2017年海南省海口市高考调研测试数学试题（理科）含答案

2017 年海口市高考调研测试 数学试题（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . | 1 4M x x ， 2| 7 0N x x ，则 ） A |1 4 B |1 7 C | 0 4 D 40 z 满足 31z i i（ i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.“ 2x ”是“ 22x ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条条 54x 的展开式中，含 3x 的项的系数为（ ） A 20 B 40 C 80 D 160 出 S 值为（ ） A 3115B 75C 3117D 913 , 0 1l n , 1e x e ，在区间 0 e， 随机取一个实数 x ，则 e 的概率是（ ） A 111eC1 11 e 与直线 3 4 0及 3 4 10 0 都相切，圆心在直线 4 上，则圆 ） A 223 1 1 B 223 1 1 C 223 1 1 D 223 1 1 ，若 212m m ma a a m N,数列 前 n 项积为且 21128 ，则 m 的值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 2 1s i n 02f x x 的周期为2，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 0a ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ） A4B 34C2D8该几何体的体积为（ ） A 16 3 B 24 3 C 80 33D 26 3 23的球有一个内接正三棱锥 P ， 球的直径， 60,则三棱锥 P 的体积为（ ） A 34B 334C 934D 27 x ， y 满足程 133l o g l o g 1 , 1x y m m ，若不等式 2223 1 8 2 3a x x y a y x y 有解，则实数 a 的取值范围是（ ） A 55129 ，B 31121 ，C 3121，D 5529，第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） a ， b 满足21)32( 向量 a 与 b 的夹角为 0 ，表示的平面区域为 M ,若直线 2y k x上存在 M 内的点，则实数 k 的最大值是 22 1 0 0xy ， 的右焦点且垂于 x 轴的直线与双曲线交于 A ,B 两点，与双曲线的渐近线交于 C ,D 两点，若 513D,则双曲线离心率的取值范围为 前 n 项和为 若 8 9 7S S S ，则满足 1 0 的正整数 n 的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在锐角 中 ,设角 A ， B ,C 所对边分别为 a ， b ,c ， s i n c o s 4 s i n c o s 0b C A c A B. （ 1）求证： ; （ 2）若 , 10a ， 5b ，求 c 的值 . 18. 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标 家公司从 6 个招标总是中随机抽取 3 个总题，已知这 6 个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4 道题目，而乙公司能 正面回答每道题目的概率均为 23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的 . （ 1）求甲、乙两家公司共答对 2 道题目的概率； （ 2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. 如图所示，在四棱锥 P 中，底要 平行四边形， 30， 32D ,D ,底面 E 为 一点，且 12C . （ 1）证明： D ; （ 2）求二面角 C 余弦值 . 20. 已知椭圆 22 10a ： 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，由椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个等边三角形，它的面积为 43. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）已知动点 ,0B m n m n 在椭圆 C 上，点 0,2 3A ，直线 x 轴于点 D ,点 B 为点 B 关于 x 轴对称点，直线 x 轴于点 E ,若在 y 轴上存点 0,得 ,求点 G 的坐标 . xf x e （ e 是自然对数的底数） . （ 1）求 （ 2）若 1a ，当 3253 312ax f x x x a x m 对任意 0,x 恒成立时， m 的最大值为 1 ，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 以坐标系原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位 l 的参数方程为 c o s2 （ t 为参数 ， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为2c o s 8 s i n . （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角从标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A ,B 两点，当 变化时，求 最小值 . 等式选讲 已知函数 2f x x . （ 1）求不等式 2 40f x x 的解集； （ 2）设 73g x x m ，若关于 x 的不等式 f x g x 的解集非空，求实数 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： | 0 7N x x ， 40 . 2. B 1 111 1 1 2 2i i ，则它在复平面内对应的点为 1122，位于第二象限 . 3. A 若 2x ，则 2 4x ，从而 22x ; 若 22x ，则 2 4x ，解得 2x 或 2x . 所以，前者是后者的充分分不必要条件 . 4. D 515 4 c x ，令 2r ，得 D . 5. D 1i ， 13s； 2i ， 17S； 3i ， 913S. 6. B 当 01x时， 1xf x e e e ，当 1 时， x ，即 f x e ，所以 e 的概率是 111. 7. C 到两直线 3 4 1 0 0 的距离都相等的直线方程为 3 4 5 0 ，联立方程组3 4 5 04 ，解得 31 ，所以，半径为 1 ，从而圆 223 1 1 . 8. D 因为 212m m ma a a ，所以12 1 2m ，即 1=2 . 