【经典例题剖析】一次函数

第十一章 一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的形式，则称 y 是 x 的一 次函数（x 为自变量） ，特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的 正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= x 等都是一次21 函数，y= x，y=-x 都是正比例函数.21 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一 切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，b0）中的 “一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须 是不为零的常数，b 可为任意常数. （3）当 b=0，k0 时，y= kx 仍是一次函数. （4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数. 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量 x 与所对应的 y 的值分别作为 点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象 2 一般分为三步：列表、描点、连线 知识点 3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0）的图 象是一条直线，所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直 线 y=kx+b 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图 象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可， 一般选取两个特殊点：直线与 y 轴的交点（0，b） ，直 线与 x 轴的交点（- ，0）.但也不必一定选取这两个特kb 殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点 （0，0） ， （1，k）即可. 知识点 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0） 的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大， 直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） ，|k|越小， 直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ； 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 （3）b 的正、负决定直线与 y 轴交点的位置； 当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上； 当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上； 当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数 （4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也 不同； 如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线 经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限） ； 如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线 经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限） ； 如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线 经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限） ； 如图 1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线 经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限） （5）由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小， k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角， 因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析， 例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数 y=x 向上平 移一个单位得到的 4 知识点 3 正比例函数 y=kx（k0）的性质 （1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点； （2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的 增大而增大； （3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的 增大而减小 知识点 4 点 P（x 0，y 0）与直线 y=kx+b 的图象的关 系 （1）如果点 P（x 0，y 0）在直线 y=kx+b 的图象上， 那么 x0,y0的值必满足解析式 y=kx+b； （2）如果 x0，y 0是满足函数解析式的一对对应值， 那么以 x0，y 0为坐标的点 P（1，2）必在函数的图象 上 例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时， y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P（2，1）不满足解析式 y=x+1，因为当 x=2 时， y=3，所以点 P（2，1）不在直线 y=x+l 的图象上 知识点 5 确定正比例函数及一次函数表达式的条 件 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 （1）由于正比例 函数 y=kx（k0）中只 有一个待定系数 k，故 只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点）就 可求得 k 的值 （2）由于一次函 数 y=kx+b（k0）中有 两个待定系数 k，b，需要两个独立的条件确定两个关于 k，b 的方程，求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个 点或两对 x，y 的值 知识点 6 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数） ， 再根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从 