安徽省淮南市2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

淮南市 2017届高三第二次模拟考试 数学 理科 本试卷分第 择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 考生注意事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。 2第 1卷每小题选出答案后，用 2需改动，用橡皮擦干净后，再 选出其 他答案标号。第 用 0 5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 第卷 一、选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 ,1)2(lo g,03221 ) A. 3,25 B. 25,2 C. 25,2 D. 5,32 3)21( ,则复数 z 对应的点所在象限是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 满足31，则 )4c o s ()4c o s ( （ ） A. 187B. 1825C. 187D. 18250,s s 20172017 偶函数，则 ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币 硬币正面朝上 , 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 没有相邻的两 个人站起来的概率为（ ） A. 165B. 3211C. 3215D. 216 已知函数 )0,0,0(),s )( 其部分图像如下图，则函数 )(解析式为（ ） A )421)( 4321s )( 4341s )( 42)( 输入的 63,98 则输出的结果为 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 是双曲线 :C 12222 0,( 左焦点 F 与 y 轴平行的直线交双曲线于 两点，若 是锐角三角形，则双曲线 C 的离心率范围是（ ） A. 2,1 B. 3,1 C. 2,1 D. ,2 0630202,给出下列四个命题： ;0,:1 ;012,2 ;411,:3 ;2, 224 其中真命题的是 ( ) A. 21, 43,42,的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的棱长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 3 11 如图， 中， P 是斜边 一点，且满足： ,点 在过点 , , )0,( ,则 2 的最小值为（ ） A. 2 B. 38C. 3 D. 31012 已知函数 )32()(, ，若对任意的 ),0( x ,总有 )()( 恒成立，记 32( 的最小值为 ),( 则 ),( 大值为（ ） A. 1 B. 21e D. 二、填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13 若 4)21)(1( 的展开式中 2x 项的系数为 4，则 . 14 中国古代数学经典 九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 （ 若三棱锥为鳖臑 ,且 平面 ,2 该鳖臑的外接球的表面积为 24 ，则该鳖臑的体积为 . 15 在 中，角 ,对边分别为 , 2 2 23 3 2 3 s b c b c A ，则 C 等于 . ，对角线 交于 1P ，过 1P 作 平行线交 点 1Q ，1 2P ，过 2P 作 平行线交 点 .,2 Q ，若 , ，则 P (用 , 表示 ) 三、解答 题 :本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 12 ,231 （ ） 求数列 （ ） 求数列n 项和棱柱 111 中，四边形 11菱形，111111 ,3 ,二面角 11 为6， 1 （ ） 求证：平面1面 1 （ ） 求二面角 1 的余弦值 着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也 出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为 T，其范围为，分别有 5个级别： T严重拥堵早高峰时段 (T 3 )，从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间 50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所 示： (I)据此直方图估算交通指数 T 4， 8)时的中位数和平均数； (此直方图求出早高峰一至四马路之间的 3个路段至少有 2个严重拥堵的概率是多少？ (人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35 分钟，中度 拥堵为 45分钟，严重拥堵为 60分钟，求此人用时间的数学期望 C )0(12222 O 是坐标原点， 21,别为其左右焦点，3221 M 是椭圆上一点， 21的最大值为 32 （ ）求椭圆 C 的方程 ; （ ）若直线 l 与椭圆 C 交于 两点，且 （ i）求证：2211为定值 ; （ 面积的取值范围 . 4)( （ I）讨论函数的单调性 ,并证明当 2x 时， 042 x ; （ ）证明：当 )1,0a 时，函数 )2()2(3)(22 x 有最小值，设 )(小值为 )(求函数 )(值域 . 