《信号分析与处理》备课教案(第三章)(3)

上次课的回顾： 着重讲解了傅立叶变换的八个性质，通过灵活利用性质， 不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化 计算。在对性质进行分析和解释的基础上，用较多的例题予 以说明和印证。 需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和 常用信号的傅立叶变换。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 103 3.4. 卷积定理 卷积定理是傅立叶变换的另一个重要特性，在信号与系 统的分析中占有很重要的地位。这个特性是以时域卷积和频 域卷积两个定理的形式表现出来的。 一、时域卷积定理 如果 那么 例1：如图所示系统冲激响应 及激励输入 的波形，试)(th)(te 利用傅立叶变换的时域卷积定理，求在 作用下系统的零状 态响应 。)(tr 解：根据信号的时域分析理论，系统的零状态响应 应为：)(tr )(thet 直接按时域求卷积的方法，可得： 式(3.4-1) 2,0)1(2)(t Atr 如果令 的傅氏变换为 ，即 。t )(jR)(trFj 由于， )(2aSAtgFejE thH 所以，根据傅立叶变换的时域卷积定理，有： 104 )()2(2)( )( aaaSASA jHjEtheFtrjR 则有， )(1jt 查教材P89页表3.2，通过简单换算即得 如式(3.4-1)，)(tr 下图表明了时域卷积定理，及时域与频域对应的运算关系。 例2：已知函数 的傅立叶变换为 ，求)(tf 2sin)(F?)(tf 解：令 ，则)(2sinaSP)()()(2P 因为 的原函数 为宽度 ，高度为1的矩形脉)(tp 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 105 冲 ，即： )(2tg)(2tgtp)(aS 根据傅立叶变换的时域卷积定理，有： ) tfFtPFP 所以， )(2ttf 对照例 1 的式(3.4-1)，可得：2,0)()()2t tgtf 图形如右图所示。tf 二、频域卷积定理 如果 那么 其中： duFjFj )()()(2121 例 3：如图所示余弦函数 ，以及矩)cos0t tAtf 形脉冲函数 。试求 的频谱函数)(2gtf ()(21f 。)(jF 解：根据频域卷积定理，可得： )()(2)()()( 211jFjtfFtfj )(tf 106 因为 )()(cos)( 0001 AtAFj 2)(2aSg 所以 )()( )(21)()( 00 0aaSASA jjj 时域与频域对应的运算关系如下图所示。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 107 例4：试求 的频谱函数 。 2sin)(tf )(jF 解：因为， ，所以Sai2tStfa 又因， )(2)(a tg 对称性 )()(22gf 线性特性 t)g 根据频域卷积定理，可得： )(2)()(21 )()(21)(2gg tSFttSFtStfFj aaaa 实际上，对照例 1 的式(3.4-1)，可得：2,0)(2)(2 g 所以， 2,0)1()(2 gjF 频谱图如右图所示。 108 3.5.周期信号的傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换 二、一般周期信号的傅里叶变换 设有一个周期函数 ，周期为 ，角频率为)(tfT （ 或 ），则其傅立叶变换存在，具体如下式f2 所示： (3.5-0) 上述式子表明：周期信号的傅立叶变换(频谱密度)由无 穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率 处，其强度等于傅立叶复系数的 倍。),210n 2 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 109 例如，对于如图所示的周期性脉冲函数 ，其周期为 ，)(tf1T 角频率 ，则可求得其傅立叶复系数 及傅立叶变换的12TnF 频谱函数 如下：)(jF 21)(1 122 nSTEdteTdtetfTF ajnjnn 当 ，可得到频谱的各次谐波谱线。,0 nannSE T Ftfj )(22)()()(1 同样令 ，得到傅立叶变换的频谱图。,21,0n 由图中可见， 和 在图形上具有相同的包络线，nF)(j 110 且都是离散频谱，但它们之间也有明显的区别。傅立叶复系 数 代表了各频谱分量的幅度，它们是有限值；而傅立叶变nF 换的频谱函数 则代表频谱密度，它们是位于 处的冲)(j n 激函数，其强度为 。nF2 例1：周期信号 如图所示，求其傅立叶变换 。)