而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系 数也叫待定系数例如：函数 y=kx+b 中，k，b 就是待 定系数 知识点 7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般 步骤 6 （1）设函数表达式为 y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程 （组） ； （3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（- 1，-3）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为 ykx+b（k0） ， 由题意可知，,321bk 解 .35 ,4b 此函数的关系式为 y= 354x 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系 式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数 “设”关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且 k0） ；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方 程（或方程组） ，解这个方程（或方程组） ，求出待定系 数 k，b） ；第三步，求（把求得的 k，b 的值代回到“设” 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 的关系式 y=kx+b 中） ；第四步，写（写出函数关系式）. 思想方法小结 （1）函数方法 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数 量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题 的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系， 灵活运用函数方法可以解决许多数学问题 （2）数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决 问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的 问题时，能起到事半功倍的作用 知识规律小结 （1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响 当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 b=0 时，直线经过原点； 当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交 当 k，b 异号时，即- 0 时，直线与 x 轴正半kb 轴相交； 当 b=0 时，即- =0 时，直线经过原点；k 当 k，b 同号时，即- 0 时，直线与 x 轴负半轴b 8 相交 当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限； 当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限； 当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限； 当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限； 当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限； 当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四象限 （2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位 置关系 直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0) 当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得 直线 y=kx+b； 当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可 得直线 y=kx+b （3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k 10 ，k 20）的位置关系 k 1k 2 y1与 y2相交； 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 y1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b 1）21bk 或（0，b 2） ； y1与 y2平行；21,k y1与 y2重合.21,b 典例剖析 基本概念题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例 函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正 比例函数的条件 例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例 函数？ （1）y=- x； （2）y=- ； （3）y=-3-5x；x2 （4）y=-5x 2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)1 -x2. 分析 本题主要考查对一次函数及正比例函数的 概念的理解 10 解：（1） （3） （5） （6）是一次函数， （l） （6）是 正比例函数 例 2 当 m 为何值时，函数 y=-（m-2）x +（m-32m 4）是一次函数？ 分析 某函数是一次函数，除应符合 y=kx+b 外， 还要注意条件 k0 解：函数 y=（m-2）x +（m-4）是一次函数，32m m=-2.,0)2(13m 当 m=-2 时，函数 y=（m-2）x +（m-4）是一次32m 函数 小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项 （或自变量）的指数为 1，系数不为 0而某函数若是 正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为 0 基础知识应用题 本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数 关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数） 图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数 的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 函数的表达式 例 3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超 过 18kg，并且每挂 1kg 的物体，弹簧就伸长 05cm， 写出挂上物体后，弹簧的长度 y（cm）与所挂物体的质 量 x(kg）之间的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围， 并判断 y 是否是 x 的一次函数 分析 （1）弹簧每挂 1kg 的物体后，伸长 05cm，则挂 xkg 的物体后，弹簧的长度 y 为 （l5+05x）cm，即 y=15+05x （2）自变量 x 的取值范围就是使函数关系式有意 义的 x 的值，即 0x18 (3)由 y=15+05x 可知，y 是 x 的一次函数 解：（l）y=15+05x （2）自变量 x 的取值范围是 0x18 （3）y 是 x 的一次函数 学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约 600 千 米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为 58 千米时， 则火车离库尔勒的距离 s（千米）与行驶时间 t（时） 之间的函数关系式是 . 