概率论在高等数学中的应用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 概率论在高等数学中的应用 【摘要】高等数学是难度较大的 课程，尤其是数学课程中的计算问题及 证明问题成为数学学习的主要阻碍，概 率论是研究随机现象数量规律的数学分 支，实践证明如果在数学应用中合理地 引入概率论不仅能够提高数学解题效率， 而且还能提升学生的学习积极性.因此， 本文结合教学经验，阐述概率论引入到 高等数学中的具体应用体现，以此进一 步完善概率论发展. 中国论文网 /9/view-13002888.htm 【关键词】概率论；高等数学； 应用；效率 高等数学学习经常会遇到比较难 的计算问题，如果不能找到科学的计算 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 方法，不仅影响学生的学习兴趣，而且 还会增加解题的步骤.概率论是研究随机 现象数学规律的知识，实践证明在数学 解题过程中合理地引入概率论可以将复 杂的问题简单化，帮助学生快速地解答， 进而激发学生的学习兴趣.因此，在高等 数学的学习与应用中要巧妙地引用概率 论以提高高等数学教学的效率. 一、概率论的概述 概率论是研究随机性和不确定性 等现象的数学学科.概率论研究始于 17 世纪中期，是由瑞士数学家雅科比伯 努利在“伯努利大数定理 ”中提出的，并 且随着概率论的不断发展，其应用的领 域也在不断发展.概率论说明了理论与实 践之间的密切关系，尤其是在数学领域 内概率论已经得到全面的应用与发展， 正如拉普拉斯所说：“ 生活中最重要的 问题，其中绝大多数在实质上只是概率 的问题.”在概率论中，概率分布是基础 性概念，利用概率分布的性质可以进行 化简.就是说，使用大于 0 而小于 1 的数 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 字对某些事件发生的概率进行构造，然 后按照概率分布解决实际问题. 二、概率论在高等数学中的应用 众所周知，高等数学部分内容的 难度较大，如果采取传统的解题思路进 行计算，不仅解题的步骤烦琐，而且得 到的结果在准确性上也不高，甚至难度 大的题目还会影响学生的学习积极性， 久而久之则会导致学生对数学知识失去 兴趣，将概率论引入到高等数学应用中， 对简化解题步骤、降低题目难度都具有 积极的意义.结合教学经验，概率论在高 等数学中的应用具体体现在： （一）概率论在高等数学不等式 中的应用 概率论是研究偶然事件规律性的 数学课程，通俗讲就是事件发生可能性 的大小，随机事件就是在一定的条件下 可能发生或者可能不发生事件.不等式是 高等笛 闹匾知识点，也是学生普 遍感觉学习困难的知识点，因此，将概 率论应用到不等式中，是因为不等式与 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 概率论存在某些相似性，例如，概率论 的思想包含了对非等式问题的研究，都 是对某些概率的规律总结与研究.下面通 过以下例子进行说明. 例 1 求证：如果 k=1，2，3，n；xk0，则 x1x2x3xnx1+x2+x3+xnn. 证明首先要建模，设随机变量 分布是 P（=xb） ，b=1，2，3，在 存在 xb=0 的情况下， x1x2x3xnx1+x2+x3+xnn 显然是 成立的，在全部的 xb0 的情况下，定 义函数 f（a）=lna（a0） ，那么 f（a） =lna（ a0）就是上凸函数，则由 f（E（） ）Ef（ ）： lnnb=1xb1n=1nnb=1lnxb=E（f（a） ） f（Ea）=ln（Ea）=ln1nnb=1xb. 两边分别取 e 作为底的指数，则 可以得到 x1x2x3xnx1+x2+x3+xnn. （二）概率论在广义积分中的应 用 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 概率论是解决广义积分问题的主 要手段，也是在广义积分解题中应用比 较成熟的方法之一.另外，在高等数学中 求解级数是难度较大的题目，因此，更 应注重数学期望与方差知识的引入，进 而化简解题过程，得出结果.具体应用如 下所示： 例 2a223a-1，解答时构造服从 于 P=13 几何分布的随机变量 ，则 P（=a）=1323a-1 ；E（）=3，D（） =6. 显然 E2=E（）2+D（）=15， 并且 E2=limn=1a21323n- 1=13limn=1a223n-1=15. 最终得出n=1a223n-1 的值为 45. 其次，解答高等数学问题时可变 形被积函数，将其转变为正态分布随机 变量的数学期望，再进行适当运算，便 能顺利地解答出相关题目. 例如，求解：+- （4a2+5a+6 ）b-（a2+2a+3）da. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 分析该题目可知原被积分函数中 包含因式 b-a2+2a+3） ，因此，可先对其 进行适当整理，配方后得出 b-2b- （a+1）2.观察可知其刚好属于 =12，=-1 正态分布概率密度函数的组 成部分，所以=hb24（-1 ） 2+122+5（- 1）+6=7hb2. 最终得出原积分的数值为 7hb2. 最后，计算积分时可采用分部计 算法，但是利用该种计算方法需要多次 运用分部积分法，同时还要进行极限的 计算，因此，计算过程十分烦琐.为高效 地解答出相关题目，可借助指数分布随 机变量的数学期望解答相应题目，以降 低解题难度. （三）利用概率模型求解高等数 学问题 例如，计算nk=2Cknxkyn- k（x0，y0）这一题目时，需首先对 其进行分析.即依据不均匀规则将一枚硬 币共抛出 n 次，每次硬币掉落在地面上 时正面朝上的概率为 P=xx+y，在上抛 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 n 次整个过程中出现正面次数用字母 T 表示，于是 P=T=k=CknPk（1-p）n- k（k=0，1，2，n） ，由分布规律理 论可知： 1=nk=0PT=k =nk=0CknPk（1-P）n-k =nk=0Cknxx+ykyx+yn-k. 最后便可顺利地得出该题目的计 算结果： nk=2Cknxkyn-k=（x+y）n-yn- nxyn-1. 三、结束语 很多高等数学题目难度较大，为 降低解题难度，教学实践中教师应帮助 学生正确理