )时不等式也成立，nkN 即证：若 ，且 时，不等式11232,.aaRk 11232.aak 成立. 9 分 2 12122122loglogloglogl l. . kk kk 证明如下：设 ，1232.kxaaxaakkk .11222 则 1232 1.xxk2123loglogloglog.kxaaaxa222231 11llll .kx xaaa 2221 22123loglogl 1.(.)loglogkk kxx