12 老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图 1119 所示 火车从乌鲁木齐出发，t 小时所走路程为 58t 千米， 此时，距离库尔勒的距离为 s 千米，故有 58t+s=600， 所以，s=600-58t 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M（） 是时间 t（时）的函数：M=t 2-5t+100（其中 t=0 表示中 午 12 时，t=1 表示下午 1 时） ，则上午 10 时此物体的温 度为 分析 本题给出了函数关系式，欲求函数值， 但没有直接给出 t 的具体值从题中可以知道，t=0 表 示中午 12 时，t=1 表示下午 1 时，则上午 10 时应表示 成 t=-2，当 t=-2 时，M=（-2） 3-5（-2） +100=102（） 答案：102 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 （2）当 x=4 时，求 y 的值； （3）当 y=4 时，求 x 的值 分析 由 y-3 与 x 成正比例，则可设 y-3=kx，由 x=2，y=7，可求出 k，则可以写出关系式 解：（1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设 y- 3=kx 把 x=2，y=7 代入 y-3=kx 中，得 7-32k， k2 y 与 x 之间的函数关系式为 y-3=2x，即 y=2x+3 （2）当 x=4 时，y=24+3=11 （3）当 y4 时，4=2x+3，x= .21 学生做一做 已知 y 与 x+1 成正比例，当 x=5 时， y=12，则 y 关于 x 的函数关系式是 . 老师评一评 由 y 与 x+1 成正比例，可设 y 与 x 的 函数关系式为 y=k（x+1）. 再把 x=5，y=12 代入，求出 k 的值，即可得出 y 关 于 x 的函数关系式 设 y 关于 x 的函数关系式为 y=k（x+1）. 14 当 x=5 时，y=12， 12=（5+1）k，k=2 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2 【注意】 y 与 x+1 成正比例，表示 y=k(x+1)，不 要误认为 y=kx+1. 例 6 若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x 1，y 1）和点 B（x 2，y 2） ，当 x1x 2时，y 1y 2，则 m 的取值范围是（ ） AmO Bm0 Cm DmM21 分析 本题考查正比例函数的图象和性质，因为 当 x1x 2时，y 1y 2，说明 y 随 x 的增大而减小，所以 1-2mO,m ，故正确答案为 D 项 学生做一做 某校办工厂现在的年产值是 15 万元， 计划今后每年增加 2 万元 （1）写出年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的 函数关系式； （2）画出函数的图象； 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 （3）求 5 年后的产值 老师评一评 （1）年产值 y（万元）与年数 x（年） 之间的函数关系式为 y=15+2x （2）画函数图象时要特别注意到该函数的自变量 取值范围为 x0，因此，函数 y=15+2x 的图象应为一条 射线 画 函数 y=12+5x 的图象 如图 1121 所示 （3）当 x=5 时，y15+25=25（万元） 5 年后的产值是 25 万元 例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122 所 示，求函数表达式 分析 从图象上可以看出，它与 x 轴交于点（- 16 1，0） ，与 y 轴交于点（0，-3） ，代入关系式中，求出 k 为即可 解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，- 3）两点， 代入到 y=kx+b 中，得 ,03bk.3, 此函数的表达式为 y=-3x-3. 例 8 求图象经过点（2，-1） ，且与直线 y=2x+1 平 行的一次函数的表达式 分析 图象与 y=2x+1 平行的函数的表达式的一 次项系数为 2，则可设此表达式为 y=2x+b，再将点 （2，-1）代入，求出 b 即可 解：由题意可设所求函数表达式为 y=2x+b， 图象经过点（2，-1） ， -l=22+b b=-5， 所求一次函数的表达式为 y=2x-5. 综合应用题 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综 合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际 生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题 例 8 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比 例 （1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？ 分析 判断某函数是一次函数，只要符合 y=kx+b（k，b 中为常数，且 k0）即可；判断某函数 是正比例函数，只要符合 y=kx(k 为常数，且 k0)即 可 解：（1）y 是 x 的一次函数 y+a 与 x+b 是正比例函数， 设 y+a=k(x+b)（k 为常数，且 k0） 整理得 y=kx+（kb-a） k0，k，a，b 为常数， y=kx+(kb-a)是一次函数 （2）当 kb-a=0，即 a=kb 时， y 是 x 的正比例函数 18 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球 通”使用者先交 50 元月租费，然后每通话 1 分，再付 电话费 04 元；“神州行”使用者不交月租费，每通 话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若 1 个月内 通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为 y1元和 y2元 （1）写出 y1，y 2与 x 之间的关系； （2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费 用相同？ （3）某人预计一个月内使用话费 200 元，则选择 哪种通讯方式较合算？ 分析 这是一道实际生活中的应用题，解题时 必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方 可得出正确结论 解：（1）y 1=50+04x（其中 x0，且 x 是整数） y2=06x（其中 x0，且 x 是整数） (2)两种通讯费用相同， y 1=y2， 即 50+04x=06x x250 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 一个月内通话 250 分时，两种通讯方式的费用相 同 （3）当 y1=200 时，有 200=50+04x， x=375（分） “全球通”可通话 375 分 当 y2=200 时，有 200=06x， x=333 （分） 31 “神州行”可通话 333 分31 375333 ， 选择“全球通”较合算 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0 （1）求 y 与 x 之间的函数 关系式； （2）画出函数的图象； （3）观察图象，当 x 取何 值时，y0？ （4）若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值； （5）设点 P 在 y 轴负半轴上， （2）中的图象与 x 20 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，且 SABP =4，求 P 点的坐 标 分析 由已知 y+2 与 x 成正比例，可设 y+2=kx，把 x=-2，y=0 代入，可求出 k，这样即可得到 y 与 x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进 行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把 x=m，y=6 代入即可求出 m 的值 解：（1）y+2 与 x 成正比例， 设 y+2=kx（k 是常数，且 k0） 当 x=-2 时，y=0 0+2k（-2） ，k-1 函数关系式为 x+2=-x， 即 y=-x-2 （2）列表； x 0 -2 y -2 0 描点、连线，图象如图 1123 所示 （3）由函数图象可知，当 x-2 时，y0 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 当 x-2 时，y0 (4)点（m，6）在该函数的图象上， 6=-m-2, m-8 （5）函数 y=-x-2 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点， A（-2，0） ，B（0，-2） S ABP = |AP|OA|=4，21 |BP|= .48|OA 点 P 与点 B 的距离为 4 又B 点坐标为(0，-2),且 P 在 y 轴负半轴上， P 点坐标为(0，-6). 例 11 已知一次函数 y=（3-k）x-2k 2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线 y=-x？ （4）k 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方 程；图象与 y 轴的交点在 y 轴上方，说明常数项 bO； 22 两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大 而减小，说明一次项系数小于 0 解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数 k-2,0382k 当 k=-3 时，它的图象经过原点 （2）该一次函数的图象经过点（0，-2）. -2=-2k 2+18，且 3-k0， k= 1 当 k= 时，它的图象经过点(0，-2)0 （3）函数图象平行于直线 y=-x， 3-k=-1， k4 当 k4 时，它的图象平行于直线 x=-x （4）随 x 的增大而减小， 3-kO k3 当 k3 时，y 随 x 的增大而减小 例 12 判断三点 A（3，1） ，B（0，-2） ， 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 C（4，2）是否在同一条直线上 分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点， 求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入 表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明 不在此直线上 解：设过 A，B 两点的直线的表达式为 y=kx+b 由题意可知， ,0231bk.2,1 过 A，B 两点的直线的表达式为 y=x-2 当 x=4 时，y=4-2=2 点 C（4，2）在直线 y=x-2 上 三点 A（3，1） ， B（0，-2） ，C（4，2）在同一 条直线上 学生做一做 判断三点 A（3，5） ，B（0，-1） ， C（1，3）是否在同一条直线上. 探索与创新题 主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分 类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用 24 例 13 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学 们讨论下列问题： （1）x 从 0 开始逐渐增大时，y=2x+8 和 y=6x 哪一 个的函数值先达到 30？这说明了什么？ （2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？ 甲生说：“y=6x 的函数值先达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快 ” 乙生说：“直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的 ” 你认为这两个同学的说法正确吗？ 分析 （1）可先画出这两个函数的图象，从图 象中发现，当 x2 时，6x2x+8，所以，y=6x 的函数 值先达到 30 （2）直线 y=-x 与 y=-x+6 中的一次项系数相同， 都是-1，故它们是平行的，所以这两位同学的说法都是 正确的 解：这两位同学的说法都正确 例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游， 用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优 惠 ”乙旅行社说：“所有人按全票价的 6 折优惠 ”已 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 知全票价为 240 元 （1）设学生人数为 x，甲旅行社的收费为 y 甲 元， 乙旅行社的收费为 y 乙 元，分别表示两家旅行社的收费； （2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 分析 先求出甲、乙两旅行社的收费与学生人 数之间的函数关系式，再通过比较，探究结论 解：（1）甲旅行社的收费 y 甲 （元）与学生人数 x 之间的函数关系式为 y 甲 =240+ 240x=240+120x.2 乙旅行社的收费 y 乙 （元）与学生人数 x 之间的函 数关系式为 y 乙 =24060（x+1）=144x+144 （2）当 y 甲 =y 乙 时，有 240+120x=144x+144， 24x96，x=4 当 x=4 时，两家旅行社的收费相同，去哪家都可 以 当 y 甲 y 乙 时，240+120x144x+144， 24x96，x4 26 当 x4 时，去乙旅行社更优惠 当 y 甲 y 乙 时，有 240+120x140x+144， 24x96，x4 当 x4 时，去甲旅行社更优惠 小结 此题的创新之处在于先通过计算进行讨论， 再作出决策，另外，这两个函数都是一次函数，利用图 象来研究本题也不失为一种很好的方法 学生做一做 某公司到果园基地购买某种优质水果， 慰问医务工作者.