【数学】江苏省常州市部分四星级中学11～12学年度高二第一学期期末联考

常州市部分四星级中学 20112012 学年度第一学期期末联考 高 二 数 学 试 卷 (考试时间：120 分钟，满分 160 分) 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1已知 iz，则复数 z的共轭复数是 ； 2抛物线 2xy的焦点坐标为 ； 3空间直角坐标系中，点 1,23P关于 yOz平面的对称点坐标为 ； 4设 ,为两个不重合的平面， nm是两条不重合的直线，给出下列四个命题： 若 m， n， /， /，则 /； 若 ,与 相交且不垂直，则 n与 不垂直； 若 ，则 n ； 若 /,/nm，则 m其中所有真命题的序号是 5.设关于 x的方程 2(ta)(2)0ixi有实数根，若 是一个三角形的内角，则 的值为 ； 6以 12(,0),F为焦点的椭圆过点 ,3M，则该椭圆的离心率为 ； 7.已知命题 :px，命题 axq:，若 p是 q的充分条件，则实数 a的取值范围 是 ； 8.双曲线 012ytx的一条渐近线与直线 012yx垂直，则双曲线的离心率 为 9.已知实数 ,xy满足 3,2, 则函数 2zxy的最小值是 ； 10复数 z满足 34i1(是虚数单位)，则 的取值范围是 11在三棱锥 ABCD中，侧棱 ,ABCD两两垂直， 1,2ABCD,则三棱 锥 的外接球的表面积为 ； 12若椭圆 12byax的焦点在 x轴上，过点 (2,4)作圆 24xy的切线，切点分别 为 A， B，直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 13.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且 底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱 锥、三棱柱的高分别为 123,h，则 123:h的值为 ； 14.已知圆 2:Oxy（ 为坐标原点） ，圆 22:()(4)Cxy，过动点 M分 别作圆 的切线 ,MAB,圆 的切线 ,PMQ（ ,AB为切点） ，若 PA，则cosPQ 的最小值为 ； 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本题满分 14 分） 已知点 2,3,，直线 l： (2)(1)(2)0()axyaR； （1）求当直线 l与直线 PQ平行时实数 的值； （2）求直线 所过的定点（与 a的值无关的点） M的坐标； （3）直线 l与线段 （包含端点）相交，求实数 a的取值范围； 16. （本题满分 14 分） 已知命题 p：“ 21,0xxa”与命题 q：“2,80xRa ”，若 p或 q真， 且 假，求实数 a的取值范围。 17. （本题满分 15 分） 如图：正方形 ABCD和四边形 EF所在平面互相 垂直, EF/, = 2, 1； (1)求证： /面 (2) 面 面 AC； （3）若 ,求 到面 的距离； 18. （本题满分 15 分） 设平面内与两定点 1(,0)Aa， 2(,)0a连线的斜率之积等于非零常数 m的点 的轨迹，加上 1、 2两点所成曲线 C， （1）求曲线 的方程； （2）根据 m不同取值，讨论曲线 的形状和位置。 19.（本题满分 16 分） 常州市拟建一个半径为五百米的圆形公共绿地供市民休闲健身，如图。过圆心 O有 东西向主干道 AB和南北向主干道 CD，绿地边界上距 AB四百米的 P处是某名人故居，PQ 为南北向的一条便道。为方便市民参观，需修更多通往故居的道路（直路） 。 （1）一条从故居起南偏西 60的贯穿绿地的道路 PM有多长？（用百米做长度单位，结 果可以保留无理数） （2）从故居起修两条与 PQ成等角的道路,PEF ，再修一条连通 ,EF的便道，问 的方向是否与 的位置有关？请说明理 由。 E A B D C O F P Q M 20 （本题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 21(0)xyab 的左右焦点为 12,F， M是 椭圆上任一点， 12MFA面积的最大值为 ，椭圆的内接矩形（矩形的边与椭圆的对称轴平 行）面积的最大值为 ，(1)求椭圆的方程；(2)设 ,MAB是椭圆上异于顶点的三点， 且存在锐角 ，使 cosinOOB (i)求证：直线 O与 的斜率之积为定值； (ii)求 20B的值。 一、填空 1、 i；2、 )81,0( ；3 、 ,2；4、 ；5、 4；6、 12；7、 (,2；8、5 ；9、 3；10、 4,6；11、 ；12、 2xy ； 13、 22；14、 149；3 二、解答题 15、解：（1） 5PQk,得：平行时 31a4 分 （2） (0,)M，8 分 （3）斜率为 12a； ,3MPQk；10 分 如图所示， ，得 1a或 414 分（没有图，扣 2 分） 另解：直线 l与线段 （包含端点）相交，则：2()3(12)()3(2)()(12)0kaa 即6850a ，得 1或 4a； 16、解：命题 p：对 2min,()xx，即 23 分 命题 q： 2()48)，即 或 a6 分 或 真， 且 假，有两种情况：“ p真 q假”和“ p假 q真” 8 分 “ p真 假”即： 114224a 10 分 “ 假 q真”即： 2aa或12 分 综上：满足条件的实数 的取值范围是： 1(4,2,)14 分 17、证明：记正方形 ABCD的中心为 O； （1）去证 F/OE5 分 （2）去证： 面 10 分 （ BDAC， 是相互垂直的面 ABCD和面 EF 的交线） （3） FEO（正方形的对角线） ，则 面 ， ,O交于 M； C即为 所 求， 2CM；15 分 18、解：（1）设动点为 M，其坐标为 (,)xy， 当 xa时，由条件可得 12 2,Aykmaxa 5 分 即 22()myxa，又 2(,0)(,)A的坐标满足 22,ya 故依题意，曲线 C 的方程为 2.my7 分 （2）当 1,时 曲线 C 的方程为 21,xCa 是焦点在 y 轴上的椭圆；9 分 当 m时，曲线 C 的方程为 22y，C 是圆心在原点的圆； 11 分 当 10时，曲线 C 的方程为 221xam，C 是焦点在 x轴上的椭圆； 13 分 当 m时，曲线 C 的方程为 2,xy C 是焦点在 x轴上的双曲线。15 分 19、解：分别以 AB、 D为 ,轴建立平面直角坐标系，长度单位：百米； (3,4)P 圆 O的方程： 25xy2 分 （1） PM的斜率 3Pk， M： 340xy，原点到 M的距离432d ， 427 分 （2）设 PE的斜率为 k， PE： 34ykx，代入 25xy得：22(1)(68)90kxx 9 分 因为 PE过 (3,4)，所以 3x是方程一个根，由韦达定理知，方程的另一个根为：281k ；即 22846,)11kk 12 分PF 的斜率为 ，则 2234(,)Fkk 14 分E 的斜率为： 164，故 E的方向与 P的位置无关16 分 20、解：(1)依题意， bc 1 分；2|12|xyxyaaba 当且仅当 |bxay时等号成立； 椭圆的内接矩形面积为 4|22 4 分； 由解得： ,1b，所以椭圆的方程为 1y 6 分 (2) (i)设 (,)Mxy，A(x 1，y 1)，B( x2，y 2)，则 21x ， 21xy 因 cosinOO，故 12cosin,. 8 分 因 在椭圆上，故