请考生在 22、 23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22（本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 以 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 圆 ,直线 （ 直线 交于 , （） 求圆心的极坐标； （） 直线 l与 ，求 B 23.（本小题满分 10分）选修 4等式选讲 设函数 21)(,22 ） 求不等式 )( 的解集； （） 若 , 2 恒成立，求实数 t 的取值范围 淮北二模理科数学参考答案 一、选择题 、填空题 13. 15 6. ,（没注明 不扣分） 三、解答题 17. 解：（ 1）证明：设公比为 q ，由题意得： 111112 222aa ，即1a a q 所以 P ,又 3112，1 2a所以 1,na n n N 6分 （ 2）由（ 1）得 122n由错位相减法或裂项相消发求得 332n 12分 18.（ 1） 证明：在三棱柱 111 中，由1 1 1 1C B A A B B 面得11C B A A B B 面，则1B， 2分 又 11菱形 , 得11 B,而1 B B, 则11 面, 4分 故平面 1面 . 5分 （ 2） 由题意得11正三角形， 取11，连 D, 则11 B,又11B易得11 B,则 为二面角 11 的平面角， 因 1, =6,所以 3, 所以1 1 1 1 2A B B B A B过11, 作1C,垂足为 E ,连 则 为 二面角 1 的平面角， 9分 又 5 ,35O E A O得 455以 1 12 分 另：建系用向量法相应给分。 1)由直方图知： T 4， 8)时交通指数的中位数在 T 5， 6)， 且为 5 1356 2分 T 4， 8)时交通指数的平均数为： 4分 (2)设事件 1条路段严重拥堵”，则 P(A) 则 3条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的 概率为： P 110)2(1 110) 110)3 7250， 所以 3条路段中至少有 2条路段严重拥堵的概率为 7250. 8分 (3)由题意，所用时间 X 30 35 45 60 P E(X) 30354560 所以此人上班路上所用时间的 数学期望是 12分 （ 1） 由题意得 2, 1， 得椭圆方程为： 2 2 14x y 4分 （ 2） i)当 ,率都存在且不为 0时，设 :y 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x 2 14y y 消 y 得 21 2414x k ， 22 2 211 2414ky k x k 同理得 222 244 kx k ， 2222144 故22 2 2 2 21 1 2 21 1 1 1 54x y x O Q 7分 当 ,率一个为 0，一个不存在时，得221 1 1 1 54 1 4O P O Q 综上得221 1 54O P O Q，得证。 8分 （未讨论斜率这扣 1分） 当 ,率都存在且不为 0时， 2222221 1 4 4 4 42 2 1 4 4O P P O 242129421 又 2242 429 9 902 1 42 1 2 所以 4 15 . 当 ,率一个为 0，一个不存在时 , 1综上得 4 15 12分 （未讨论斜率这扣 1分） （ 1） 由 24)( 22224 ( 2 )( ) 0 , ( 4 )( 4 ) 4 ( 4 )x e e xx x x 故 () , 4 ) ( 4 , ) 和 上单调递增， 3分 当 2x 时，由上知 ( ) ( 2 ) 1f x f ， 即 2 14 xx ，即 042 x ，得证 . 5分 （ 2 ） 对2 ( 2 )x a x x 求导，得2233( 4 ) e e ( 4 ) 4()( 2 ) ( 2 )xx a ，2x 6分 记2( ) e4 ， 2x 由（）知，函数 ()x 区间 ( 2, ) 内单调递增， 又 ( 2 ) 1 0a ， (0) 0a ， 所 以 存 在 唯 一 正 实 数0x， 使 得00002( ) e 02 于是，当0( 2, )时， ( ) 0x ， ( ) 0 ，函数 ()区间0( 2, )x内单调递减； 当0( , )时， ( ) 0x ， ( ) 0 ，函数 ()区间0( , )x 内单调递增 所以 () ( 2, ) 内有最小值0 2 00 20( 2 )x a x ， 由题设即0 2 020 ( 2 )x a x x 9分 又因为0 200e4 x 所以0 2001( ) ( ) e4 xh a g x x 根据（）知， () ( 2, ) 内单调递增，0 200e ( 1 , 0 4 xx ，所以020x 令21( ) e ( 2 0 )4 xu x ，则23( ) e 04 x ，函数 ()区间 ( 2,0 内单调递增， 所以 ( 2 ) ( ) ( 0 )u u x u ， 即函数 ()值域为21e( , 24 12分 1）由 4 ,得 2 4 ,得 224x y y ,故圆 C 的普通方程为2240x y y ,所以圆心坐标为 0,2 ,圆心的极坐标为 2,2. 4分 （ 2）把3222 代入 2240x y y 得 2 4t ， 所以点 A、 22, 2 令 202t得点 P 对应的参数为0 4t 所以1 0 2 0 2 4 2 4 6 2 8P A P B t t t t 10分 法二：把3222 化为普通方程得 3 23 令 0y 得点 坐标为 (2 3,0)P ，又因为直线 l 恰好经过圆 故 222 2 ( 2 3 0 ) ( 0 2 ) 8P A P B