果园基地对购买量在 3000 千克以上 （含 3000 千克）的有两种销售方案甲方案：每千克 9 元，由基地送货上门；乙方案：每千克 8 元，由顾客 自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费 为 5000 元 （1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元） 与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，并写 出自变量 X 的取值范围； （2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案 付款少？并说明理由 老师评一评 先求出两种购买方案的付款 y（元） 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式，再通 过比较，探索出结论 （1）甲方案的付款 y 甲 （元）与所购买的水果量 x（千克）之间的函数关系式为 y 甲 =9x（x3000） ； 乙方案的付款 y 乙 （元）与所购买的水果量 x（千克） 之间的函数关系式为 y 乙 =8x+500O（x3000） （2）有两种解法： 解法 1：当 y 甲 =y 乙 时，有 9x=8x+5000， x=5000 当 x=5000 时，两种方案付款一样，按哪种方案 都可以 当 y 甲 y 乙 时，有 9x8x+5000， x5000 又x3000， 当 3000x5000 时，甲方案付款少，故采用甲 方案 当 y 甲 y 乙 时，有 9x8x+5000， 28 x5000 当 x500O 时，乙方案付款少，故采用乙方 案 解法 2：图象法，作出 y 甲 =9x 和 y 乙 =8x+5000 的函 数图象，如图 1124 所示，由图象可得：当购买量大 于或等于 3000 千克且小于 5000 千克时，y 甲 y 乙 ,即选 择甲方案付款少；当购买量为 5000 千克时，y 甲 y 乙 即 两种方案付款一样；当购买量大于 5000 千克时，y 甲 y 乙 ，即选择乙方案付款最少 【说明】 图象法 是解决问题的重要方法， 也是考查学生读图能力 的有效途径. 例 15 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是- 3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，则这个 函数的解析式为 . 分析 本题分两种情况讨论：当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，则有：当 x=-3，y=-5；当 x=6 时， 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 y=-2，把它们代入 y=kx+b 中可得 ,6235bk 函数解析式为 y=- x-4 ,431bk31 当 kO 时则随 x 的增大而减小，则有：当 x=-3 时，y=-2；当 x=6 时，y=-5，把它们代入 y=kxb 中可 得 函数解析式为 y=- x-3.,6532bk ,3131 函数解析式为 y= x-4，或 y=- x-3. 答案：y= x-4 或 y=- x-3.3131 【注意】 本题充分体现了分类讨论思想，方程思 想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面. 中考试题预测 例 1 某地举办乒乓球比赛的费用 y（元）包括两部 分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b（元） ， 另一部分与参加比赛的人数 x（人）成正比例，当 x=20 时 y=160O；当 x=3O 时，y=200O （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； 30 （2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由 运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 分析 设举办乒乓球比赛的费用 y（元）与租用比 赛场地等固定不变的费用 b（元）和参加比赛的人数 x（人）的函数关系式为 y=kx+b（k0）. 把 x=20，y=1600；x=30，y=2000 代入函数关系式， 求出 k，b 的值，进而求出 y 与 x 之间的函数关系式， 当 x=50 时，求出 y 的值，再求得 y50 的值即可 解：（1）设 y1=b，y 2=kx（k0，x0） ， y=kx+b 又当 x=20 时，y=1600；当 x=30 时,y=2000， ,30216bk.80,4 y 与 x 之间的函数关系式为 y=40x+800（x0）. （2）当 x=50 时，y=4050+800=2800（元） 每名运动员需支付 280050=56（元 答：每名运动员需支付 56 元 例 2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=-4 时，y 的值 为 9；当 x=2 时，y 的值为-3 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 （1）求这个函数的解析式。 （2）在直角坐标系内画出这个函数的图象 分析 求函数的解析式，需要两个点或两对 x，y 的值，把它们代入 y=kx+b 中，即可求出 k 在的值，也 就求出这个函数的解析式，进而画出这个函数的图象 解：（1）由题意可知 ,2349bk.12 这个函数的解析式为 x=-2x+1. (2)列表如下： x 0 21 y 1 0 描点、连线，如图 1126 所 示即为 y=-2x+1 的图象 例 3 如图 1127 所示，大拇 指与小拇指尽量张开时，两指尖的 距离称为指距某项研究表明，一般情况下人的身高 h 是指距 d 的一次函数，下表是测得的指距与身高的一组 32 数据 指距 d/cm 20 21 22 23 身高 h/cm 160 169 178 187 （1）求出 h 与 d 之间的函数关系式；（不要求写 出自变量 d 的取值范围） （2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是 多少？ 