(tf )(jF 解：由图中可知，信 号 的周期 ，)(tf4T 则其角频率为： 2 则， 2114)(212nS dtedtetfTFa jnjn 所以， nannS FtfFj )2(21)()()( 另外，如果一个周期为 ，角频率为 的周期性信号 ，T)(tf 其傅立叶级数存在，且为： 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 111 ，其中： (3.5-1) ntjeFtf)( dtetfTFjnn2)(1 如果从该信号中截取一个周期，可得到一个非周期信号 ，那么其傅立叶变换与 的傅立叶级数之间的关系是)(0tf )(tf 怎么样呢？ 因为， (3.5-2)dtetfdtetf Fj TjTjtj22000 )()()( 比较式(3.5-1)和式(3.5-2)，可得： (3.5-3)nnjFT)( 10 例2：已知 ，周期函数 与函数 有如下)()(11tf )(2tf)(1tf 图所示的关系，求 。)(22tfF 解：由图中可见， 为周期函数，且其周期 ，角频率)(2tf 2T ，则截取一个周期之内的信号可以用下式表示：T2 ，)()(10tftf 112 对该式两边进行傅立叶变换可得： )()(10FF 则由式(3.5-3)可得： )()21)(10FTn 所以， n nnnF F)()( )()2)(11 3.6.抽样信号的傅里叶变换与取样定理 “抽样信号”就是从一连续信号 中，每隔一定时间)(tf 间隔抽取一个样本数值，所得到的一系列样本值构成的序列。 抽取样本的过程称之为“抽样”(或“取样”、“采样”)。 抽样过程可以在时域中进行，也可以在频域中进行。在解决 许多实际技术问题的过程中，常需要对连续信号进行抽样， 而后变成抽样信号来处理。随着数字技术及计算机科学的迅 速发展，连续信号的抽样问题具有越来越重要的意义。 抽样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以 用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信 息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，抽样定理在 连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提 供了理论依据。 本节的重点是时域抽样和时域抽样定理。 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 113 一、信号的抽样 所谓“抽样”就是利用取样脉冲序列 从连续信号)(ts 中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散)(tf 信号称为抽样信号。 冲激抽样 若 是周期为 的冲激函数序列 ，则这样对连续)(tssT)(tsT 信号 进行抽样，称之为冲激抽样。f 即， nsTttss)()( 由于 是周期函数，则其傅立叶变换为： ，其中nsStsFS)(2)( ssT2 114 又由于 在 中为 ，根据冲激函数性sTt)(）（ 2,S)(t 质，有： ， 所以stjnsnTdetSs1)(12nssnStF )(2)()( 如果连续信号 是带限信号，即 的频谱只在区间)tf )tf 为有限值，而在其余区间数值为0。),(m 则因为， (tsftfs 所以， nssnsnssFTFT S Stf )(1)()12( )(1)() 根据上述分析和图形，可以看出原信号 的频谱 ，)(tf)(F 与经 抽样后的抽样信号 的频谱 之间的关系：)(ts)(tfssF 信号分析与处理教案 第三章：傅里叶变换 上海大学机自学院自动化系 朱晓锦 115 （1）在 中保留了 ，形状上维持不变。)(sF)(F （2） 与 两者在幅度上只相差一个系数 。sT1 上面在画取样信号 的频谱时，设定 ,这时其tfs m2 频谱不发生混叠，因此能设法从 中取出 ，即从)(s)(F 中恢复原始信号 。否则将发生“频谱混叠”现象，)(tfs )(tf 而无法恢复原始信号 。 二、时域取样定理 如果抽样间隔 不够小，以至达到 ，则在频谱sTms2 以 为周期进行重复的 频谱图上，将会发生)(Fs )(sF 重叠现象，具体如下图所示。因此，从 中取出的)(sF 任一个周期都是失真了的 ，当然也就无法据此恢复出原 信号 。)(tf 116 本章小结与重点 1、频域分析的基本概念 深刻理解频域分析与频谱的概念和内涵。 2、周期信号的频谱与非周期信号的傅里叶变换 理解掌握周期信号频谱和非周期信号傅里叶变换的过程，记住周 期信号的傅立叶展开式(三角形式复指数形式)，记牢非周期信号傅里 叶正反变换的公式，对常用非周期信号的频谱要求能够记住。记住并 熟练掌握和灵活运用傅里叶变换的性质，是本章的