又 212 1 1 ，由 212 128m ，得 3m . 9. D 1 c o s 2 1 c o s 222xf x x ， 2 =，解得 =2 ，从而 1 c o s 42f x x. 函数 a 个单位后，得到新函数为 1 c o s 4 42g x x a . 0a， 4+2 ， ，当 0k 时， a 的最小傎为 8 . 10. C 该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱，在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体 1 1 3 8 0 34 3 4 4 4 42 3 4 3V . 11. B 由题意可得球 O 的半径为 2 ，如图，因为 球的直径，所以 90，60可得 2, 所在小圆圆心为 O ,可由射影定理 2A P P O P Q ,所以 1， 3,因为 O 为 的中心，所以可求出 的边长为 3 ，面积为 934，因此，三棱锥 P 的体积为 1 9 3 9 313 4 4 . 12. C 由 133l o g l o g 1 , 1x y m m ，得 1,33，又 2223 1 8 2 3a x x y a y x y ，整理得 2222m i 232x x y ，2222221 6 11 6 23223x y y ，令 1 33y ， 222 1 6 123t ，所以 221 6 2 3 123 ，易知函数 222 1 6 123t 在 113， 上递增，在 1， 3上递减 31321f ， 1 553 29f ， 55 3129 21，所以2131a. 二、填空题 13. 60 （或3） 由题可得21,c o s,21 ，故向量 a 与 b 的夹角为 60（或写成3） . 14. 2 可行域为如图所示的五边形 其内部，联立方程组 301 ，解得 12，即 1,2B ,当直线 2y k x过点 1,2B 时，m 2 . 15. 1312，易知 22因为渐近线 ，所以 2由22 5 213b 简得 513即 2225169所以 2 2 225169c a c，从而 2 169144， 解得 1312 16. 16 8 9 7S S S ，得 890 ， 970 ， 9 0a ， 98 0 . 8916 16 02 ， 17 917 0 . 满足 1 0 的正整数 n 的值为 16. 三、解答题 17.（ 1）证明： s i n c o s 4 s i n c o s 0b C A c A B， s i n c o s 4 s i n c o A c A B ， 由正弦定理，得 s i n s i n c o s 4 s i n s i n c o A C A B即 s i n c o s 4 s i n c o A B ， s i n 4 s i nc o s c o ，即 . （ 2）解： ta n 3 , t a n t a n 31 t a n t a . 由（ 1）得25 t a n 31 4 t a ， 4A ， A 为锐角， 3A, 4A . 2 2 41 0 2 5 2 5 5 ， 即 5c ，或 3c . 由 ,知 B 为锐角，所以 3c 舍去，从而 5c . 1）由题意可知，所求概 率 1 2 31 2 2 114 2 4 2333662 2 2 1113 3 2 1 5C C C . (2)设甲公司正确完成面试的题数为 X ,则 X 的取值分别为 1 ， 2 ， 3 . 124236315 ,53)2(361224 304236135 . 则 X 的分布列为 ： X 1 2 3 P 51 53 51 1 3 11 2 3 25 5 5 2 2 21 3 1 21 2 2 2 3 25 5 5 5 . 设乙公司正确完成面试的题为 Y ,则 Y 取值分别为 0 ， 1 ， 2 ， 3 . 10 27, 213 2 1 21 3 3 9P Y C , 223 2 1 42 3 3 9P Y C , 3283 3 2 7 则 Y 的分布列为 ： Y 0 1 2 3 P 271 92 94 278 1 2 4 80 1 2 3 22 7 9 9 2 7 .（或 2 3, 3, 2323 ） 2 2 2 21 2 4 8 20 2 1 2 2 2 3 22 7 9 9 2 7 3 .( 2 1 23=3 3 3 ) 由 E X D Y , D X D Y 可得，甲公司 竞标 成功的可能性更大 . 19.（ 1）证明：在 中 , 2 2 2 2 c o B A B D B A B D D B A . 不妨设 2,则由已知 3 ,得 3, 所以 222 32 3 2 2 3 12 ，所以 2 2 2A D B D B A, 所以 90，即 D ,又 底面 所以 D 所以,B D A P P A D P A B P D P A P D P A D 面面面. (2)解：由（ 1）知 A ,B ,以 D 为原点，如图所示建立空间直角坐标系D ， 设 1, 于是 (0,0,0)D ， (0, 3, 0)B , ( 1, 3, 0)C , (0,0,1)P , 因为 E 为 一点，且 12C,所以 1, 3 , 1 ，所以 1 3 2,3 3 3E, 所以 1 3 2,3 3 3, 0 , 3 , 0 ，设平面 法向量 1 1 1 1,n x y z， 则 1 1 111 3 2 03 3 230x y ，令 1 1z ，则 1 2, 0,1n 又 1, 0, 0 , 1 2 3 2,3 3 3 ,设平面 法向量 2 2 2 2,n x y z22 2 201 2 3 2 03 3 3xx y z ，令 2 1y ，则 2 0,1, 3n ， 设二面角 C 的大小为 ，由图可知2 ，则12123 1 51025 1）因为 212 3 4 32 ，所以 4a ， 23b ， 因此椭圆 C 的方程为 22116 12. （ 2）设 1,0 2,0 ,D ,B 三点共线10 2 3 2 3 ，整理得12323； 同理，由 A , B ,E 三点共线得22323. 又因为 O G D O E G ,则 t a n t a D O E G , 所以 E,即 2O G O D O E. 又 2 3 2 3n 且 0n ，所以 222221 2 1 21 2 1 2. 由于 22116 12，所以 22222 2 21 6 1 21 2 1 2 1 6 1 1 61 2 1 2 1 2 1 2n n . 所以 4t ，点 G 的坐标为 0, 4 . 1）因为 xf x e ，所以 xf x e a. 当 0a 时， xf x e a 0，所以 -+， 上单调递增 . 当 0a 时，令 xf x e a 0，得 令， xf x e a 0得 x 1 所以 上单调递减；在 1, 上单调递增 . （ 2） 3253 312ax f x x x a x m ，即 3253 312x ax e a x x x a x m 对任意 0,x 恒成立， 所以 3 2 23 1 3 13 1 3 122x e x x a x x e x x a 对任意 0,x 恒成立 . 令 2