分析 设 h 与 d 之间的函数关系式是 h=kd+b（k0） 当 d20 时，h=160；当 d=21 时,h=169 把这两对 d,h 值代人 h=kd+b 得 ,21690bk.20,9 所以得出 h 与 d 之间的函数 关系式，当 h=196 时，即可求出 d 解：（1）设 h 与 d 之间的 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 函数关系式为 h=kd+b(k0) 由题中图表可知当 d=2O 时,h=16O；当 d=21 时， h=169. 把它们代入函数关系式，得 ,21690bk.20,9 h 与 d 之间的函数关系式是 h=9d-20 （2）当 h=196 时，有 196=9d-20 d24 当某人的身高为 196cm 时，一般情况下他的指距 是 24cm 例 4 汽车由重 庆驶往相距 400 千米 的成都，如果汽车的 平均速度是 100 千米 时，那么汽车距成 都的路程 s（千米） 与行驶时间t（时）的 函数关系用图象（如图 1128 所示）表示应为（ ） 34 分析 本题主要考查函数关系式的表达及函数图 象的知识，由题意可知,汽车距成都的路程 s（千米）与 行驶时间 t（时）的函数关系式是 s=400-100t，其中自 变量 t 的取值范围是 0t4，所以有 0s400，因 此这个函数图象应为一条线段，故淘汰掉 D又因为在 S=400-100t 中的 k=-1000，s 随 t 的增大而减小， 所以正确答案应该是 C 答案：C 小结 画函数图象时，要注意自变量的取值范围， 尤其是对实际问题 例 5 已知函数：（1）图象不经过第二象限； （2）图象经过点（2，-5）.请你写出一个同时满足 （1）和（2）的函数关系式： 分析 这是一个开放性试题，答案是不惟一的， 因为点（2，-5）在第四象限，而图象又不经过第二象 限，所以这个函数图象经过第一、三、四象限，只需在 第一象限另外任意找到一点，就可以确定出函数的解析 式设经过第一、二、四象限的直线解析式为 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 y=kx+b（kO） ，另外的一点为（4，3） ，把这两个点代 入解析式中即可求出 k，b. y=4x-13.,25bk.13, 答案：y4x-13 【注意】 后面学习了反比例函数二次函数后可另 行分析. 例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有 关如果用 a 表示一个人的年龄，用 b 表示正常情况下 这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么 b=08（220-a） （1）正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能 承受的每分心跳的最高次数是多少？ （2）一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次，他有危险吗？ 分析 （1）只需求出当 a=16 时 b 的值即可 （2）求出当 a=50 时 b 的值，再用 b 和 20 =120（次）相比较即可106 解：（1）当 a=16 时， 36 b=08（220-16）1632（次） 正常情况下，在运动时一个 16 岁的学生所能承 受的每分心跳的最高次数是 1632 次 （2）当 a=50 时， b=08（220-50）=08170=136（次） ，表示他 最大能承受每分 136 次 而 20 =120136，所以他没有危险106 一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数为 20 次， 他没有危险 例 7 某市的 A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别 为 90 吨和 60 吨，该市的 C 县和 D 县分别储存化肥 100 吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县已知 C，D 两县运 化肥到 A，B 两县的运费（元吨）如下表所示 （1）设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨，求总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式，并写出自变量 x 的取 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送 方案 分析 利用表格来分析 C，D 两县运到 A，B 两 县的化肥情况如下表 则总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式为 W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x） =10x+4800 自变量 x 的取值范围是 40x90 解：（1）由 C 县运往 A 县的化肥为 x 吨，则 C 县 运往 B 县的化肥为（100-x）吨 D 县运往 A 县的化肥为（90-x）吨，D 县运往 B 县 的化肥为（x-40）吨 由题意可知 W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40） 38 10x+4800 自变量 x 的取值范围为 40x90 总运费 W（元）与 x（吨）之间的函数关系式为 w1Ox+480O（40x9O） （2）100， W 随 x 的增大而增大 当 x=40 时， W 最小值 =1040+4800=5200（元） 运费最低时，x=40，90-x=50（吨） ，x-40=0（吨） 当总运费最低时，运送方案是：C 县的 100 吨化 肥 40 吨运往 A 县，60 吨运往 B 县，D 县的 50 吨化肥全 部运往 A 县 例 8 2006 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨， 水库蓄水量普遍下降，图 1129 是某水库的蓄水量 V（万米 2）与干 旱持续时间 t（天）之问的关系图， 请根据此图回答下列问题 （1）该水库原蓄水量为多少万米 2？持续干旱 10 梦幻网络( ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范 文，计划总结 梦幻网络( )最大的免费教育资源网站 天后水库蓄水量为多少万米 3？ （2）若水库存的蓄水量小于 400 万米 3时，将发出 严重干旱警报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重 干旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？ 分析 由函数图象可知，水库的蓄水量 V（万米 2）与干旱时间 t（天）之间的函数关系为一次函数，设 一次函数的解析式是 V=kt+b（k，b 是常数，且 k0）. 由图象求得这个函数解析式，进而求出本题（1） （2） （3）问即可 解：设水库的蓄水量 V（万米 3）与干旱时间 t（天） 之间的函数关系式是 V=kt+b（k，b 是常数，且 k=0） 由图象可知，当 t=10 时，V=800；当 t=30 时， V=400 把它们代入 V=kt+b 中，得 ,30418bk.10,2 40 V=-20t+1000（0t50） （1）当 t=0 时，V=-200+1000=1000（万米 2） ； 当 t=10 时，V=-2010+1000=800（万米 3） 该水库原蓄水量为 1000 万米 3，持续干旱 10 天 后，水库蓄水量为 800 万米 3 （2）当 V400